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2020-2021学年数学人教版八年级下册单元复习逆袭攻略
第二十章 数据的分析
重难点知识讲解
算术平均数
算术平均数：一般地，如果有个数，那么我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作，则.
【注意】
（1）一组给定的数据的平均数是唯一的；
（2）平均数的大小与所给数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.
（3）平均数的单位与原数据的单位一致.
【重点】平均数的性质
若一组数据的平均数为，则
（1）数据的平均数为；
（2）数据的平均数为；
（3）数据的平均数为.
加权平均数
（1）一般地，若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
（2）在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，···，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫做这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.
【注意】
（1）加权平均数的单位与原数据的单位一致；
（2）当一组数据中某些数据重复出现时，一般选用加权平均数公式来求平均数；
（3）在加权平均数公式中，分子是各数据与其权乘积的和，分母为权的和.
用样本平均数估计总体平均数
1.组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值.
2.用样本的平均数估计总体的平均数：当所要考查的对象很多，或者对考查对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数.
中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
【注意】
（1）确定中位数时，一定要按照大小排序；
（2）一组数据的中位数时唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数；
（3）中位数的单位与原数据的单位一致.
众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
【注意】
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数.
（2）众数的单位与原数据的单位一致.
（3）众数可能是一个或多个.在一组数据中，当出现次数最多的数据只有一个时，这组数据的众数只有一个；当出现次数最多的数据不止一个时，这组数据的众数就有多个；当每个数据出现的次数相同时，这组数据就没有研究众数的必要了.
方差
1.方差的概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动性的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
2.方差的计算公式：若个数据的平均数为，则方差.
3.求方差的一般步骤：①求原始数据的平均数；②求原始数据中各数据与平均数的差；③将所得的差分别平方；④求③中所得数据的平均数.
4.方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
【重点】
（1）方差是用来描述一组数据中的每一个数据与这组数据的平均数的偏离程度的量.经常用方差的大小来判断数据的稳定性.
（2）当两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时，通过比较两组数据的方差来说明数据的稳定性.
（3）方差的单位是原始数据单位的平方，只是一个单位，并无实际意义.
极差、平均差、标准差
1.极差：一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
2.平均差：一组数据中各个数据与其平均数的差的绝对值的平均数叫做这组数据的平均差，即平均差.
3.标准差：标准差是方差的算术平方根，即.
跟踪训练
1.为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：
一周做饭次数 4 5 6 7 8
人数 7 6 12 10 5
那么一周内该班学生的平均做饭次数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.某校组织“创文”主题演讲赛，为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如表所示（单位：分），如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且成绩稳定），你会推荐( )
甲 乙 丙 丁
平均分 92 94 94 92
方差 35 35 23 23
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.某超市销售A,B,C,D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　）
A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
4.在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则( )
A. B. C. D.
5.在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示.这些成绩的中位数和众数分别是( )
A.96分、98分 B.97分、98分 C.98分、96分 D.97分、96分
6.某地近年来持续干旱，为了倡导节约用水，该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，（m取的整数）.
用水量吨 3 4 5 6 7
频数 1 2 5
m
下列关于用水量的统计量中，不会发生变化的是( )
A.平均数、中位数 B.众数、中位数 C.平均数、方差 D.众数、方差
7.2020年入汛以来，我国南方地区发生多轮强降雨过程，造成多地发生较重洪涝灾害.截至6月9日14时，南方洪涝灾害造成广西、贵州、广东、江西、湖南、福建等11省（区、市）262.7万人次受灾，22.8万人次紧急转移安置，1300余间房屋倒塌，农作物受灾面积145.9千公顷，直接经济损失40.4亿元.“灾难无情人有情”，南方洪灾牵动无数中国同胞的心.某班45名同学自发为灾区捐献爱心，每人的捐款统计如下表：
捐款数（元） 10 15 20 25 30
人数 4 10 15 10 6
对于这45名同学每人的捐款数，下列说法正确的是( )
A.平均数是20 B.众数是20 C.中位数是25 D.方差是20
8.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表：
鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的( )
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
9.甲、乙两名学生的十次数学考试成绩的平均分分别是116和117，成绩的方差分别是1.5和16.8，现在要从两人中选择一人参加数学竞赛，则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两人平均分相当，选谁都可以
B.乙的平均分比甲高，选乙
C.乙的平均分和方差都比甲高，选乙
D.两人的平均分相当，甲的方差小，成绩比乙稳定，选甲
10.想要计算一组数据：197,202,200,201,199,198,203的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据，2，0，1，，，3，且新数据的方差为4，则为( )
A.4 B.16 C.196 D.204
11.一组数据1，4，6，x的中位数和平均数相等，则x的值是_____________.
12.一个样本的方差是0，若中位数是a，则这个样本的平均数是___________.
13.—组数据的方差是3，则新数据的方差是_____.
14.数据1，2，3，a的平均数是3，数据4，5，a，b的众数是5，则__________.
15.龙门黄河大桥是黄河上跨径最大的斜拉桥，号称“黄河第一桥”，也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁.它用粗大的钢索将桥面拉住，为检测钢索的抗拉强度，桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的厂方各随机选取5根钢索进行抗拉强度的检测，数据统计如下（单位：百吨）：
甲、乙两厂钢索抗拉强度检测统计表
钢索 1 2 3 4 5 平均数 中位数 方差
甲厂 10 11 9 10 12 10.4 10 1.04
乙厂 10 8 12 7 13 a b c
（1）求乙厂5根钢索抗拉强度的平均数a（百吨）、中位数b（百吨）和方差c（平方百吨）；
（2）桥梁建设方决定从抗拉强度的总体水平和稳定性来决定钢索的质量，问哪一家的钢索质量更优？
答案以及解析
1.答案：C
解析：，故选C.
2.答案：C
解析：在这四位同学中，乙、丙的平均分一样且高于甲、丁，但丙的方差小，成绩比较稳定，故可推荐丙，故选C.
3.答案：C
解析：这天销售的矿泉水的平均单价是（元），故选：C．
4.答案：A
解析：设最高分为a，最低分为b，则，，，又，，，，.
一题多解：设这五个分数（单位：分）依次为12,3,4,5，则平均分为3.去掉一个最高分，则平均分；去掉一个最低分，则平均分；同时去掉一个最高分与一个最低分，则平均分..
5.答案：A
解析：由统计图可知：按顺序排列，第13名同学的分数为96分，故中位数为96分.得分人数最多的是98分，共9人，故众数为98分，故选A.
6.答案：B
解析：∵月用水量为6吨和7吨的频数和是4，∴频数之和是，则这组数据的中位数是第6、7个数据的平均数，即吨，∴对于不同的整数m，中位数不会发生改变.∵5出现的次数最多，出现了5次，∴众数是5吨，∴众数也不会发生改变.故选B.
7.答案：B
解析：这组数据的平均数为，中位数为20，众数为20，方差约为33.1.综上，只有选项B正确，故选B.
8.答案：C
解析：根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数.故选C.
9.答案：D
解析：∵甲、乙成绩的平均分分别是116、117，∴两人的平均分相当，∵甲的方差是1.5，乙的方差是16.8，∴甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩比乙稳定.故选D.
10.答案：A
解析：∵一组数据中的每一个数据都加上（都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（都减去）这个常数，两数进行相减，方差不变，.故选A.
11.答案：或3或9
解析：根据题意得或或，解得或3或9.
12.答案：a
解析：由方差为0，知每个数与平均数相等，则中位数等于平均数.故答案为a.
13.答案：12
解析：∵数据的方差是3，
∴数据的方差是。
14.答案：11
解析：利用平均数的计算公式，得，解得，∵数据4，5，a，b的众数是5，即出现次数最多的数为5，.
15.答案：（1）.
把这些数从小到大排列为7，8，10，12，13，最中间的数是10，则中位数.
.
（2）甲厂的钢索质量更优.
从平均数来看，甲厂的平均数是10.4百吨，而乙厂的平均数是10百屯，所以甲厂高于乙厂；
从中位数来看，甲厂和乙厂一样；
从方差来看，甲厂的方差是1.04平方百吨，而乙厂的方差是5.2平方百吨，所以甲厂的方差小于乙厂的方差，所以甲厂更稳定.
故从总体来看，甲厂的钢索质量更优.

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