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2020-2021学年数学人教版八年级下册单元复习逆袭攻略
第十八章 平行四边形
重难点知识讲
平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形，

角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形，

对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形，

【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
平行四边形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义）
四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或），
四边形是平行四边形.
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
，
四边形是平行四边形.
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
四边形是平行四边形.
三角形的中位线
中位线
且
中位线所截得的三角形与原三角形相似，其相似比为1:2，面积比为1:4
两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
矩形的定义及其性质
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】
（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）.
性质 数学语言 图形
角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形，

对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形，

对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
【注意】
（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.
（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.
直角三角形斜边上中线的性质
性质 数学语言 主要应用 图示
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图所示，在中，(或) 证明线段倍分、相等关系
【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.
矩形的判定
判定方法 数学语言 图形
角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中，
，
是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中，
，
四边形是矩形.
对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中，
，
是矩形
菱形的定义及其性质
1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.
【注意】
（1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表.
性质 数学语言 图形
边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形，
.
对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形，
,

对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴
【注意】
（1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.
（3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
3.菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高.

菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半

【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
菱形的判定
判定方法 数学语言 图示
边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中，
是菱形.
四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中，
四边形是菱形.
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中，
是菱形.
正方形的定义及其性质
1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 是轴对称图形，有四条对称轴
【注意】
（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.
（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.
（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质.
正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
【注意】
（1）由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
（2）四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系如图所示.
跟踪训练
1.如图，在中，已知cm，若的周长为13 cm，则的周长为( )
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm
2.如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法错误的是( )
A.
B.
C.A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D.与两平行线间的距离就是线段CD的长度
3.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )
A. B. C. D.
4.如图1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为16km，则M，C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.8km D.1.2km
5.判断一个门框是不是矩形，下列方法中正确的是( )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
6.如图，菱形ABCD中，，则( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分，垂足为点G，则的度数为( )
A.45° B.30° C.60° D.40°
9.如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边AB，CD上，.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为( )
A.1 B. C. D.2
10.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作于F,于G，则四边形EFOG的面积为( )
A. B. C. D.
11.如图，D,E,F分别是的边AB,BC,CA的中点，连接DE,EF,FD，则图中平行四边形的个数为___________.
12.已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有_________.（填序号）
①当时，它是菱形；
②当时，它是菱形；
③当时，它是矩形；
④当时，它是正方形.
13.如图,在长方形中,,延长到点,使,连接,动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度沿运动,设点的运动时间为秒,则当_____________时,和全等.
14.如图，菱形ABCD中，，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且，则的最小值为___________.
15.如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC，BD交于点O，CE平分交BD于点E.
（1）求DE的长；
（2）过点E作，交AB于点F，求BF的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析： cm，的周长为13 cm，（cm）.四边形ABCD为平行四边形，，，的周长为cm.故选D.
2.答案：D
解析：，，四边形ABDC是平行四边形，，故A项正确；，，，，四边形CEGF是平行四边形，，故B项正确；AB是线段，A，B两点间的距离就是线段AB的长度，故C项正确；于点E，与两平行线间的距离就是线段CE的长度，故D项错误.故选D.
3.答案：D
解析：选择D项，，，，，，，，，四边形ABCD是平行四边形.故选D.
4.答案：C
解析：在中，，M是AB的中点，.故选C.
5.答案：D
解析：对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B不符合题意；两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；三个角都是直角的四边形是矩形，故D符合题意.故选D.
6.答案：D
解析：四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
.故选D.
7.答案：C
解析：，
矩形ABCD的面积为48，，
对角线AC，BD交于点O，
，的面积为12，
，
，
，
，
.故选C.
8.答案：A
解析：在正方形ABCD中，，
，
，
EA平分，，
.
在与中，，
，
，
，
故选A.
9.答案：D
解析：四边形ABCD是正方形，，
，
由折叠的性质可知，
，
，
设，则,
，故选D.
10.答案：B
解析：本题考查菱形的性质及面积公式、三角形中位线定理.∵四边形ABCD是菱形，垂直平分AC，设，则, ∵E为BC的中点，于点F,于点G，∴四边形EFOG为矩形，，故选B.
11.答案：3
解析： D,E,F分别是的边AB,BC,CM的中点， EF, DF,DE为的中位线，, , , ，四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形. 题图中平行四边形的个数为3.
12.答案：④
解析：∵四边形是平行四边形，∴当时，它是菱形，故①正确；当时，它是菱形，故②正确；当时，它是矩形，故③正确；当时，它是矩形，故④错误.
13.答案：1或7
解析：易知.若,则当时,,由题意,得,所以,解得；若,则当时,,由题意,得,所以,解得.综上,当或7时,和全等.
14.答案：
解析：如图，在BC的下方作，在BG上截取BT，使得，连接ET,AT.
四边形ABCD是菱形，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
的最小值为.
15.答案：（1）四边形ABCD是正方形，
.
CE平分，
，
.
，
，
.
在中，由勾股定理得，
.
（2），
，
，
，
.

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