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2020-2021学年数学人教版八年级下册单元复习逆袭攻略
第十九章 一次函数
重难点知识讲解
概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做一次函数（特别地，当时，是正比例函数）
的作用 的符号函数增减性或图象的倾斜方向；直线的倾斜程度
的作用 的符号直线与轴交点的位置
图象



经过的象限





一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性 随的增大而增大 随的增大而减小
与坐标轴的交点 令，求对应的值，与轴的交点坐标为；
令，求对应的值，与轴的交点坐标为
一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】
（1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”；
（2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到
向上平移个单位

向下平移个单位

向左平移个单位

向右平移个单位

【拓展】
同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系
的关系 与的关系
与相交
， 与相交于轴上的一点
， 与平行
一次函数的解析式
待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为；
（2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组
（3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式
常见类型 （1）两点型：直接运动待定系数法求解；
（2）平移型：由平移前后不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可
一次函数与一元一次方程的关系
1.一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数中，当时，的值方程的解.
（2）从“形”上看：函数的图象与轴的交点的横坐标方程的解
2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
【注意】
对于一次函数，已知的值，求的值，或已知的值求的值，就是把问题转化为关于或的一元一次方程来求解.
【拓展】
方程的解函数中，时的值；方程的解函数的图象与直线的交点的横坐标.
一次函数与一元一次不等式的关系
因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.
一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下：
一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，时的取值范围

不等式的解集在函数中，时的取值范围
形的角度 不等式的解集直线在轴上方的部分所对应的的取值范围

不等式的解集直线在轴下方的部分所对应的的取值范围
例如：一次函数与一元一次不等式
【拓展】
直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为.
一次函数与二元一次方程（组）的关系
1.
2.二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标.
【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线.
3.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组化为一次函数与.
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标.
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解.
一次函数的应用
判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）；
（2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数；
（3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位
常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案；
（2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值.
注意：根据实际情况确定变量的取值范围
跟踪训练
1.如果用总长为60 m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（），周长为p（m），一边长为a（m），那么S,p,a中是变量的是( )
A.S和p B.S和a C.p和a D.S,p,a
2.将直线向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为( )
A. B. C. D.
3.周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去早点店吃饭，吃过早饭后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A.小涛家离早点店的距离是900 m
B.小涛从家去早点店的平均速度是60 m/min
C.小涛从早点店返回家中的平均速度是80 m/min
D.小涛在早点店吃饭用了15 min
4.直线上有三个点，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.某商场自行车存放处每周的存车量为5000辆次，其中变速车存车费为每辆一次1元，普通车存车费为每辆一次0.5元，若普通车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过( )
x …

0 1 …
y … 0 3 6 9 …
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.对于函数，下列结论正确的是( )
A.它的图象必经过点 B.它的图象经过第一、二、三象限
C.当时， D.y的值随x值的增大而增大
8.已知一次函数与正比例函数（m，n为常数，）的图象在同一平面直角坐标系中，则函数与的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，方程的解是( )
A. B. C. D.
10.如图，直线与直线交于点，那么不等式的解集是( )
A. B. C. D.
11.一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上，则k的取值范围_________.
12.在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃.已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数表达式是__________.
13.在一次函数中，x与y的部分对应值如下表：
x …

0 1 2 …
y … 9 6 3 0
…
那么一元一次方程的解为__________.
14.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为______________.
15.如图，已知直线与轴交于点，与直线交于点.
求：（1）的面积；
（2）时，的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为篱笆的总长为60 m，所以周长，是定值,面积S和一边长a是变量.故选B.
2.答案：C
解析：直线向上平移两个单位，所得的直线是，故选C.
3.答案：D
解析：由题图可知，早点店离家的距离为1200 m，故A错误；小涛从家里去早点店所花的时间为15 min，所以从家去早点店的平均速度为（m/min），故B错误；返回时步行900 m所用时间为（min），所以从早点店返同家中的平均速度为（m/min），故C错误；返回所花的时间为，所以在早点店吃饭的时间为(min)，故D正确.故选D.
4.答案：A
解析：y随x的增大而减小.又，.故选A.
5.答案：C
解析：由题意可得，故选C.
6.答案：D
解析：将代入，得，解得，一次函数的解析式为一次函数的图象经过第一、二、三象限.故选D.
7.答案：C
解析：当时，，则点不在函数的图象上，所以A选项错误；，故函数图象经过第一、二、四象限，所以B选项错误；当时，，所以C选项正确；因为，所以y随x的增大而减小，所以D选项错误.故选C.
8.答案：A
解析：A，由一次函数的图象可知，，故.由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确.B，由一次函数的图象可知，，故.由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确.C，由一次函数的图象可知，，故.由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确.D，由一次函数的图象可知，，故.由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确.故选A.
9.答案：A
解析：直线和直线相交于点，方程的解为.故选A.
10.答案：A
解析：利用函数图像写出直线在直线上方所对应的自变量的取值范围为.故选A.
11.答案：
解析：当时，，一次函数的图象与y轴交于点.大致画出函数图象，如图所示.一次函数的图象经过第一、二、四象限，.
12.答案：
解析：由题意得y关于x的函数表达式为.故答案为.
13.答案：
解析：根据题表中的数据知，当时，，故一元一次方程的解是.
14.答案：
解析：一次函数的图象过点，，解得，，又与x轴的交点是，结合题中图象，易得关于x的不等式组的解集为.
15.答案：（1）由，可知当时，，
点的坐标是.
直线与直线交于点，
联立方程组解得点的坐标是，
的面积为.
（2）由（1）可知交点的坐标是，
由函数图像可知当时，的取值范围为

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