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2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形
1.????????????
（1）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD ， 点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形 C'D'EF ， C'F 交AD于点H ， 小华认为 △ EFH是等腰三角形，你认为小华的判断符合题意吗？请说明理由．
（2）问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点 C' 落在AD上时，已知DE=a ， CD=b ， CF=c ， 写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．
（3）问题应用：如图③，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4．将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折得到 △ ACE ， AE交BC于点F ． 若点F为BC的中点，则平行四边形ABCD的面积为________．
2.???????
（1）（探究证明）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH ， EF分别交AD、BC于点E、F ， GH分别交AB、DC于点G、H ， 求证： EFGH=ABAD ；
（2）（结论应用）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
（3）（拓展运用）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG ， 若AB＝2，BC＝3，EF＝ 2103 ，请求BP的长．
3.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B ， C重合），连接MP ， PF⊥MP交CD于点F ． 点B ， B'关于MP对称，点C ， C′关于PF对称，连接B'C ．
（1）求证：△PFC∽△MPB ．
（2）①当BP＝2时，B'C'＝________；
②求B'C的最小值．
（3）是否存在点P ， 使点B'，C′重合？若存在，请求出此时M ， F的距离；若不存在，请说明理由．
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且BC，AC，AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝3AN．点D，E分别是边AC，BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，当Q为AB中点时，y=2．
（1）求BC，AC，AB的长．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）①连结PQ，当PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过点P作PH⊥AB于点H，当△PQH为等腰三角形时，求x的值.
5.如图1，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，点D在AC上.
（1）求证： ADCD=ABBC
（2）如图2，已知AE为BC边的中线，且AE=BE.在射线BD上取一点A'使AE=A'E，A'E交AC于点F，过点A'作AB的垂线，交BA的延长线于点G，连接EG交BD于点H，连接CH.
①求证：四边形AGA′F为矩形；
②若 tanC=34 ，△BGH的面积为S，请求出△CEH的面积（用含S的代数式表示）.
6.△ABC 为等边三角形， AB=8,?AD⊥BC 于点D，点E为线段 AD 上一点， AE=23 ．以 AE 为边作等边三角形 AEF ，连接 CE,N 为 CE 的中点．
（1）如图1，当点E和点F在直线 AC 两侧时， EF 与 AC 交于点M，连接 MN ，
①求证： ME=MF ；
②求线段 MN 的长；
（2）将图1中的 △AEF 绕点A逆时针旋转，旋转角为 α ，点M为线段 EF 的中点，连接 BE,MN,DM ，
①如图2，当 α=90° 时，请直接写出 DMBE 的值；
②连接 BN ，在 △AEF 绕点A逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出 tan∠DAN 的值．
7.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足 ∠MAN=90° ，联结MN ， AC ， MN与边AD交于点E ．
（1）求证： AM=AN
（2）如果 ∠CAD=2∠NAD ，求证： AM2=2AB?AE ；
（3）MN交AC点O ， 若 CMBM=k ，则 OMON= ________（直接写答案、用含k的代数式表示）．
8.综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ， 点D是射线BC上一动点，连接AD ， 将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE ， 连接DE ， CE ．
（1）探究发现
如图1，BD＝CE ， BD⊥CE ， 请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）探究拓广
当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD ， DC ， AD之间的数量关系．
9.综合与实践．
问题情境：
综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．
实践操作：
如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF ， 连接CF ， 点H为CF的中点，连接HD ， HE ， DE ， 得到△DHE ．
（1）应用探究：
勤奋组：
如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；
（2）善思组：
如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
深入探究：
（3）创新小组：
发现若连接BE ， 在旋转Rt△AEF的过程中， BECF 为定值，请你直接写出其值________．
10.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 DE⊥AC 于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作 BG//DF 交DC于点G，交AC于点M．过点G作 GN⊥DF 于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若 AB=26,GN=8,sin∠CAB=513 ，求线段AC的长．
11.已知：正方形 ABCD 的边长为4，E是边 CB 上的一个动点，过点D作 DF⊥DE ，交 BA 的延长线于点F， EF 交对角线 AC 于点M， DE 交 AC 于点N．
（1）求证： CE=AF ；
（2）求证： FM=EM ；
（3）随着点E在边 CB 上的运动， NA?MC 的值是否变化？若不变，请求出 NA?MC 的值；若变化，请说明理由．
12.如图，在折纸游戏中，正方形 ABCD 沿着 BE ， BF 将 BC ， AB 翻折，使 A ， C 两点恰好落在点 P .
（1）求证： ∠EBF=45° .
（2）如图，过点 P 作 MN//BC ，交 BF 于点 Q .
①若 BM=5 ，且 MP?PN=10 ，求正方形折纸的面积.
②若 QP=12BC ，求 AMBM 的值.
13.如图
（1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点E，Q分别在边 BC,AB 上， DQ⊥AE 于点O，点G，F分别在边 CD,AB 上， GF⊥AE .求证： AE=FG ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中， BCAB=k （k为常数）.将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点A落在 BC 边上的点E处，得到四边形 FEPG,EP 交 CD 于点H，连接 AE 交 GF 于点O.试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP ，当时 k=34 ，若 tan∠CGP=43,GF=25 ，求 CP 的长.
14.点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H.
（1）发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是________；
（2）探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长.
15.如图，过正方形 ABCD 的顶点A作 AP⊥AQ ，将 ∠PAQ 绕点A旋转， AP 交射线 CB 交于点E， AQ 交射线 CD 交于点F，连接 EF，M 为 EF 的中点，连接 BM ．
?
（1）求证： AE=AF ；
（2）写出 CF 与 BM 的数量关系，并说明理由；
（3）若 BC=4，BE=2 ，直接写出 BM 的长．
16.在矩形 ABCD 中， AB=2BC ，点E是直线 AB 上的一点，点F是直线 BC 上的一点，且满足 AE=2CF ，连接 EF 交 AC 于点G．
（1）tan∠CAB= ________；
（2）如图1，当点E在 AB 上，点F在线段 BC 的延长线上时，
①求证： EG=FG ；
②求证： CG=54BE ；
（3）如图2，当点E在 BA 的延长线上，点F在线段 BC 上时， AC 与 DF 相交于点H，
① EG=FG 这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论：
②当 CF=1 ， BF=2 时，请直接写出 GH 的长．
17.??
（1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E ， Q 分别在边 BC ， AB 上， DQ⊥AE 于点 O ，点 G ， F 分别在边 CD ， AB 上， GF⊥AE ．求证： FG=AE ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中， BCAB=23 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 EFGP ， EP 交 CD 于点 H ，连接 AE 交 GF 于点 O ．试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP ，若 BEBF=34 ， GF=210 ，求 CP 的长．
18.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
已知：如图①，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是斜边 AB 上的中线．求证： CD=12AB ．
（1）请写出完整的证明过程．
（2）结论应用：如图②， BE 、 CF 是锐角 △ABC 的两条高，M、N分别是 BC 、 EF 的中点，判断 EF 与 MN 的位置关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若 EF=6,BC=24 ，则 MN 的长为________．
19.如图，四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点．连接 GC 并延长至F，使 CF=GC ，以 DC 、 CF 为邻边作 ?DCFE ，连接 CE ．
（1）若四边形 DCFE 是菱形，判断四边形 CEDG 的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接 DF ，若 BC=3 ，求 DF 的长．
20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标是 (8,6) ，点 M 为 OA 边上的一动点（不与点 O、A 重合），连接 CM ，过点 M 作直线 l⊥CM ，交 AB 于点 D ，在直线 l 上取一点 E （点 E 在点 M 右侧），使得 CMME=43 ，过点 E 作 EF//AO ，交 BO 于点 F ，连接 BE ，设 OM=m(0?
（1）填空：点 E 的坐标为________（用含 m 的代数式表示）；
（2）判断线段 EF 的长度是否随点 M 的位置的变化而变化？并说明理由；
（3）①当 m 为何值时，四边形 BCME 的面积最小，请求出最小值；
②在 x 轴正半轴上存在点 G ，使得 △GEF 是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点 G 的坐标（用含 m 的代数式表示）．
21.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，AC＝BC ， AF＝EF ， 连接BE ， 点Q为线段BE的中点．
（1）如图1，当点E在线段AC上，点F在线段AB上时，连接CQ ， 若AC＝8，EF＝2 2 ，求线段CQ的长度．
（2）如图2，B、A、E三点不在同一条直线上，连接CE ， 且点F正好落在线段CE上时，连接CQ、FQ ， 求证：CQ＝FQ ．
（3）如图3，AC＝8，AE＝4 2 ，以BE为斜边，在BE的右侧作等腰Rt△BEP ， 在边CB上取一点M ， 使得MB＝2，连接PM、PQ ， 当PM的长最大时，请直接写出此时PQ2的值．
22.请完成下面的几何探究过程：
（1）观察填空：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则
①∠CBE的度数为________；
②当BE=________时，四边形CDBE为正方形.
（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE，连DE，BE则：
①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；
②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形
（3）拓展延伸：如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长.
23.探索与应用：如图
（1）问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点 B' 处，折线AE交BC于点E，连接B'E.求证：四边形 ABEB' 是菱形.
（2）规律探索：如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由.
（3）拓展应用：如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点 B' 处，点A落在纸片ABCD外部点 A' 处， A'B' 与AD交于点M，且 A' M＝ B' M.已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长.
24.定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”.例如，在 ΔABC 中， ∠A=100° ， ∠B=60° ， ∠C=20° ，满足 ∠A-∠B=2∠C ，所以 ΔABC 是关于 ∠C 的“差倍角三角形”.
（1）若等腰 ΔABC 是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角 ∠A 的度数；
（2）如图1， ΔABC 中， AB=3 ， AC=8 ， BC=9 ，小明发现这个 ΔABC 是关于 ∠C 的“差倍角三角形”.
他的证明方法如下：
证明：在 BC 上取点 D ，使得 BD=1 ，连结 AD ，（请你完成接下去的证明）
（3）如图2，五边形 ABCDE 内接于圆，连结 AC ， AD 与 BE 相交于点 F ， G ， AB=BC=DE ， ΔABE 是关于 ∠AEB 的“差倍角三角形”.
①求证：四边形 CDEF 是平行四边形；
②若 BF=1 ，设 AB=x ， y=S四边形CDEFSΔAEG ，求 y 关于 x 的函数关系式.
25.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA＝8，OC＝10，将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形ODEF.
（1）当点E恰好落在y轴上时，如图1，求点E的坐标.
（2）连接AC，当点D恰好落在对角线AC上时，如图2，连接EC，EO，
①求证：△ECD≌△ODC；
②求点E的坐标.
（3）在旋转过程中，点M是直线OD与直线BC的交点，点N是直线EF与直线BC的交点，若BM＝ 12 BN，请直接写出点N的坐标.
26.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为边BC，AC上的点，连接DE，过D作DF⊥DE交AC边于点F（F不与点C重合），点G为射线DF上一点，连接EG，使∠BAC＝∠DEG＝α.
（1）连接CG，求证：△DEF∽△CGF；
（2）当α＝45°时，请探究AE，BD与CG三者满足的数量关系，并证明；
（3）如图2，点M，N分别为EG和AC的中点，连接MN.若tanα＝2，BD＝ 13 CD，AC＝10，请直接写出MN的最小值.
27.如图
（1）问题发现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.CD⊥AB于点D，则CD的长为________；
（2）问题探究
如图2，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N分别在BD，BC上，求CM＋MN的最小值；
（3）问题解决
有一度假山庄，它的平面图为矩形ABCD，现在山庄管理人员想在山庄内找到一点G（点G不在AB、BC、AD上）与CD共同构成一个三角形的绿化区，并且度假山庄大门E到点G的距离与到拐角B的距离相等，如图3，经过测量得知AB＝30m，BC＝40m，BE＝10m，请问绿化区△GCD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
28.如图，平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标是（3， 33 ）.点E从点A出发，沿AO向点O运动，速度为每秒 3 个单位长度，同时点F从点A出发，沿AB向点B运动，速度为每秒1个单位长度，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动.将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为G点，设运动时间为t秒.
（1）当点G落在线段OB上时，t＝________；当点G落在线段CB上时，t＝________；
（2）在整个运动过程中，求△EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数表达式，并写出t的取值范围；
（3）当点G落在线段BC上时，是否在x轴上存在点N，直线EF上存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
29.正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF=AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.
（1）如图1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≌△ABM；
（2）如图2，当点M在线段AD上时，四边形DFEM是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形DFEM的面积最大？并求出这个面积的最大值.
30.如图1，正方形 ABCD 的边长为5，点E为正方形 CD 边上一动点，过点B作 BP⊥AE 于点P ， 将 △APB 绕点A逆时针旋转90°得 △AP'D ，延长 BP 交 P'D 于点F ， 连结 CP ．
（1）判断四边形的 AP'FP 的形状，并说明理由；
（2）若 DF=1 ，求 S△CPB ；
（3）如图2，若点E恰好为 CD 的中点时，请判断 CP 与 DF 的数量关系，请说明理由．
31.已知矩形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A(1,0) ，点 C(0,2) ，点 O(0,0) ，把矩形 OABC 绕点O顺时针旋转 135° ，得到矩形 ODEF ，点A ， B ， C的对应点分别为D ， E ， F ． DE 交y轴于点M ．
（1）如图①，求 ∠FOM 的大小及 OM 的长；
（2）将矩形 ODEF 沿y轴向上平移，得到矩形 O'D'E'F' ，点O ， D ， E ， F的对应点分别为 O',D',E',F' ，设 OO'=t(0①如图②，直线 D'E' 与x轴交于点N ， 若 CN//BO ，求t的值；
②若矩形 O'D'E'F' 与矩形 OABC 重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．
32.在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点A ， C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为 (2,23) ，将矩形 OABC 绕点A顺时针旋转 α ，得到矩形 O1AB1C1 ，点O ， B ， C的对应点分别为 O1,B1,C1 ．
?
（1）如图①，当 α=45° 时， O1C1 与 AB 相交于点E ， 求点E的坐标；
（2）如图②，当点 O1 落在对角线 OB 上时，连接 BC1 ，四边形 OAC1B 是何特殊的四边形？并说明理由；
（3）连接 BC1 ，当 BC1 取得最小值和最大值时，分别求出点 B1 的坐标（直接写出结果即可）．
33.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知 A(9，0) 、 B(9，12) ，点M、N分别是线段OB、AB上的动点，速度分别是每秒 53 个单位、2个单位，作 MH⊥OA 于H.现点M、N分别从点O、A同时出发，当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（ t≥0 ）．
（1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形．
34.如图所示，BA⊥x轴于点A ， 点B的坐标为（﹣1，2），将△OAB沿x轴负方向平移3个单位，平移后的图形为△EDC ．
（1）直接写出点C和点E的坐标；
（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t为何值时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②用含t的式子表示点P在运动过程中的坐标（写出过程）；
③当5秒＜t＜7秒时，四边形ABCP的面积为4，求点P的坐标．
35.如图（1），在平面直角坐标系中，点A ， B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD ， 连接AC ， BD ， 构成平行四边形ABDC ．
（1）请写出点C的坐标为________，点D的坐标为________，S四边形ABDC________；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC ， 求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO ， 试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．
答案
1. （1）解：小华的判断是正确的．
在矩形ABCD中， AD∥BC，∴∠HEF=∠EFC．
由折叠，得∠HFE=∠EFC，
∴∠HFE=∠HEF
∴HE=HF
∴△EFH是等腰三角形
（2）解： a2+b2=c2 ．
在矩形ABCD中，∠D=90°，
由折叠，得 ∠D'=∠D=90° ， D'E=DE=a ， C'D'=CD=b ， C'F=CF=c ，
由问题呈现，得 C'E=C'F=c ．
在Rt△ C'D'E 中， D'E2+C'D'2=C'E2 ，
∴ a2+b2=c2 ．
（3）37
2. （1）证明：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴∠ABT+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴ APBQ=ABBC ,
∴ EFGH=ABAD .
（2）解：如图②中，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
∴BD＝ BC2+CD2=32+22=13 ,
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴ EFBD=ABAD ,
∴ EF13=23 ,
∴EF＝ 2133 .
（3）解：如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴ 2103DG = 23 ?,
∴DG＝ 10 ，
∴AG＝ DG2-AD2=10-9 ＝1，
由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，
在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2 ，
∴x2＝AG2+AE2 ，
∴x2＝（3﹣x）2+1，
∴x＝ 53 ，
∴DE＝EG＝ 53 ，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH＝PG＝CD＝2，
∴EH＝ FF2-FH2=(2103)2-22=23 ，
∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝ 53 ﹣ 23 ＝1，
∵PF∥EG，EA∥FB，
∴∠AEG＝∠JPF，
∵∠A＝∠FJP＝90°，
∴△AEG∽△JFP，
∴ AEFJ=AGPJ=EGFP ，
∴ 43FJ=1PJ=531 ，
∴FJ＝ 45 ，PJ＝ 35 ，
∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣ 45 ﹣1＝ 65 ，
在Rt△BJP中，BP＝ BJ2+PJ2=(35)2+(65)2=355 ．
3. （1）证明：∵PF⊥MP，
∴∠FPC+∠MPB＝90°，
∵∠PMB+∠MPB＝90°，
∴∠FPC＝∠PMB，
∵∠FCP＝∠B，
∴△PFC∽△MPB；
（2）解：①1 ②如图2，连接MB'，CM， ∵M为AB的中点， ∴MB＝MB'＝2， ∴MB'+ CB'≥CM， ∴当点B'在线段CM上时，CB'有最小值， ∵CM＝ BC2+BM2=25+4=29 ， ∴CB'的最小值＝ 29 ﹣2；
（3）解：存在，理由如下：
如图4，设B'，C'重合点为N，连接PN，MN，NF，
?
∵点B，N关于MP对称，点C，N关于PF对称，
∴BP＝PN，PC＝PN，MN＝BM＝2，FN＝CF，∠B＝∠MNP＝90°，∠C＝∠PNF＝90°，
∴点M，点N，点F三点共线，PB＝PC＝PN＝ 52 ，
∵∠MPF＝90°，
∴∠MPB+∠FPC＝90°=∠MPB+∠BMP，
∴∠BMP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BMP∽△CPF，
∴ BPCF=BMCP ，
∴CF＝ 52×522=258 ，
∴MF＝MN+NF＝2+ 258 ＝ 418 ．
4. （1）解：设AC=x，则BC=x-2，AB=x+2，
由勾股定理，得 (x-2)2+x2=(x+2)2 ，解得 x=8 ，或 x=0 （舍去），
∴BC=6，AC=8，AB=10.
（2）解：设AN=a，则BM=3a， y=kx+b ，∵ED为△ABC的中位线，∴ED= AB2=5
由题意，得 {x=0y=5,{x=10-4ay=0,{x=5-ay=2 ，
把 {x=0y=5,{x=10-4ay=0,{x=5-ay=2 代入 y=kx+b ，
得 {b=5k(10-4a)+bk(5-a)+b=2=0 ，解得 {a=57b=5k=-710 ，∴ y=-710x+5
（3）解：①
1)当PQ⊥BC时，
四边形ADPQ为平行四边形，则DP=AQ， y=a+x ，即 -710x+5=57+x ，
解得 x=300119 ；
2)当PQ⊥AC时，
四边形PQBE为平行四边形，则 PE=BQ， 5-y=10-a-x ，即 5-(-710x+5)=10-57-x ，解得 x=650119 ；
?3)当PQ⊥AB时（如图1），作DH⊥AB于H，
则 AH=a+x-y=165 ，
即 57+x-(-710x+5)=165 ，解得 x=524119 .
∴当 x=300119,650119,524119 时，PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直.
(3）②如图2，作PH⊥AB于点H，
则QH=PH=EBsinB= 3×45=125 ，
AH= 57+x-125=y+ADcosA=y+4×45 ，把 y=-710x+5 ，代入，得
57+x-125=-710x+5+4×45 ，解得 x=692119 .
（3）②如图3，作PH⊥AB于点H，则QH=PH=EBsinB= 3×45=125 ，
AH= 57+x+125=y+ADcosA=y+4×45 ，把 y=-710x+5 ，代入，得
57+x+125=-710x+5+4×45 ，解得 x=356119
5. （1）证明：方法1.过点D作DM∥AB交BC于点M.
则△ABC∽△DMC，∠1=∠2， ADCD=BMCM
∴DMCM=ABBC
∵BD为∠ABC的平分线∴∠1=∠3
∴∠2=∠3∴DM=BM
∴ADCD=BMCM=DMCM=ABBC 即 ADCD=ABBC
方法2.过点C作CM∥AB交BD的延长线于点M，通过相似可证.
方法3.过点D作BA，BC的垂线，通过两个等高三角形面积比可证.
（2）解：①证明：由题意知，AE=BE=CE
∴∠3=∠4，∠BAC=90°即AC⊥AB
又∠1=∠3，A′G=AB
∴∠1=∠4，AG∥AC∴A′E∥AB
∴四边形AGA′F为平行四边形
∵A′G⊥AB∴ ? AGA′F为矩形
②解：由题意，在Rt△ABC中，可设AB=3t，AC=4t，则BC=5t
∴EF=32t,A'E=52t,∴AG=A'F=52t-32t=t
在△BEG中由（1）可得: EHGH=BEBG=52t3t+t=58
∵AE为BC边的中线， ∴S△CEH=S△BEH
∴S△CEHS△BEH=S△BEHS△BGH=EHGH=58
∴S△CEH=58S△BGH=58S
6. （1）解：①如图1中，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD= 12 CAB=30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠EAM=∠FAM=30°，
∴ME=MF．
②∵AE=AF，EM=MF，
∴AM⊥EF，
∵AM=AE?cos30°=2 3 × 32 =3，
∵等边三角形中AC=AB=8，
∴CM=AC-AM=5，
∵EM=MF= 3 ，
∴CE= CM2+ME2=52+(3)2=27 ，
∵CN=NE，
∴MN= 12 EC= 7 ．
（2）① 32 ；
② 739
7. （1）证明： ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,?∠CAD=45°=∠ACB,?∠BAD=90°=∠CDA=∠B ，
∴∠BAM+∠MAD=90°,?∵∠MAN=90° ，
∴∠MAD+∠DAN=90°,?∴∠BAM=∠DAN ，
∵AD=AB,?∠ABC=∠ADN=90° ，
∴△ABM?△ADN(ASA) ?
∴AM=AN ；
（2）证明： ∵AM=AN,?∠MAN=90°?∴∠MNA=45° ，
∵∠CAD=2∠NAD=45°,?∴∠NAD=22.5° ，
∴∠CAM=∠MAN-∠CAD-∠NAD=22.5° ，
∴∠CAM=∠NAD,?∠ACB=∠MNA=45° ，
∴△AMC~△AEN ，????????????????
∴AMAE=ACAN,?∴AM?AN=AC?AE ，
∵AN=AM,?AC=2AB ，
∴AM2=2AB?AE ；?
（3）kk+2
8. （1）解：由题意得，∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE
∴AD=AE
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∴∠ECD=90°，BD⊥CE．
（2）解：由（1）得：△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∵ CD=13BC ，BD＝2DC，即 BD=23BC ,
∴ BD=CE=23BC ，
∵AD=AE
∴ DE=AD2+AE2=2AD
∴∠B=∠ACB=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°
∴CD2+CE2=DE2 ， 即 (13BC)2+(23BC)2=2AD2 ，
∴ AD=106BC ；
（3）解：如图，过点A作 AM⊥BC 交 BC 于点M
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴ BM=CM=12BC
∴ AM=BM=CM=12BC
∴ AM=12BC=12(BD-CD) ， DM=CM+CD=12BC+CD=12(BD+CD)
∵ AM2+DM2=AD2
∴ [12(BD-CD)]2+[12(BD+CD)]2=AD2
∴ BD2+CD2=2AD2 ．
9. （1）解：结论：△DHE是等腰直角三角形．
理由：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDF＝90°，∠DCA＝45°，
∵点H是CF的中点，
∴DH＝DH＝HF＝ 12 CF，
∵∠CEF＝90°，CH＝HF，
∴EH＝CH＝HF＝ 12 CF，
∴DH＝HE，
∵DH＝CH＝HE，
∴∠HCD＝∠HDC，∠HCE＝∠HEC，
∵∠DHF＝∠HDC+∠HCD，∠FHE＝∠HCE+∠HEC，
∴∠DHE＝2∠DCH+2∠HCE＝2∠DCA＝90°，
∴△DHE是等腰直角三角形．
（2）解：如图3中，结论成立．
理由：连接BH，过点H作HG⊥AB于G．
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°
∴A，F，A共线，
∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCH＝45°，CH＝CH，
∴△BCH≌△DCH（SAS），
∴DH＝BH，∠CDH＝∠CBH，
∵∠FEA＝∠HGA＝∠CBA＝90°，
∴EF∥GH∥BC，
∴ BGEG=CHHF ，
∵CH＝HF，
∴GB＝GE，
∵HG⊥BE，
∴HB＝HE，
∴∠HBE＝∠HEB，HE＝HD，
∵∠CDA＝∠CBA＝90°，∠CDH＝∠ABH，
∴∠ADH＝∠ABH＝∠HEB，
∵∠HEB+∠AEH＝180°，
∴∠ADH+∠AEH＝180°，
∴∠DHE+∠DAE＝180°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴△DHE是等腰直角三角形．
（3）22
10. （1）解：∵ DE⊥AC ， GN⊥DF ，
∴∠GNE=∠MEN=90°，
∵ BG//DF ，
∴∠MGN+∠GNE=180°，
∴∠MGN=90°，
∴四边形NEMG是矩形．
（2）解：∵四边形NEMG是矩形，GN=8，
∴∠AMB=∠AMG=90°，ME=GN=8，
∵sin∠CAB= 513 ，AB=26，
∴MB= AB?sin∠CAB= 10，
∴ AM=AB2-MB2 =24，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠CAB=∠ACD，
在△ABM和△CDE中， {∠BMA=∠DEC∠CAB=∠ACDAB=CD ，
∴△ABM≌△CDE，
∴CE=AM=24，
∴AC=AM+CE-ME=24+24-8=40．
11. （1）解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ DC=DA,∠DCE=∠DAF=90° ，
又∵ ∠CDE+∠ADE=90°,∠ADF+∠ADE=90° ，
∴ ∠CDE=∠ADF ，
∴ △ECD?△FAD (ASA)
∴ CE=AF ．
（2）解：作 EI//AB ，交 AC 于点I，连接 DM ，
∵ △ECD?△FAD ，DF⊥DE，
∴DF=DE，∠FDE=90°，
则 △FDE 为等腰直角三角形．
∵AC为正方形对角线，∠IEC=∠B=90°，
∴ ∠EIC=∠ECI=45° ，
∴ CE=IE ，
又∵ FA=CE ，
∴ FA=EI ，
∵ EI//FA ，
∴ ∠IEM=∠AFM ， ∠EIM=∠FAM ，
∴ △FAM≌△EM(ASA) ，
∴ FM=ME ．
（3）解：不变
由（1），（2）可知 △FDE 为等腰直角三角形，FM=EM，
∴DM⊥FE， ∠MDE=∠MDF=45° ，
∵ ∠DNA=45°+∠CDN=∠MDE+∠CDN=∠MDC ，
又∵ ∠DAN=∠DCM=45° ，
∴ △AND∽△CDM ．
∴ ANCD=ADCM ．
∴ NA?MC=AD?CD=4×4=16 ．
12. （1）证明：∵正方形 ABCD 沿着 BE ， BF 将 BC ， AB 翻折，使 A ， C 两点恰好落在点 P .
∴△ABF≌△PBF，△BPE≌△BCE，
∴AE=A′E，BE=B′E，∠PBF =12∠ABP ，∠PBE =12∠PBC ，
∴∠EBF=∠PBF+∠PBE= 12(∠ABP+∠CBP)=12∠CBA=45?
（2）解：①由折叠的性质可得 ∠BPE=∠C=90° ，
∴∠MPB+∠NPE=90°，
∵ MN//BC ，正方形 ABCD
∴四边形MBCN为矩形，
∴∠PMB=∠ENP=90°，BM=CN=5；
∴∠MPB+∠MBP=90°，
∴∠NPE=∠MBP，
∴△MBP∽△NPE，
∴ PMNE=BMPN ，
∴ PM·PN=BM·NE
∵ BM=5 ，且 MP?PN=10 ，
∴NE=2，
∴CE=PE=3，
∴ PN=PE2-NE2=32-22=5 ，
∴ PM=25
∴ MN=AD=35
正方形折纸的面积= AD2=45 ；
②由折叠可知∠AFB=∠BPE，AF=PF，
∵AD//MN
∴∠AFB=∠FQP，
∴∠BPE=∠FQP，
∴ PF=QP=12BC=AF ，
∴ AF=FD=12BC ，
设EC=x，则DE= DC-x =BC-x；PE=x，
∵在直角三角形DEF中， EF2=DF2+DE2
∴ (12BC+x)2=(12BC)2+(BC-x)2 ，
∴ x=13BC ，
∴ PE=CE=13BC ，
∴ EF=56BC ，
∵AD//MN
∴△MBP∽△NPE，
∴ PNDF=PEEF=25 ，
∵ AF=FD=12BC ，
∴ PN=15BC ，
∴ MQ=MN-PQ-PN=BC-12BC-15BC=310BC ，
∵AD//MN
∴△MBQ∽△ABF，
∴ BMAB=MQAF=310BC12BC=35 ，
∴ AMBM=23
13. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴ △ABE?△DAQ(ASA) ，
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2）解：结论： GFAE=k .理由如下：
如图2中，过G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴ △ABE?△GMF ，
∴ GFAE=GMAB ，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴ GFAE=ADAB=BCAB=k
（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M.
∵ FB//GC ， FE//GP ，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴ tan∠CGP=tan∠BFE=43=BEBF ，
∴设 BE=4k ， BF=3k ，
则 EF=AF=5k ， AB=BF+AF=3k+5k=8k ，
∵ FGAE=34 ， FG=25 ，
∴ AE=853 ，
∴ (4k)2+(8k)2=(853)2 ，
∴ k=23 或 k=-23 （不合题意，舍去），
∴ BE=83 ， BF=2 ， EF=AF=103 ， AB=163 ，
∵ BCAB=k=34 ，
∴BC＝4，
∴ CE=BC-BE=4-83=43 ， AD=PE=BC=4 ，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴ △FEB?△EPM ，
∴ EFPE=BFME=BEMP ，
∴ 1034=2ME=83MP ，
∴解之得： ME=125 ， MP=165 ，
∴ CM=EM-CE=125-43=1615 ，
∴ CP=CM2+PM2=(1615)2+(165)2=161015
14. （1）DH=HF
（2）解： DH=HF 仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形， FG⊥BC ， ∠ECF=90° ，
∴ ∠CGF=∠ECF=∠EBC=90°
∴ ∠FCG+∠BCE=90° ，
∵ ∠BCE+∠CEB=90° ，
∴ ∠FCG=∠CEB ，
∴ ΔFCG?ΔCEB ，
∴ GFBC=FCCE=n ，
∴四边形ABCD是矩形， AB=nAD ，
∴ CDBC=n ，
∴ GFBC=CDBC ，
∴ GF=CD ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ CD⊥BC ，
∵ FG⊥BC ，
∴ CD//FG ，
∴ ∠HDC=∠HFG ， ∠HCD=∠HGF ，
在 ΔHCD 和 ΔHGF 中，
{∠HDC=∠HFGCD=GF∠HCD=∠HGF ，
∴ ΔHCD≌ΔHGF(ASA) ，
∴ DH=HF
（3）解：如图所示，延长FC交AD于R，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD=4 ， AD=BC=3 ， ∠RDC=90° ， RD//CH ，
∵ AB=nAD ， CF=nCE ，
∴ n=ABAD=43 ，
∴ CE=43CF ，
分两种情况：
①当 AR=13AD 时，
∵ AD=3 ，
∴ AR=1 ， DR=2 ，
在 RtΔCDR 中，由勾股定理得：
CR=DR2+CD2=22+42=25 ，
∵ RD//CH ， DH=DF ，
∴ RC=CF=25 ，
∴ CE=34×25=325 ，
②当 DR=13AD 时，同理可得： DR=1 ，
DC=17 ， CF=RC=17 ，
CE=3174 ，
由勾股定理得：
EF=CF2+CE2=(17)2+(3174)2=5174 ，
综上所说，若射线FC过AD的三等分点，
AD=3 ， AB=4 ，
则线段EF的长为 552 或 5174
15. （1）解：∵四边形 ABCD 是正方形
∴AB=AD,?∠BAD=∠ABC=∠ACB=∠ADF=90°,BC=DC
又 AP⊥AQ
∴∠EAF=90°
∴∠EAB=∠FAD=90°-∠BAF,?∠ABE=180°-90°=90°
∴∠ABE=∠ADF
∴△ABE≌△ADF(ASA)
∴AE=AF
（2）解： CF=2BM ，理由如下；
过点F作 FG//BM 交 BC 于G，如图
则 EBBG=EMMF
∵M 为 EF 中点
∴EM=MF
∴EB=BG
∵△ABE≌△ADF
∴EB=DF
∴BG=DF
又 BC=DC
∴CG=CF
∴FG=CG2+CF2=2CF
∵EM=MF,?EB=BG
∴BM=12FG=22CF
∴CF=2BM
（3）解：①当点E在线段CB的延长线上时
由（2）知，BG=BE=2
∴CG=CF=2
∴ 2BM=CF=2
∴ BM=2
②当点E在线段CB上时
过点F作 FG//BM 交 BC 于G，如下图所示
同理可得BG=BE=2
∴CG=CF=BC+BG=6
∴ 2BM=CF=6
∴ BM=32
综上所述，BM的长为 2 或 32
16. （1）12
（2）解：①证明：过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠AEH＝90°．
∴EH∥BF，
∴∠EHG＝∠FCG，∠HEG＝∠CFG，
在Rt△ABC和Rt△AEH中，
∵AB＝2BC，
∴tan∠CAB＝ BCAB ＝ EHAE ＝ 12 ，
∴AE＝2EH，
∵AE＝2CF，
∴EH＝CF，
∴△EHG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG．
②证明：设EH＝x，则AE＝2x，
Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝ AE2+EH2 ＝ 5 x，
∵EH∥BF，
∴ AHHC ＝ AEEB ，
∴ 5xHC ＝ 2xEB ，
∴CH＝ 52 BE，
∵△EHG≌△FCG，
∴HG＝CG，
∴CG＝ 54 BE．
（3）解：①成立；
过点E作EI∥BC 交AC于点I，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，
∴tan∠IAE＝ IEAE=BCAB=12 ，
∴AE＝2IE，
∵AE＝2CF，
∴IE＝CF，
∵EI∥BC，
∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，
在△EIG和△FCG中，
{∠EIG=∠FCGEI=CF∠IEG=∠CFG ，
∴△EIG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG；
②解：过点F作FP∥AB交AC于P，如图3所示：
则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，
∴∠CPF＝∠CAB，
在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，
∴tan∠CPF＝ CFPF ＝tan∠CAB＝ BCAB=12 ，
∴PF＝2CF，
∵AE＝2CF，
∴AE＝PF＝2，
同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），
∴AG＝PG，
∵BF＝2，CF＝1，
∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，
∴AC＝ AB2+BC2 ＝ 62+32 ＝3 5 ，
∵FP∥AB，
∴△CPF∽△CAB，
∴ PCAC=CFBC=13 ，
∴PC＝ 13 AC＝ 5 ，PA＝AC﹣PC＝2 5 ，
∴AG＝PG＝ 12 PA＝ 5 ，
∵FP∥CD，
∴△PFH∽△CDH，
∴ PHCH=PFCD=26=13 ，
∴PH＝ 14 PC＝ 54 ，
∴GH＝PG+PH＝ 5+54 ＝ 554 ．
17. （1）解：如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，
∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；
（2）GFAE=23 ．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GF：AE＝GM：AB，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴GF：AE＝AD：AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，
∴GF：AE＝BC：AB，
∵ BCAB=23 ，
∴ GFAE=23 ．
（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k，
∵ GFAE=23 ， GF=210 ，
∴AE＝ 310 ，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得 BE2+AB2=AE2 ，
∴ (3k)2+(9k)2=(310)2
∴k＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴ FBEM=FEEP=BEPM ，
∴ 4EM=56=3PM ，
∴EM＝ 245 ，PM＝ 185 ，
∴CM＝EM﹣EC＝ 245 ﹣3＝ 95 ，
∴PC＝ CM2+PM2=(95)2+(185)2 = 955 ．
18. （1）证明：取 BC 中点为E，连接 DE ．
∵ CD 是斜边 AB 上的中线
∴ BD=12AB ，又∵ BE=12BC
∴ DE 为 Rt△ABC 中位线
∴ DE//AC,DE=12AC
∵ ∠ACB=90° ，
∴ DE⊥BC
∴ DE 垂直平分 BC
∴ CD=BD
∴ CD=12AB
（2）MN 垂直平分 EF
证明：连接 MF,ME
∵ BE 、 CF 是锐角 △ABC 两条高
∴ BE⊥AC ， CF⊥AB
∴ ∠BEC=90° ， ∠CFB=90°
∴在 Rt△BEC 中，M为 BC 中点， EM=12BC
在 Rt△CFB 中， FM=12BC ，
∴ MF=ME ，
又∵N为 EF 中点，
∴ MN 为 EF 中垂线．
（3）315
19. （1）解：四边形 CEDG 是菱形，理由如下：
∵四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点，
∴ GB=GC=GD ，
∵ CF=GC ，
∴ GB=GC=GD=CF ，
∵四边形 DCFE 是菱形，
∴ CD=CF=DE ， DE//CG ，
∴ DE=GC ，
∴四边形 CEDG 是平行四边形，
∵ GD=GC ，
∴四边形 CEDG 是菱形
（2）解：∵ CD=CF ， GB=GD=GC=CF ，
∴ △CDG 是等边三角形，
∴ CD=BG ， GCD=∠DGC=60° ，
∴ ∠DCF=∠BGC=120° ，
∴ △BGC≌△DCF(SAS) ，
∴ DF=BC=3 ．
20.（1）（m+ 92 ， 34 m）
（2）解：设直线BO的解析式为：y=kx，
把点 B 的坐标是 (8,6) ，代入上式可得：6=8k，解得：k= 34 ，
∴直线BO的解析式为：y= 34 x，
∵点 E 的坐标为（m+ 92 ， 34 m）， EF//AO ，
∴点 F 的坐标为（m， 34 m），
∴ EF = m+ 92 -m= 92 ，即：线段 EF 的长度不会随点 M 的位置的变化而变化
（3）解：①连接CE，过点E作EQ⊥BC于点Q，
∵点 E 的坐标为（m+ 92 ， 34 m），
∴EQ=6- 34 m，
∵OC=6，OM=m，
∴CM= 36+m2 ，
∵ OCMN=OMNE=CMME=43 ，
∴ME= 34 CM= 34 36+m2 ，
∴四边形 BCME 的面积= 12CM?ME+12BC?QE = 38m2-3m+752 = 38(m-4)2+632 ，
即：当m=4时，四边形 BCME 的面积最小值为： 632 ；
②（a）当点G为顶角顶点时，如图，则 G(m+92+m2,0) ，即： G(m+94,0) ，
（b）当点E为顶角顶点时，如图，则EG=EF= 92 ，EH= 34 m，GH= (92)2-(34m)2=3436-m2 ，
∴ G(m+92+3436-m2,0) 或 G(m+92-3436-m2,0) ，
综上所述：G的坐标可以是： G(m+94,0) 或 G(m+92+3436-m2,0) 或 G(m+92-3436-m2,0) ．
21. （1）解：∵ 等腰Rt△ABC和等腰Rt△AEF ，
∠ACB=∠AFE=90°，
∴AC=BC=8，AF=EF=22 ，
∴AB=AC2+BC2=2AC=82 ， AE=2EF=4，
∴CE=AC-AE=8-4=4，
∴BE=CE2+BC2=45 ，
∵Q是线段BE的中点，
∴CQ=12BE=25；
（2）证明：如图，延长FQ至K,使KQ= FQ，连接KB,延长FC至G点，

∵Q为BE的中点，∴FQ=KQ，
在△EFQ与△BKQ中，
FQ= KQ∠FQE=∠KQBEQ=BQ ，
∴△EFQ≌△BKQ (SAS)，
∴EF= BK，∠FEQ =∠KBQ，
∴AF= BK, EF ∥ BK，
∴∠KBC=∠BCG，
∴∠ACB=90°,
∴∠FCA+∠BCG = 180°-∠ACB=90°，
∵∠FAC+∠FCA=∠AFE=90°,
∴∠BCG =∠FAC，
又∠KBC =∠BCG，
∴∠FAC=∠KBC，
在△AFC与△BKC中，
AF= BK∠FAC=∠KBCAC= BC ，
∴△AFC≌△BKC（SAS），
∴CF= CK，∠FCA=∠KCB，
∴∠FCK =∠FCA+∠ACK =∠KCB+∠ACK = 90°，
∴△FCK为等腰直角三角形，
又Q为FK中点，
∴CQ=FQ；
（3）680+1281717
22. （1）45°；22
（2）证明：① ∠CBE=∠A ，理由如下：
由旋转的性质得： ∠BCE=∠ACD ，
∵BC=2AC ， CE=2CD ，
∴ BCAC=CECD=2 ，
∴ΔBCE∽ΔACD ，
∴∠CBE=∠A ；
② ∵CD⊥AB ，
∴∠ADC=∠BDC=90° ，
由①得： ΔBCE∽ΔACD ，
∴∠BEC=∠ADC=90° ，
又 ∵∠DCE=90° ，
∴ 四边形 CDBE 是矩形；
（3）解：在点 D 的运动过程中，若 ΔBCD 恰好为等腰三角形，存在两种情况：
①当 CD=BD 时，则 ∠DCB=∠DBC ，
∵∠DBC+∠A=90° ， ∠ACD+∠DCB=90° ，
∴∠A=∠ACD ，
∴CD=AD ，
∴CD=BD=AD ，
∴AD=12AB ，
∵AB=AC2+BC2=22+42=25 ，
∴AD=5 ；
②当 BD=BC=4 时， AD=AB-BD=25-4 ；
综上所述：若 ΔBCD 恰好为等腰三角形，此时 AD 的长为 5 或 25-4
23. （1）解：由平行四边形的性质可知 AD//BC ，
∴ ∠AB'E=∠CEB' ，
由翻折可知 ∠AB'E=∠ABE ，
∴ ∠CEB'=∠ABE ，
∴ AB//B'E .
∴四边形 ABEB' 是平行四边形.
再由翻折可知 AB'=AB ，
∴四边形 ABEB' 是菱形
（2）解：由翻折可知 ∠BPF=∠QPF ，
∵ AD//BC ，
∴ ∠BPF=∠QFP ，
∴ ∠QPF=∠QFP ，
∴QF=QP，
∴ △PFQ 是等腰三角形
（3）解：如图，延长 PB' 交AD于点G，
根据题意可知 ∠FA'M=∠GB'M=90° ，
在 △FA'M 和 △GB'M 中， {∠FA'M=∠GB'M=90°A'M=B'M∠FMA'=∠GMB' ，
∴ △FA'M?△GB'M(ASA) ，
∴ A'F=B'G=AF=2 ， FM=GM .
根据（2）同理可知 △PFG 为等腰三角形.
∴FG=PG.
∵ A'F=AM=2 ，
∴在 Rt△A'FM 中， FM=A'M2+A'F2=22 ，
∴ FG=2FM=42 ，
∴ PG=42 ，
∴ PB=PB'=PG-B'G=42-2 .
24. （1）解：设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°-x，
∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，
∴90°-x-2x=2×2x，或2x-（90°-x）=2（90°-x）
∴x=90°7或x=54°
∴∠A=2x=180°7或108°，
∴顶角∠A的度数为180°7、108°；
（2）解：∵ AB=3 ， BD=1 ， BC=9 ，
∴ ABBC=BDAB .
又∵ ∠B=∠B ，
∴ ΔBAD∽ΔBCA .
∴ ∠BAD=∠C .
设 ∠BAD=∠C=α .
∵ CA=CD=8 ，
∴ ∠DAC=∠ADC=90°-12α .
∴ ∠B=90°-32α ， ∠BAC=90°+12α .
∴ ∠BAC-∠B=2∠C .
∴ ΔABC 是差倍角三角形.
（3）解：①证明：连结 CE ，
∵ BC=DE ，
∴ ∠ECD=∠BEC ，
∴ BE∥CD .
∵ AB=BC=DE ，
∴ ∠AEB=∠BAC=∠DAE .
∵ ΔABE 是关于 ∠AEB 的差倍角三角形，
∴ ∠FAG=∠BAE-∠BAC-∠DAE=∠BAE-2∠AEB=∠ABE .
∴ ∠FAG=∠ABE=∠ADE .
∴ AC//DE .
∴四边形 CDEF 是平行四边形
②∵∠BAF=∠AEB，∠ABF=∠EBA，
∴△ABF∽△EBA，
∴ ABBE=BFAB=AFAE ，
∴ BE=AB2BF=x21=x2 ，
∴EF=BE-BF=x2-1，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CD=EF=x2-1，
∵ AE=CD ，
∴AE=CD=x2-1，
∴ AF=AB?AEBE=x(x2-1)x2=x2-1x ，
过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，
∴BM∥EN，
∴△BFM∽△EFN，
∴ BMEN=BFEF=1x2-1 ，
∴ BM=1x2-1EN
过点G作GH⊥AE于H，
∵∠BAC=ACB=∠AEG=∠EAG，
∴△ABC∽△AGE，
∴ BMGH=ACAE ，
∴ 1x2-1ENGH=x2-1GH=2x2-1x2-1=xx(x2-1) ，
∴ ENGH=2x2-1x ，
∴ y=S四边形CDEFSΔAEG=DE?EN12AE?GH=2DEAE?ENGH=2xx2-1?2x2-1x=4x2-2x2-1 .
25. （1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝10，∠OCB＝90°，
∵将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转 α(0<α<180°) 得到矩形ODEF，
∴OF＝OC＝10，EF＝BC＝8，∠F＝∠OCB＝90°，
∴OE＝ OF2+EF2=100+64=241 ，
∴点E（0， 241 ）
（2）解：①连接BO交AC于点H，如图所示：
?
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝OB，AH＝OH，
∴∠OAH＝∠AOH，且∠BAO＝∠COA＝90°，
∴∠ABO＝∠ACO，
∵将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转 α(0<α<180°) 得到矩形ODEF，
∴DE＝AB＝OC，OE＝BO，OD＝OA，
∠ABO＝∠DEO，∠EDO＝∠BAO＝90°，∠BOA＝∠EOD，
∴∠ACO＝∠DEO，
∵OA＝OD，HA＝HO，
∴∠BOA＝∠DAO，∠DAO＝∠ODA，
∴∠BOA＝∠ODA＝∠EOD，
∴EO∥AC，
∴∠CDE＝∠OED＝∠OCD，且DE＝OC，∠DEC＝∠COD，
∴△ECD≌△ODC（AAS），
②∵△ECD≌△ODC
∴EC＝OD＝OA＝BC＝8，
∵∠ECO＝90°，
∴∠ECO＋∠BCO＝180°，
∴点E，点C，点B共线，
∵EC＝BC，OC⊥BC，
∴点B，点E关于OC对称，且B（8，10），
∴点E（﹣8，10）
（3）解：如图所示，当点M在点B右侧，连接ON，过点N作NG⊥OD于G，
?
∵BM＝ 12 BN，
∴设BM＝x，则BN＝2x，MN＝3x，
∵NG⊥OD，∠FED＝∠EDO＝90°，
∴四边形NEDG是矩形，
∴NG＝DE＝10＝AB＝CO，
∵S△OMN＝ 12 · MN · OC＝ 12 · OM · NG，
∴OM＝MN＝3x，
∵OC2＋CM2＝OM2 ，
∴ 100+(x+8)2=9x2 ，
∴x＝ 2+862 （负值舍去），
∴BN＝2＋ 86 ，
∴NC＝BN﹣BC＝ 86 ﹣6，
∴点N（6﹣ 86 ，10），
如图所示，若点M在点B左侧，连接ON，过点N作NG⊥OD于G，
?
∵BM＝ 12 BN，
∴设BM＝x，则BN＝2x，MN＝x，
∵NG⊥OD，∠FED＝∠EDO＝90°，
∴四边形NEDG是矩形，
∴NG＝DE＝10＝AB＝CO，
∵S△OMN＝ 12 · MN · OC＝ 12 · OM · NG，
∴OM＝MN＝x，
∵OC2＋CM2＝OM2 ，
∴ 100+(x-8)2=x2 ，
∴x＝ 414 ，
∴BN＝2× 414=412 ，
∴NC＝BN﹣BC＝ 252 ，
∴点N（﹣ 252 ，10），
综上所述：点N（6﹣ 86 ，10），（﹣ 252 ，10）
26. （1）证明：如图1中，
∵DE⊥DF，
∴∠EDG＝∠B＝90°，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠DEG+∠DGE＝90°，∠BAC＝∠DEG＝α，
∴∠DCF＝∠EGF，
∵∠DFC＝∠EFC，
∴△DFC∽△EFG，
∴ DFEF=CFGF
∴ DFCF=EFGF
∵∠EFD＝∠CFG，
∴△DEF∽△CGF
（2）证明：结论：BD﹣ 22 CG＝ 22 AE
理由：如图1﹣1中，过点E作EJ⊥BD于J，EK⊥AB于K，过点G作GT⊥BC交BC的延长线于T.
∵∠A＝∠EDG＝45°，∠B＝∠EDG＝90°，
∴△ABC，△EDG都是等腰直角三角形，
∵∠A＝45°，∠EKA＝90°，
∴EK＝ 22 AE，
∵∠B＝∠EKB＝∠EJB＝90°，
∴四边形BKEJ是矩形，
∴BJ＝EK＝ 22 AE，
∵∠EJD＝∠EDG＝∠T＝90°，
∴∠EDJ+∠GDJ＝90°，∠GDJ+∠DGJ＝90°，
∴∠EDJ＝∠DGT，
∵DE＝DG，
∴△EJD≌△DTG（AAS），
∴DJ＝GT，
∵△EDF∽△GCF，
∴∠EDF＝∠GCF＝90°，
∴∠ACB＝∠GCF＝45°，
∴GT＝ 22 CG，
∴BD﹣DJ＝BJ，
∴BD﹣ 22 CG＝ 22 AE
（3）解：如图2中，连接MD，MC，过点M作MT⊥CD于T，交AC于O，过点N作NJ⊥MT于J.
∵∠B＝90°，tan∠A＝ BCAB ＝2，AC＝10，
∴AB＝2 5 ，BC＝4 5 ，
∵BD＝ 13 CD，
∴CD＝ 34 BC＝3 5 ，
∵∠EDG＝∠ECG＝90°，EM＝MG，
∴DM＝ 12 EG.MC＝ 12 EG，
∴MD＝MC，
∵MT⊥CD，
∴DT＝TC＝ 352
∴点M在CD的垂直平分线上运动，当点M与J重合时，NM的值最小，最小值为线段NJ的长，
∴OT∥AB，
∴CT：CB＝OC：AC，
∴OC＝ 154
∵NA＝NC＝5，
∴ON＝5﹣ 154 ＝ 54 ，
∵NJ∥CT，
∴ NJCT=ONOC
∴ NJ352=54154
∴NJ＝ 52
∴NM的最小值为 52
27. （1）125
（2）解：如图2中，作出点C关于BD的对称点E，
过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM＋MN＝EN最小.
?
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，
∵CE⊥BD，
∴ 12 BD×CF＝ 12 BC×CD，
∴CF＝ BC?CDBD=125 ，
由对称得，CE＝2CF＝ 245 ，
在Rt△BCF中，cos∠BCF＝ CFBC=35 ，
∴sin∠BCF＝ 45 ，
在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝ 245×45=9625 ；
即：CM＋MN的最小值为 9625
（3）解：存在.
理由：如图3中，作EH⊥AB交⊙E于H，作HK⊥BC于K，可得四边形EBKH是正方形，
?
∴BK＝HK＝EH＝BE＝10m，
∵当点G到CD的距离最小时，△GDC的面积最小，
∵点G在⊙E上运动，
观察可知当点G与H重合时，点G到CD的距离最小，这个距离的最小值为40﹣10＝30(m)，
此时S△GDC＝ 12 ×30×30＝450m2.
∴△GDC的面积的最小值为450m2
28. （1）32；2
（2）解：①当点G到达OB前，△EFG与△ABO重叠部分为△EFG的面积，
∵AF=FG=t，AE=EG= 3 t，
∴S= 12 EG ? FG= 32t2 .
由（1）可知当点G在OB上时，t= 32 ，
∴S= 12 EG ? FG= 32t2 （0≤t≤ 32 ）.
②如图，当点G超过OB时，设OB分别交FG、EG于P、Q，
∵ EF//OB,∠AEF=30°=∠AOB=∠GEF=∠QPG,
∴∠EPO=∠EOP=30°, ?
∴EO=EP=33-3t, ?
∴PG=EG-PE=3t-(33-3t)=23t-33, ?
由 tan∠QPG=QGPG=33=QG23t-33,
∴QG=2t-3, ?
∴S=S△EFG-S△PQG= 32t2-12(23t-33)(2t-3)=-332t2+63t-932,
∵点F运动到点B所用时间为3÷1=3（秒），点E运动到点O所用时间为3 3÷3 =3（秒），
∴ 32 ∴ S=-332t2+63t-932 （ 32 综上所述：S= {32t2(0≤t≤32)-332t2+63t-932(32（3）解：∵当点G在BC上时，t=2，
∴AF=2，AE=2 3 ，
∵∠FGB=30°，
∴BG= 3 ，
∴F（2，3 3 ），G（3，2 3 ），E（0， 3 ），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴ {2k+b=33b=3 ，
解得： {k=3b=3 ，
∴直线EF的解析式为y= 3 x+ 3 ，
如图，当FG为边时，
∵F（2，3 3 ），G（3，2 3 ），
∴点F、G两点的水平距离为1，竖直距离为 3 ，
∵以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，
∴M、N两点的竖直距离为 3 ，
∵点N在x轴上，
∴点M的纵坐标为± 3 ，
∵点M在直线MN上，
∴当y= 3 时， 3 x+ 3 = 3 ，
解得：x=0，故M1（0， 3 ），
当y=- 3 时， 3 x+ 3 =- 3 ，
解得：x=-2，故M2（-2，- 3 ）
如图，当FG为对角线时，
∵FM//NG，
∴设直线NG的解析式为y= 3 x+m，
∴3 3 +m=2 3 ，
解得：m=- 3 ，
∴直线NG的解析式为y= 3 x- 3 ，
∵点N在x轴上，
∴当y=0时， 3 x- 3 =0，
解得：x=1，
∴N（1，0）
∴FM=NG= (3-1)2+(23-0)2 =4，
设M（a， 3 a+ 3 ），
∴ (a-2)2+(3a+3-33)2 =4，
解得：a=4或a=0（舍去），
∴M3（4，5 3 ）.
综上所述：存在点M、N使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为M1（0， 3 ），M2（-2，- 3 ），M3（4，5 3 ）.
29. （1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF=∠BAM=90 ° ，AD=AB，
在△ADF和△ABM中，
{AF=AM∠DAF=∠BAMAD=AB ，
∴△ADF≌△ABM(SAS)；
（2）解：如图2中，结论：四边形DFEM是平行四边形.
理由：延长BM交DF于K.
∵△ADF≌△ABM，
∴DF=BM，∠ABM=∠ADF，
∵EM=BM，
∴EM=DF，
∵∠ABM+∠AMB=90°，∠AMB=∠DMK，
∴∠ADF+∠DMK=90°，
∴∠BKD=90°，
∵∠EMB=90°，
∴∠EMB=∠BKF=90°，
∴EM∥DF，
∴四边形EFDM是平行四边形.
（3）解：如图2中，设DM=x，则AM=AF=5-x，
S四边形EFDM=DM?AF=x(5-x)=-(x-52)2+254 ，
∵ -1<0 ，
∴ x=52 时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为 254 ，
∴当 AM=12AD 时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为 254 .
30. （1）解：四边形 AP'FP 是正方形，理由如下：
由△APB绕点A逆时针旋转90°得 △AP'D 可得：
△ABP≌△ADP' ， ∠PAP'=90°
∴ ∠APB=∠AP'D=90° ， AP=AP' ，
∵ ∠PAP'=∠APB=∠AP'D=90° ，
∴四边形 AP'FP 是矩形，
∵ AP=AP' ，
∴四边形 AP'FP 是正方形．
（2）解：过点C作 CG⊥BP 于点G．
在正方形 ABCD 中， AB=AD=BC=5 ，
在正方形 AP'FP 中，设 AP'=P'F=x ，则 P'D=(x+1)
在 Rt△AP'D 中， ∠AP'D=90° ，
AP'2+P'D2=AD2
即： x2+(x+1)2=52
解得： x1=-4 （不符合题意，舍去）， x2=3 ，
∴ x=3
∴ AP'=AP=3 ， P'D=PB=4 ，
∵ ∠APB=∠CGB=∠ABC=90° ，
∴ ∠ABP+∠PBC=90°,∠PBC+∠BCG=90°
∴ ∠ABP=∠BCG ，
∵ AB=BC ，
∴ △ABP≌△BCG(AAS)
∴ CG=PB=4
∴ S△CPB=12BP?CG=12×4×4=8
（3）解：过点C作 CH⊥BP 于点H．
∵点E为 CD 的中点，
∴ DEAD=12 ，
∵ ∠DAP'+∠PAD=90°,∠PAD+∠AED=90° ，
∴ ∠DAP'=∠AED ，
∵ ∠P'=∠ADE
∴ △ADE∽△DP'A ，
∴ AP'DP'=DEAD=12
∴ DP'=2P'A
∴ DP'=2P'F=2DF
∵ △ABP≌△ADP'≌△BCH
∴ PB=CH=2BH=2DF
∵ CG⊥BP
∴ CP=CB ，
Rt△CBH 中，
CB=BH2+CH2=DF2+(2DF)2=5DF
∴ CP=5DF ．
31. （1）解：∵把矩形 OABC 绕点O顺时针旋转 135° ，得到矩形 ODEF ，
∴ ∠COF=135°,∠DOF=∠D=90°,OD=OA ，
∴ ∠FOM=180°-∠COF=180°-135°=45° ，
∵ A(1,0) ，
∴ OA=1 ，
∴ OD=1 ，
∴ ∠DOM=90°-∠FOM=90°-45°=45° ，
在 Rt△ODM 中， OM=ODcos45°=122=2 ；
（2）解：①∵四边形 OABC 是矩形，
∴ CB=OA=1,CB//OA ，
又 CN//BO ，
∴四边形 CNOB 是平行四边形，
∴ NO=CB=1 ，
如图，记 D'E' 交y轴于点 M' ，则 MM'=t ，
∵四边形 ODFF 是矩形，
∴ OF//DE ，
∵ D'E'//DE ，
∴ OF//D'E' ，
∴ ∠NM'O=∠FOM=45° ，
∴ ∠ONM'=90°-∠NM'O=90°-45°=45° ，
∴ ∠NM'O=∠ONM' ，
∴ OM'=ON=1 ，
∴ t=MM'=OM-OM'=2-1 ，
② S=-12t2+(1+2)t-32 （ 232. （1）解：
∵矩形 OABC ，
∴ ∠OAB=90° ．
∵ ∠OAO1=45° ，
∴ ∠O1AE=45° ．
∵ ∠AO1E=90° ， O1A=OA=2 ，
∴ O1 F=AF=FE= 2 ，
∴ AE=AF+EF=22 ．
∴ E(2,22) ．
（2）解：四边形 OAC1B 是平行四边形．
在 Rt△AOB 中， tan∠AOB=ABOA=232=3 ，
∴ ∠BOA=60° ．
同理， ∠O1AC1=60° ．
∵ OA=O1A ，
∴ △OAO1 是等边三角形．
∴ ∠OAO1=60° ．
∴ AC1 与x轴的夹角等于 60° ．
∴ BO//AC1 ．
又 BO=AC1 ，
∴四边形 OAC1B 为平行四边形．
（3）(2+3,3),(2-3,-3)
33.（1）解：∵A（9，0）、B（9，12）
∴OA=9，AB=12，由勾股定理得OB=15
由题意得，BA⊥OA，又MH⊥OA
∴MH∥BA
∴ OHOA=MHAB=OMOB
又∵OM= 53t
∴OH=t，MH= 43t
使四边形BMHN为平行四边形，MH=BN即可
即 43t=12-2t
解得，t=3.6
（2）解：当△OMH∽△HNA时， OHHA=MHNA
即 t9-t=43t2t
解得t=3.6
当△OMH∽△NHA时， OMNA=MHHA
即 t2t=43t9-t
解得t= 2711
（3）解：若四边形BMHN是菱形，则HM=MB=BN
设点N的速度改变为 x
得 43t=15-53t=12-xt
解得t=5，x= 1615
当点N的速度改变为 1615 时，5秒四边形BMHN为菱形．
34. （1）C（﹣4，2），E（﹣3，0）
（2）解：①当点P在AB上时，有P（﹣1，t），
∵点P的横纵坐标互为相反数，
∴t＝1，
当点P在BC上时，设P（xp ， 2），
∵点P的横纵坐标互为相反数，
∴xp＝﹣2，即﹣1﹣（t﹣2）＝﹣2，
解得：t＝3，
综上所述：当t为1秒或3秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②当点P在AB上时，有P（﹣1，t）；
当点P在BC上时，有点P纵坐标为2，
横坐标为：﹣1﹣（t﹣2）＝1﹣t
此时，P（1﹣t，2）；
当点P在CD上时，有点P的横坐标为﹣4，
纵坐标为：2﹣（t﹣2﹣3）＝7﹣t，
此时，P（﹣4，7﹣t）；
③如图，
∵S四边形ABCP＝4，
∴S四边形ABCP＝ 12 ?BC?（CP＋BA）＝ 12 ×3（t﹣5＋2）＝4，
解得：t＝ 173 ，
∴2﹣（t﹣5）＝2﹣ 173 ＋5，
＝ 43 ，
∴P（﹣4， 43 ）．
35. （1）（0，2）；（4，2）；8
（2）解：∵点Q在y轴上，设Q（0，m），
∴OQ＝|m|，
∴S△QAB＝ 12 ×AB×OQ＝ 12 ×4×|m|＝2|m|，
∵S四边形ABDC＝8，
∴2|m|＝8，
∴m＝4或m＝﹣4，
∴Q（0，4）或Q（0，﹣4）．
（3）解：如图，
∵线段CD是线段AB平移得到，
∴CD∥AB，
作PE∥AB交 y 轴 于 点 E，
∴CD∥PE，
∴∠CPE＝∠DCP，
∵PE∥AB，
∴∠OPE＝∠BOP，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴∠CPO＝∠DCP+∠BOP．

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