2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形（Word版含答案）

2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形 1.???????????? （1）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD ， 点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形 C'D'EF ， C'F 交AD于点H ， 小华认为 △ EFH是等腰三角形，你认为小华的判断符合题意吗？请说明理由． （2）问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点 C' 落在AD上时，已知DE=a ， CD=b ， CF=c ， 写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论． （3）问题应用：如图③，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4．将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折得到 △ ACE ， AE交BC于点F ． 若点F为BC的中点，则平行四边形ABCD的面积为________． 2.??????? （1）（探究证明）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： 如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH ， EF分别交AD、BC于点E、F ， GH分别交AB、DC于点G、H ， 求证： EFGH=ABAD ； （2）（结论应用）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长； （3）（拓展运用）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG ， 若AB＝2，BC＝3，EF＝ 2103 ，请求BP的长． 3.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B ， C重合），连接MP ， PF⊥MP交CD于点F ． 点B ， B'关于MP对称，点C ， C′关于PF对称，连接B'C ． （1）求证：△PFC∽△MPB ． （2）①当BP＝2时，B'C'＝________； ②求B'C的最小值． （3）是否存在点P ， 使点B'，C′重合？若存在，请求出此时M ， F的距离；若不存在，请说明理由． 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且BC，AC，AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝3AN．点D，E分别是边AC，BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，当Q为AB中点时，y=2． （1）求BC，AC，AB的长． （2）求y关于x的函数表达式． （3）①连结PQ，当PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过点P作PH⊥AB于点H，当△PQH为等腰三角形时，求x的值. 5.如图1，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，点D在AC上. （1）求证： ADCD=ABBC （2）如图2，已知AE为BC边的中线，且AE=BE.在射线BD上取一点A'使AE=A'E，A'E交AC于点F，过点A'作AB的垂线，交BA的延长线于点G，连接EG交BD于点H，连接CH. ①求证：四边形AGA′F为矩形； ②若 tanC=34 ，△BGH的面积为S，请求出△CEH的面积（用含S的代数式表示）. 6.△ABC 为等边三角形， AB=8,?AD⊥BC 于点D，点E为线段 AD 上一点， AE=23 ．以 AE 为边作等边三角形 AEF ，连接 CE,N 为 CE 的中点． （1）如图1，当点E和点F在直线 AC 两侧时， EF 与 AC 交于点M，连接 MN ， ①求证： ME=MF ； ②求线段 MN 的长； （2）将图1中的 △AEF 绕点A逆时针旋转，旋转角为 α ，点M为线段 EF 的中点，连接 BE,MN,DM ， ①如图2，当 α=90° 时，请直接写出 DMBE 的值； ②连接 BN ，在 △AEF 绕点A逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出 tan∠DAN 的值． 7.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足 ∠MAN=90° ，联结MN ， AC ， MN与边AD交于点E ． （1）求证： AM=AN （2）如果 ∠CAD=2∠NAD ，求证： AM2=2AB?AE ； （3）MN交AC点O ， 若 CMBM=k ，则 OMON= ________（直接写答案、用含k的代数式表示）． 8.综合与探究 问题情境 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ， 点D是射线BC上一动点，连接AD ， 将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE ， 连接DE ， CE ． （1）探究发现 如图1，BD＝CE ， BD⊥CE ， 请证明；探究猜想； （2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）探究拓广 当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD ， DC ， AD之间的数量关系． 9.综合与实践． 问题情境： 综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动． 实践操作： 如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF ， 连接CF ， 点H为CF的中点，连接HD ， HE ， DE ， 得到△DHE ． （1）应用探究： 勤奋组： 如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由； （2）善思组： 如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 深入探究： （3）创新小组： 发现若连接BE ， 在旋转Rt△AEF的过程中， BECF 为定值，请你直接写出其值________． 10.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 DE⊥AC 于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作 BG//DF 交DC于点G，交AC于点M．过点G作 GN⊥DF 于点N． （1）求证：四边形NEMG为矩形； （2）若 AB=26,GN=8,sin∠CAB=513 ，求线段AC的长． 11.已知：正方形 ABCD 的边长为4，E是边 CB 上的一个动点，过点D作 DF⊥DE ，交 BA 的延长线于点F， EF 交对角线 AC 于点M， DE 交 AC 于点N． （1）求证： CE=AF ； （2）求证： FM=EM ； （3）随着点E在边 CB 上的运动， NA?MC 的值是否变化？若不变，请求出 NA?MC 的值；若变化，请说明理由． 12.如图，在折纸游戏中，正方形 ABCD 沿着 BE ， BF 将 BC ， AB 翻折，使 A ， C 两点恰好落在点 P . （1）求证： ∠EBF=45° . （2）如图，过点 P 作 MN//BC ，交 BF 于点 Q . ①若 BM=5 ，且 MP?PN=10 ，求正方形折纸的面积. ②若 QP=12BC ，求 AMBM 的值. 13.如图 （1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点E，Q分别在边 BC,AB 上， DQ⊥AE 于点O，点G，F分别在边 CD,AB 上， GF⊥AE .求证： AE=FG ； （2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中， BCAB=k （k为常数）.将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点A落在 BC 边上的点E处，得到四边形 FEPG,EP 交 CD 于点H，连接 AE 交 GF 于点O.试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP ，当时 k=34 ，若 tan∠CGP=43,GF=25 ，求 CP 的长. 14.点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H. （1）发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是________； （2）探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. （3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长. 15.如图，过正方形 ABCD 的顶点A作 AP⊥AQ ，将 ∠PAQ 绕点A旋转， AP 交射线 CB 交于点E， AQ 交射线 CD 交于点F，连接 EF，M 为 EF 的中点，连接 BM ． ? （1）求证： AE=AF ； （2）写出 CF 与 BM 的数量关系，并说明理由； （3）若 BC=4，BE=2 ，直接写出 BM 的长． 16.在矩形 ABCD 中， AB=2BC ，点E是直线 AB 上的一点，点F是直线 BC 上的一点，且满足 AE=2CF ，连接 EF 交 AC 于点G． （1）tan∠CAB= ________； （2）如图1，当点E在 AB 上，点F在线段 BC 的延长线上时， ①求证： EG=FG ； ②求证： CG=54BE ； （3）如图2，当点E在 BA 的延长线上，点F在线段 BC 上时， AC 与 DF 相交于点H， ① EG=FG 这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论： ②当 CF=1 ， BF=2 时，请直接写出 GH 的长． 17.?? （1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E ， Q 分别在边 BC ， AB 上， DQ⊥AE 于点 O ，点 G ， F 分别在边 CD ， AB 上， GF⊥AE ．求证： FG=AE ； （2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中， BCAB=23 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 EFGP ， EP 交 CD 于点 H ，连接 AE 交 GF 于点 O ．试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP ，若 BEBF=34 ， GF=210 ，求 CP 的长． 18.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容． 已知：如图①，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是斜边 AB 上的中线．求证： CD=12AB ． （1）请写出完整的证明过程． （2）结论应用：如图②， BE 、 CF 是锐角 △ABC 的两条高，M、N分别是 BC 、 EF 的中点，判断 EF 与 MN 的位置关系，并证明你的结论． （3）在（2）的条件下，若 EF=6,BC=24 ，则 MN 的长为________． 19.如图，四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点．连接 GC 并延长至F，使 CF=GC ，以 DC 、 CF 为邻边作 ?DCFE ，连接 CE ． （1）若四边形 DCFE 是菱形，判断四边形 CEDG 的形状，并证明你的结论． （2）在（1）条件下，连接 DF ，若 BC=3 ，求 DF 的长． 20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标是 (8,6) ，点 M 为 OA 边上的一动点（不与点 O、A 重合），连接 CM ，过点 M 作直线 l⊥CM ，交 AB 于点 D ，在直线 l 上取一点 E （点 E 在点 M 右侧），使得 CMME=43 ，过点 E 作 EF//AO ，交 BO 于点 F ，连接 BE ，设 OM=m(0