资源简介

通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：四边形的动点问题
1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2
，AB＝4
，DM⊥AC于点M
，
在对角线AC上取一点N
，
使得2CN＝3AM
，
连接DN并延长交BC于点E
，
F是AB上一点，连接EF
，
MF
．
当点P从点E匀速运动到点F时，点Q恰好从点M匀速运动到点N
．
（1）求AM
，
CE的长．
（2）若EF∥AC
，
记EP＝x
，
AQ＝y
．
①求y关于x的函数表达式．
②连接PQ
，
当直线PQ平行于四边形DEFM的一边时，求所有满足条件的x的值．
（3）在运动过程中，当直线PQ同时经过点B和D时，记点Q的运动速度为v1
，
记点P的运动速度为v2
，
求
的值．
2.如图，在平面直角坐标系
中，四边形
是矩形，点
的坐标是
，点
为
边上的一动点（不与点
重合），连接
，过点
作直线
，交
于点
，在直线
上取一点
（点
在点
右侧），使得
，过点
作
，交
于点
，连接
，设
．
?
（1）填空：点
的坐标为________（用含
的代数式表示）；
（2）判断线段
的长度是否随点
的位置的变化而变化？并说明理由；
（3）①当
为何值时，四边形
的面积最小，请求出最小值；
②在
轴正半轴上存在点
，使得
是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点
的坐标（用含
的代数式表示）．
3.如图，在矩形ABCD中，点O是边AD的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得
.
（1）当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2）若矩形ABCD的周长为20，求四边形AEDF的面积的最大值；
（3）若
，且存在点E，使四边形AEDF能成为一个矩形，求BC的取值范围.
4.在平面直角坐标系中，矩形
的顶点A
，
C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为
，将矩形
绕点A顺时针旋转
，得到矩形
，点O
，
B
，
C的对应点分别为
．
?
（1）如图①，当
时，
与
相交于点E
，
求点E的坐标；
（2）如图②，当点
落在对角线
上时，连接
，四边形
是何特殊的四边形？并说明理由；
（3）连接
，当
取得最小值和最大值时，分别求出点
的坐标（直接写出结果即可）．
5.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB
OC，点B，C的坐标分别为（15，8），（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动;动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动.M，N同时出发，设运动时间为t秒.
（1）在t＝3时，M点坐标________，N点坐标________;
（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？
（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值;若不能，说明理由.
6.如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（
，6）.
（1）求F点的坐标；
（2）如图2，P点在第二象限，且
，求P点的坐标；
（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，
为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标.
7.已知矩形
中，
，
．
（1）如图
，点
从点
开始沿
以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点
从点
开始在线段
上以每秒3个单位的速度往返移动．设
，
运动时间为
秒，当
时，是否存在这样的时刻，四边形
为平行四边形？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，将矩形
折叠，使点
与点
重合，点
与点
重合，展平后折痕为
，一动点
从点
出发，沿
，以每秒1个单位的速度移动一周，设
运动的时间为
秒，请直接写出当
为直角三角形时
的值．
8.已知：如图，在矩形
中，
，
，对角线
，
交于点
．点
从点
出发，沿
方向匀速运动，速度为
；同时，点
从点
出发，沿
方向匀速运动，速度为
；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接
并延点也长，交
于点
，过点
作
，交
于点
．设运动时间为
，解答下列问题：
（1）当t=2时，
________；
（2）当t为何值时，
是等腰三角形?
（3）设五边形
的面积为
，试确定
与
的函数关系式；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻
，使
平分
?若存在，直接写出
的值；若不存在，请说明理由．
9.如图在△ABC中，CD⊥AB
，
AB
=
6，AD
=
2，CD
=
4，点E为边BC的中点．动点P从点A出发，以
cm/s的速度沿边AB向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q
，
连结PE
，
以PE、PQ为边作平行四边形PQFE
．
设点P的运动时间为t（s）．
（1）
________．
（2）用含t的代数式表示线段CQ的长度．
（3）当∠EPQ为锐角时，求t的取值范围．
（4）当△ABC的角平分线CM恰好可以将平行四边形PQFE的面积等分时，求t的值．
10.如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD向点D运动；点Q从点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE于CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为t（s），
（1）求∠PBE的度数；
（2）当t为何值时，△PQF是以PF为腰的等腰三角形？
（3）试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值.
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.设运动时间为t秒.
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为________cm2；
（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）运动过程中，当
A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围.
12.如图①，四边形
是一张放在平面中的矩形纸片，
．在
边上取一点
，将纸片沿
翻折，使点
落在
边上的点
处．
（1）
________，
________；
（2）求
的长；
（3）如图②，若
上有一动点
（不与
重合）自
点沿
向终点
匀速运动，运动的速度为每秒
个单位长度，设运动的时间为
秒，连结
，设
，
①直接写出
与时间
之间的函数关系式；
②当以点
为顶点的三角形为等腰三角形时，求时间
的值．
13.如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点O为对角线的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC，以每秒2厘米的速度向终点运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点P运动的时间为t（秒）.
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）当点O在正方形PQMN内部时，t的取值范围________；
（3）当直线DN平分△BCD面积时求出t的值.
14.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣2，2）.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，过点Q作直线l垂直x轴.当点P到达点O时，点Q也停止运动.连接BP，作PD⊥BP交直线l于点D.连结BD交y轴于点E，连接PE.设点P的运动时间为t（s）.
（1）①点D的坐标为________（用含t的代数式表示）.
②当0＜t≤2时，∠PED的大小范围是________.
（2）当0＜t＜2时，△POE的周长C是否随t的变化而变化？若变化，求出C关于t的关系式；若不变，求出C的值.
（3）当t＝________秒时，△PBE为等腰三角形（直接给出答案）.
15.如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM.请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长.
16.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
，
且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC
，
交OC于点F
．
当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0（1）当t为何值时，PE∥AB？
（2）设四边形EFDP的面积为y（
），求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t
，
使得
？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接FP
，
是否存在某一时刻t
，
使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
17.如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠ABC＝60°．AE平分∠BAD交CD于点F．动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AD，交射线AE于点Q，以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ，平行四边形APMQ与△ADF重叠部分面积为S．当点P与点D重合时停止运动，设P点运动时间为t秒．（t＞0）
（1）用含t的代数式表示QF的长；
（2）当点M落到CD边上时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式；
（4）连结对角线AM与PQ交于点G，对角线AC与BD交于点O（如图②）．直接写出当GO与△ABD的边平行时t的值．
18.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3．动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、Q的运动时间为t秒
（1）当t＝2秒时，求tan∠QPA的值；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t的值；
（3）连结CQ，当点P，Q在运动过程中，记
与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）直接写出∠OAB的角平分线经过
边上中点时的t值．
19.如图，已知在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为
（s）
．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF．
（1）求正方形PCEF的面积（用含
的代数式来表示，不要求化简），并求当正方形PCEF的面积为25
cm2时
的值；
（2）设△DEF的面积为
（cm2），求
与
之间的函数关系式，并求当
为何值时？△DEF的面积取得最小值，这个最小值是多少？
（3）求当
为何值时？△DEF为等腰三角形．
20.如图，
是
的对角线，
，
，
，动点
、
分别从
、
同时出发，点
沿折线
向终点
运动，在
上的速度为每秒7个单位，在
上的速度为每秒5个单位，点
以每秒
个单位的速度沿
向终点
运动．连结
，以
、
为边作
，设点
的运动时间为
．
（1）当点
在边
上时，用含
的代数式表示点
到
的距离．
（2）当点
落在边
上时，求
的值．
（3）设
与
重叠部分图形的面积为
，求
与
之间的函数关系式．
（4）连结
，直接写出直线
与直线
所夹锐角的正切值．
21.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t.
（1）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM.
（2）在整个运动过程中，
①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形.
②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长.
22.如图①，在矩形ABCD中，已知BC=8cm，点G为BC边上一点，满足BG=AB=6cm，动点E以1cm／s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F。设点E移动的时间为t(s)，CF的长度为y(cm)，y与t的函数关系如图②所示
（1）图①中，CG=________?cm，图②中，m=________；
（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；
（3）在图①中，连接AF、AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值。
23.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P为射线AB上一个动点，过P作PF⊥AC，垂足为F，交CD于点G，连接CP与BF交于点H，过点C，P，F作⊙O。
（1）当AP=5时，求证：∠CPB=∠FBC。
（2）当点P在线段AB上时，若△FCH的面积等于△PBH面积的4倍，求DG的长。
（3）当⊙O与△ADC的其中一边相切时，求所有满足条件的AP的长。
（4）当H将线段CP分成1：4的两部分时，求AP的长(直接写出结果)。
24.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设
.
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示
的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.
25.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB
，
且PM＝3AQ
，
以PQ、PM为边作矩形PQNM
．
设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MP的长为________（用含t的代数式表示）．
（2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围．
（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S
，
求S与t之间的函数关系式．
（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值
26.如图，在平面直角坐标系中，点B(12，10)，过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当点E运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．
（1）用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标；
（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）当t＝2时，求O′点在坐标．
27.已知，如图1，在
中，对角线
，
，
，如图2，点
从点
出发，沿
方向匀速运动，速度为
，过点
作
交
于点
；将
沿对角线
剪开，
从图1的位置与点
同时出发，沿射线
方向匀速运动，速度为
，当点
停止运动时，
也停止运动．设运动时间为
，解答下列问题：
（1）当
为何值时，点
在线段
的垂直平分线上？
（2）设四边形
的面积为
，试确定
与
的函数关系式；
（3）当
为何值时，
有最大值？
（4）连接
，试求当
平分
时，四边形
与四边形
面积之比．
28.如图，在矩形ABCD中，AB＝6
，BC＝3
动点P从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动.过点P（不与点A、C重合）作EF⊥AC，交AB或BC于点E，交AD或DC于点F，以EF为边向右作正方形EFGH设点P的运动时间为t秒.
（1）①AC＝________.②当点F在AD上时，用含t的代数式直接表示线段PF的长________.
（2）当点F与点D重合时，求t的值.
（3）设方形EFGH的周长为l，求l与t之间的函数关系式.
（4）直接写出对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值.
29.如图，在
中，
，
，
．点P从点A出发，沿
方向以每秒
个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合）．过点P作
，交折线
于点H，点Q为线段
的中点，以
、
为边作矩形
．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出矩形
的边
的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点G落在边
上时，求t的值；
（3）当矩形
与
重叠部分图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式；
（4）当
的重心落在矩形
的内部时，直接写出此时t的取值范围．
30.如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一个直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形顶点B，PE交x轴于点Q
（1）
＝________；
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，
的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为________．
答案
1.
（1）解：在矩形ABCD中，AD＝2
，AB＝4
，∠ADC＝90°，
∴AC＝
＝10，
∵DM⊥AC，
∴∠ADM＝∠DCM，
∴AM＝AD?sin∠ADM＝AD?sin∠DCM＝2
×
＝2，
∵2CN＝3AM，
∴CN＝3，AN＝AC﹣CN＝7，
∵AD∥CE，
∴△ADN∽△CEN，
∴
，
∴
，
∴CE＝
（2）解：①若EF∥AC，则EF＝
BE＝
×
＝
，
∵P，Q匀速运动，设y＝kx＋b，（k≠0），
令x＝0，y＝b，此时点P在E点，Q在M点，b＝AM＝2；
令y＝7时，此时Q在N点，P在F点，x＝
，
即
，
解得k＝
，
∴y＝
＋2；
②（i）当QP∥DM时，AN﹣y＋CN﹣
＝x，
解得x＝
，
（ii）当QP∥MF时，四边形QMFP是平行四边形，由MQ＝FP得，y﹣2＝
﹣x，
解得x＝
，
（iii）当QP∥NE时，四边形QPEN为平行四边形，由QN＝EP可得，7﹣y＝x，
解得x＝
．
综合以上可得，满足条件的x的值为
或
或
（3）解：PQ同时经过B，D时，Q为AC的中点，此时MQ＝3，QN＝2，
由题意知
，
过点P作PH⊥BE，EH＝
＝
，BH＝
，
∴
，
则EH∶PH∶EP＝3∶4∶5，
∴
BE＝
＝
，
∴Q，P的运动速度比为
＝
2.
（1）（m+
，
m）
（2）解：设直线BO的解析式为：y=kx，
把点
的坐标是
，代入上式可得：6=8k，解得：k=
，
∴直线BO的解析式为：y=
x，
∵点
的坐标为（m+
，
m），
，
∴点
的坐标为（m，
m），
∴
=
m+
-m=
，即：线段
的长度不会随点
的位置的变化而变化
（3）解：①连接CE，过点E作EQ⊥BC于点Q，
∵点
的坐标为（m+
，
m），
∴EQ=6-
m，
∵OC=6，OM=m，
∴CM=
，
∵
，
∴ME=
CM=
，
∴四边形
的面积=
=
=
，
即：当m=4时，四边形
的面积最小值为：
；
②（a）当点G为顶角顶点时，如图，则
，即：
，
（b）当点E为顶角顶点时，如图，则EG=EF=
，EH=
m，GH=
，
∴
或
，
综上所述：G的坐标可以是：
或
或
．
3.
（1）解：当点E运动到BC的中点时，四边形AEDF是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
由勾股定理得：AE=DE，
∵点O是边AD上的中点，OE=OF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）解：存在，
∵点O是AD的中点，
∴AO=DO，
∵OE=OF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴S四边形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD
，
设AB=x，则BC=10-x，四边形AEDF的面积为y，
则y=x（10-x）=-x2+10x=-（x-5）2+25，
当x=5时，四边形AEDF的面积最大为25
（3）解：当BC≥2m时，四边形AEDF能成为一个矩形，
理由是：设BC=n，BE=z，则CE=n-z，
当四边形AEDF是矩形时，∠AED=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠DEC=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△BAE∽△CED，
∴
，
∴
，
∴z2-nz+m2=0，
当判别式△=（-n）2-4m2≥0时，方程有根，即四边形AEDF是矩形，
解得：n≥2m，
∴当BC≥2m时，四边形AEDF能成为一个矩形.
4.
（1）解：
∵矩形
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
F=AF=FE=
，
∴
．
∴
．
（2）解：四边形
是平行四边形．
在
中，
，
∴
．
同理，
．
∵
，
∴
是等边三角形．
∴
．
∴
与x轴的夹角等于
．
∴
．
又
，
∴四边形
为平行四边形．
（3）
5.
（1）（3，8）；（15，0）
（2）解：当四边形OAMN是矩形时，AM＝ON，
∴t＝21-2t，
解得t＝7秒，
故t＝7秒时，四边形OAMN是矩形
（3）解：存在t＝5秒时，四边形MNCB能否为菱形.
理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM＝CN，
∴15-t＝2t，
解得：t＝5秒，
此时CN＝5×2＝10，
过点B作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
∴OD＝AB＝15，BD＝OA＝8，
CD＝OC-OD＝21-15＝6，
在Rt△BCD中，BC＝
＝10，
∴BC＝CN，
∴平行四边形MNCB是菱形，
故，存在t＝5秒时，四边形MNCB为菱形.
6.
（1）解：由题：
，
，
，
，
，
，
，
，
（4，4）；
（2）解：由（1）F（4，4），
根据翻折性质
，且
，
是矩形，
作
如图2，
设E（0，n），则
，
，
解得
，
（0，1），
在矩形
中，
，
：横坐标减4，纵坐标减3，
：（
，6-3）为（
，3），
（
，3）；
（3）解：
为以FN为底边的等腰直角三角形，
以FN为对角线构造正方形
如图3所示，
D（
，6），
（0，1），设
，
解得
，
设
（m，2m+1），
（4，4），
则根据中点坐标公式：
（
，
），
由图
，
，
，
，
，
当M落在x轴上时：
，解得
，
则
（
，
）；
当
落在x轴上时：
，解得
，
则
（-9，-17），
综上
为（
，
）或（-9，-17）.
7.
（1）解：
四边形
为平行四边形，
，
当
时，则
，得
；
当
，则
，得
；
当
时，则
，得
；
综上，存在这样的时刻，使得四边形
为平行四边形，
的值为：2或4或6；
（2）解：根据折叠的性质得，
，
，
矩形
中
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，即
，
解得，
，
，
，
①过
作
于点
，如图1，则
，
图1
当
点与
点重合时，
中
，此三角形为直角三角形，
此时
；
②过
点作
，
与
交于点
，如图2，
图2
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故当
点与
点重合时，
中
，此三角形为直角三角形，
此时
；
③过
作
于点
，如图3，则
，
图3
故当
点与
点重合时，
中
，此三角形为直角三角形，
此时
；
④过点
作
，
与
交于点
，如图4，
图4
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故当
点与
点重合时，
中
，此三角形为直角三角形，
此时
；
综上，当
为直角三角形时
的值为3或9.5或
或21.5．
8.
（1）
（2）解：由
是等腰三角形，分以下三种情况：
①当
时，
是等腰三角形，
如图1，过
作
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，即
，
解得
，
∴
，
②当
时，
是等腰三角形，
则
，
，
③当
时，
是等腰三角形，
则
，即此时点P与点D重合，
，
（不符题意，舍去），
综上，当
为
或5时，
是等腰三角形；
（3）解：如图2，过点
作
交
于点
，则
，
由矩形的性质可知，
，
，
，
又
，
∴
，
∴
，
则
，
∵
，
∴
，相似比为
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故
与
的函数关系式为
；
（4）解：当
时，
平分
．
如图，过
作
于
，
于
，OR⊥AD于R，
∵S△ACD=
，
∴
，
∵OD平分∠POC，
∴
，
，
∵OD=
，
，
，
∵PD=8-t，OR=
，
，
，
在Rt△PDM中，
，
，
解得：
（不合题意，舍去），
，
当
时，
平分
．
9.
（1）
（2）由题意的AP=5t，
∵
∴AQ=AP·
=5t·
=
，
∴
;
（3）当∠EPQ为直角时，∠EPQ=90°，如图
∵PQ⊥AC，
∴∠PQA=90°，
∴∠EPQ=∠PQA=90°，
∴AC∥EP，
∴△BPE∽△BAC
∵E为CB中点，
∴P为AB中点，
∴AP=
AB=3，
∴t=
，
当点P运动到B点时，
?t=
，
∴t的取值范围为
；
（4）如图，当CM为∠BCA角平分线时，连接EQ交CM与点N，
此时∠ACM=∠BCN，CN=CN，QN=EN，
∴△CNE≌CNQ，
∴CQ=CE=
CB，
∵CD=BD=4，CD⊥AB，
∴BC=
，
∴CQ=
，
∴AQ=AC-CQ=
，
由（2）得
，
∴t=
．
10.
（1）解：如图1中，
?∵四边形ABCD是正方形，
?∴AB=AD，∠A=90°，
∵AP=DQ，
∴AD=PQ=AB，
∵PB⊥PE，
?∴∠BPE=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠EPQ=90°，
∴∠ABP=∠EPQ，
∴△ABP≌△QPE，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB=45°.
（2）解：如图2中，
?①当AP=PD时，
∵AP=DQ，
∴DP=DQ，
∵FD⊥PQ，
∴PF=FQ，
∴△PFQ是等腰三角形，此时t=2.
②当点P与点D重合时，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此时t=4.
综上所述，t=2s或4s时，△PFQ是以PF为腰的等腰三角形.
（3）解：如图3中，△PDF的周长是定值.
?
将△BCF绕点B顺时针旋转90°得到△BAG.
∵∠PBE=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBF=∠ABP+∠ABG=45°，
∴∠PBG=∠PBF，
在△PBG和△PBF中，
，
∴△PBG≌△PBF，
∴PF=PG，
∴PF=PA+AG=PA+CF，
∴△PDF的周长=PF+DP+DF=（PA+DP）+（DF+CF）=AD+CD=8.
∴△PDF的周长为定值.
11.
（1）28
（2）解：法一：根据题意得
=
整理得
∵
b2－4ac＝－4＜0，
∴方程无实数根
∴△DPQ的面积不可能为26cm2
?法二：
=
当t＝3时，△DPQ的面积有最小值为27
cm2
∴△DPQ的面积不可能为26cm2
（3）解：∵∠A＝90°
∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上
若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°
∵PQ2＝(6－t)2＋(2t)2
，
DQ2＝62＋(12－2t)2
，
DP2＝t2＋122
当PQ2＋DQ2＝
DP2
，
∠PQD＝90°
∴(6－t)2＋(2t)2＋62＋(12－2t)2＝
t2＋122
解得t1＝6,t2＝
∴t＝6或
时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上.
（4）当
＜t＜
时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点.
12.
（1）10；6
（2）解：设
，则
又∵
∴由勾股定理可得：
，
解之得：
，
即：
（3）解：①如图示，连接
，过
点作
交
于点
，
根据折叠的性质可知，
，
∵点
（不与
重合）自
点沿
向终点
匀速运动，运动的速度为每秒
个单位长度，运动的时间为
秒，
则
，
由勾股定理可得：
，
，
∴
∴
②当
时，
为
中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∴
∴
当
时，
，即
，
∴
；
当
时，
，即
，
解得
，
，
当
时，
，与点
（不与
重合）不符，舍去，
则
；
综上所述，当
的值是
或
或3是，以点
为顶点的三角形为等腰三角形．
13.
（1）解：如图，当点N落在BD上时，
∵四边形PQMN是正方形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
当
时，点N落在BD上；
（2）
（3）解：设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分
面积，
∴
，
①如图，点P在AD上，过点E作
交AD于点H，
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
，
∴
，解得
；
②如图，点P在DO上，连接OE，
有OE=4，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，解得
；
③如图，点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，
有OE=4，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，解得
，
综上：t的值为
，
，
.
14.
（1）（t，t）；90°≤∠PED＜135°
（2）解：结论：△POE的周长C＝4，是定值.
理由：延长OA到K，使得AK＝CE，连接BK，
∵BC＝BA，∠BCE＝∠BAK＝90°，CE＝AK，
∴△KAB≌△ECB（SAS），
∴KB＝EB，∠KBA＝∠EBC，
∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠EBC＝45°，
∴∠KBP＝∠KBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°，
∴∠KBP＝∠EBP，
∴△KBP≌△EBP（SAS），
∴KP＝EP，
∴EP＝KP＝KA+AP＝CE+AP，
∴△POE的周长C＝PE+OP+OE＝PA+OP+OE+EC＝2OA＝4，是定值.
（3）2或（
﹣2）
15.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，
∵AE＝EB，DF＝FC，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFD是矩形.
（2）解：如图2中，连接PM.BM.
∵四边形AEFD是矩形，
∴EF∥AD，
∵BE＝AE，
∴BO＝OP，
由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，
∴OM＝OB＝OP.
（3）解：如图3﹣1中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F.
∵MA＝MD，MH⊥AD，
∴AH＝HD＝4，
∵∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴BF＝AH＝4，AB＝FH＝5，
∴∠BFM＝90°，
∵BM＝BA＝5，
∴FM＝
，
∴HM＝HF＝FM＝5﹣3＝2，
∵∠ABP+∠APB＝90°，∠MAH+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠MAH，
∵∠BAP＝∠AHM＝90°，
∴△ABP∽△HAM，
∴
，
∴
，
∴AP＝
.
如图3﹣2中，当AM＝AD时，连接BM，设BP交AM于F.
∵AD＝AM＝8，BA＝BM＝5，BF⊥AM，
∴AF＝FM＝4，
∴BF＝
，
∵tan∠ABF＝
，
∴
，
∴AP＝
，
如图3﹣3中，当DA＝DM时，此时点P与D重合，AP＝8.
如图3﹣4中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F.
∵BM＝5，BF＝4，
∴FM＝3，MH＝3+5＝8，
由△ABP∽△HAM，可得
，
∴
，
∴AP＝10，
综上所述，满足条件的PA的值为
或
或8或10.
16.
（1）解：
由题意可知：BE=t，DE=16-t，DP=2t
∵四边形ABCD是菱形，
∴
，
，
AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴在Rt△AOD中，
由勾股定理，得
，
∴
，
∵PE∥AB，
∴
，
即，
，
∴
，
因此，当t为
s时，PE∥AB．
（2）解：作PQ⊥OD于Q，
∴∠DQP=∠DOA=90°，
又∵∠QDP=∠ODA，
∴△DQP∽△DOA，
∴
，
即，
，
∴
，
∵EF∥BC，
∴
，
即，
，
∴
，
∴
因此，y与t之间的函数关系式为
．
（3）解：假设存在t，使得
，
∴
，
即，
，
∴
，
解得，
，
，均不符合题意，
因此，不存在t，使
．
（4）解：假设存在t，使得FP⊥AD．
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD=90°，
∴∠AOD=90°，
∵FP⊥AD
∴∠APF=90°，
∴∠AOD=∠APF，
∵∠OAD=∠PAF，
∴△AOD∽△APF?
∴
∵
，DP=2t
∴AF=
，AP=10－2t
∴
∴t=
因此，当t=
时，FP⊥AD．
17.
（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC，AD＝BC＝6，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝120°，∠D＝60°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAQ＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝AD＝6，
∵PQ⊥AD，
∴∠APQ＝90°，
∴AQ＝2AP＝2t，
∴FQ＝AF﹣AQ＝6﹣2t；
（2）解：如图2中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝60°，
∵PM∥AE，MQ∥AD，
∴∠DPM＝∠DAQ＝60°，四边形APMQ是平行四边形，
∴△DPM是等边三角形，PM＝AQ＝2PA＝2t，
∴DP＝PM，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2．
（3）解：①当0＜t≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，S＝AP·PQ＝
t2
．
②如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分五边形APSTQ，
S＝
t2﹣
（3t﹣6）2＝﹣
t2+9
t﹣9
；
③如图4中，当3＜t≤6时，重叠部分是四边形PSFA．
S＝S△DAF﹣S△DSP＝
×62﹣
·（6﹣t）2＝﹣
t2+3
t．
综上所述，S＝
；
（4）解：如图5中，当GO∥AB时，∵AG＝GM，
∴点M在线段CD上，此时t＝2s．
如图6中，当GO∥AD时，则B、C、Q共线，
可得△ABQ是等边三角形，AB＝AQ＝BQ＝8，
∴AQ＝2t＝8，
∴t＝4s，
综上所述，t＝2s或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．
18.
（1）解：当t＝2s时，则CP＝2×2＝4＝BC，即点P与点B重合，OQ＝2，如图1，
∴AQ＝OA﹣OQ＝4﹣2＝2，且AP＝OC＝3，
∴tan∠QPA＝
（2）解：当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，
则CP＝2t，OQ＝t，
∴BP＝PC﹣CB＝2t﹣4，AQ＝OA﹣OQ＝4﹣t，
∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴
，且BM＝2AM，
∴
＝2，解得t＝3，
∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，t为3s
（3）解：当0≤t≤2时，如图3，
由题意可知CP＝2t，
∴S＝S△PCQ＝
×2t×3＝3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，
由题意可知PC＝2t，OQ＝t，则BP＝2t﹣4，AQ＝4﹣t，
同（3）可得
，
∴BM＝
?AM，
∴3﹣AM＝
?AM，
解得AM＝
，
∴S＝S四边形BCQM＝S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ＝3×4﹣
×t×3﹣
×（4﹣t）×
＝24﹣
﹣3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，
由题意可知OQ＝t，AQ＝t﹣4，
∵AB∥OC，
∴
，即
，
解得AM＝
，
∴BM＝3﹣
＝
，
∴S＝S△BCM＝
；
综上可知
（4）t=
或
或
19.
（1）解：依题意可得：AP=2
，PD=10-2
，CD=AB=4，
在Rt△PDC中，由勾股定理可得：
PC2=PD2+CD2=（10-2
）2+16，
∴正方形PCEF的面积为（10-2
）2+16，
当正方形PCEF的面积为25时，有（10-2
）2+16=25，
解得：t1=3.5，t2=6.5（不合题意，舍去）
∴当
=3.5s时，正方形PCEF的面积为25cm2
（2）解：过点F作FM⊥AD于点M，过点E作EN⊥BC的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PDC=90°，
∴∠PDC=∠FMP=90°，且∠DPC+∠PCD=90°，
∵四边形PCEF是正方形，
∴PF=CP，∠DPC+∠FPM=90°，
∴∠PCD=∠FPM，
∴△PCD≌△FPM（AAS），
∴FM=PD=10-2
，PM=CD=4，
同理可得：△PCD≌△ECN，
∴EN=PD=10-2
，CN=CD=4，
∵S△DEF=S正方形PCEF-S△PDF-S△PDC-S△DCE
，
∴
，
，
∴当
s时，
取得最小值为6．
（3）解：过点D作DG⊥EN于点G，则四边形DCNG是正方形，
∴GN=DG=DC=4，
∴EG=EN-GN=10-2
-4=6-2
，
在Rt△DGE中，DE2=DG2+EG2=16+（6-2
）2
，
在Rt△FMD中，DM=PD-PM=10-2
-4=6-2
，
∴FD2=FM2+DM2=（10-2t）2+（6-2t）2
，
在Rt△PCD中，PC2=PD2+CD2=（10-2
）2+16，
∴EF2=（10-2t）2+16，
若FE=FD，则有（10-2t）2+16=（10-2t）2+（6-2t）2
，
解得：t1=1，t2=5（不合题意，舍去），
若FE=DE，则有（10-2t）2+16=16+（6-2t）2
，
解得：t=4，
若FD=DE，则有（10-2t）2+（6-2t）2=16+（6-2t）2
，
解得：t1=3，t2=7（不合题意，舍去），
综上所述，当
s，3s或4s时，△DEF为等腰三角形．
20.
（1）解：如图①，过点
作
于点
在
中，
∴
故最后答案为
（2）解：如图②，过点
作
于点
在
中，
∴
∴
在
中，
，
由勾股定理，得
∴
∵四边形
是平行四边形，
∴
∵四边形
是平行四边形
∴
∴
∴
∴
故最后答案为
；
（3）解：如图③，当
时，
如图④，当
时，
如图⑤，当
时，
综上所述，最后答案为
；
（4）解：如图⑥，当P在AB上时，即：
时，
过点A作AF
BD于点F，过点P作PH
EQ交BD于点H
∵四边形DEPQ是平行四边形
∴PE
BD，DQ=PE=
，DH=
，BH=
-
∴
∵AB=7，BP=7-7t
∴
∴
，PH
EQ
AD
∴
∵
是定角，且
是锐角
∴
∵AF
BD，
，
∴
所以直线EQ与BD所成夹角的正切值为7；
如图⑦当点P在BC上时，
过点O作
于点H
∵四边形PQDE是平行四边形，
∴PE
BD，DQ=PE=
∴
∵
，BC=5，BP=
∴
∴
，
∴EK=PQ
∴四边形BQEK是平行四边形
∴
∵
是定角，且
是锐角
∴
∵OH
BD，OH=DH=
，BH=BD-HD=
∴
所以直线EQ与BD所成夹角的正切值为
；
综上所述，直线EQ与BD所成夹角的正切值为7或
．
21.
（1）解：如图1所示：连接ME.
∵AE=t，AD=8，
∴ED=AD-AE=8-t.
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EMF=90°.
∴∠EMD=90°.
∴MD=ED?cos∠MDE=
（2）解：①a、如图2所示：连接MC.
当DM=CD=6时，
=6，解得t=
；
b、如图3所示：当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N.
∵MC=MD，MN⊥CD，
∴DN=NC.
∵MN⊥CD，BC⊥CD，
∴BC∥MN.
∴M为BD的中点.
∴MD=5，即
=5，解得t=
；
c、如图4所示：CM=CD时，过点C作CG⊥DM.
∵CM=CD，CG⊥MD，
∴GD=
MD=
.
∵
，
∴DG=
CD=
.
∴
=
.
解得：t=-1（舍去）.
d、如图5所示：当CD=DM时，连接EM.
∵AE=t，AD=8，
∴DE=t-8.
∵EF为⊙O的直径，
∴EM⊥DM.
∴DM=ED?cos∠EDM=
.
∴
=6，解得：t=
.
综上所述，当t=
或t=
或t=
时，△DCM为等腰三角形.
②0≤t≤
，圆心运动的路径长为
22.
（1）2；2
（2）解：若点F为线段CD的中点，CD=6cm,
∴CF=DF=3cm，
∵△ABE∽△ECF
∴即??????
整理得：EC2-8EC+18=0
∵b2-4ac=64-4×18＜0
此方程无实数解.
∴点F不可能是线段CD的中点.
（3）解：过点H作HM⊥BC于点M，
∵∠C=90°，HM⊥BC
∴HM∥CD
∴△EHM∽△FCE
∴
∵AG平分△AEF的面积??????????????????
∴EH=FH
∴EM=MC，
∵BE=t，则EC=8-t，
∴EM=CM=
∴MG=CM=
∵即
解之：
∵EM=MC，EH=FH
∴
∵AB=BG=6，
∴∠AGB=45°，HM⊥BC，
∴∠HGM=∠GHM=45°
∴HM=GM
∴
解之：t1=2，t2=12
∵t≤6
∴t=2.
23.
（1）证明：∵PF⊥AC，
∴∠AFP=∠ABC=90°，
∴△AFP∽△ABC，
∴
∵AB=8，BC=AD=6，
∴AC=10，
∴当AP=5时，AF=4，
∴CF=6，
∴CF=CB，
∴∠CPB=∠FBC
（2）解：由题意可知△FCH∽△PBH，
∵△FCH的面积等于△PBH面积的4倍，
∴CF=2PB
设AP=5m，则AF=4m，
∴PB=8-5m，CF=10-4m，
∴10-4m=2(8-5m)，
∴m=1，
∴AP=5，AF=4，CF=6，
∵△CFG∽△AFP，
∴CG=
∴DG=
（3）解：①F与C重合时，⊙O与AC相切，AP=
?
②P与B重合时，⊙O与DC相切，AP=8；
③⊙O与AD相切时，设切点为K，如图，
设AP=x，则PB=8-x，OK=
?(8+x)
∴PC=8+x，
在Rt△PBC中，由勾股定理可以求得x=
∴AP=
?
综上所述，AP的长为
或8或
（4）解：AP=5或AP=20
24.
（1）证明：由对称得AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AE，
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，
∴EG=EF，
∴AE=EG.
（2）解：设AE=a，则AD=na，当点F落在AC上时（如图1），由对称得BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
又∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DAC
，
∴
∵AB=DC，
∴AB2=AD·AE=na·a=na2
，
∵AB>0，
∴AB=
，
∴
∴
.
（3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=4AB，则AB=
.
当点F落在线段BC上时（如图2），
EF=AE=AB=a，此时
，
∴n=4，
∴当点F落在矩形外部时，n>4.
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，
∴∠FCG<∠BCD，
∴∠FCG<90°，若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得
=
，
∴n=16.
若∠CGF=90°（如图3），
则∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DGC，
∴
，
∴AB·DC=DG·AE，即
.
解得
n=
或n=
＜4（不合题意，舍去），
∴当n=16或
时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形.
25.
（1）3t
（2）解：如图2﹣1中，当点M落在BC上时，
∵PM∥AC，
∴
，
∴
，
解得t＝
如图2﹣2中，当点N落在BC上时，
∵NQ∥AC，
∴
，
∴
，
解得t＝
，
综上所述，满足条件的t的值为
≤t≤
．
（3）解：如图3﹣1中，当0＜t≤
时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2
如图3﹣2中，当
＜t≤
时，重叠部分是五边形PQNEF．
S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2﹣
?[3t﹣
（4﹣2t）]?
[3t﹣
（4﹣2t）]＝﹣
t2+18t﹣6，
综上所述，
．
（4）如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E．
∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF，
∴△BFA≌△BFE（AAS），
∴AF＝EF，AB＝BE＝4，设AF＝EF＝x，
∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝
＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
在Rt△EFC中，则有x2+12＝（3﹣x）2
，
解得x＝
，
∵PM∥AF，
∴
，
∴
，
∴t＝
如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F．
同法可证：△ECA≌△ECF（AAS），
∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y，
∴BF＝5﹣3＝2，
在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2
，
解得x＝
，
∵PM∥AC，
∴
，
∴
，
解得t＝
．
如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．
设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分，
同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x，
在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2
，
解得x＝6，
∵AC∥PM，
∴
，
∴
，
解得t＝
，
综上所述，满足条件的t的值为
或
或
.
26.
（1）解：∵BA⊥x轴，CB⊥y轴，B（12，10），
∴AB＝10，
由运动知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），
∴AF＝10﹣2t，
∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；
（2）解：由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，
∴AE＝12﹣3t，
∵BA⊥x轴，
∴∠OAB＝90°＝∠AOC，
∵△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，
∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，
①当△DOE∽△EAF时，
，
∴
，
∴t＝
，
②当△DOE∽△FAE时，
，
∴
，
∴t＝6（舍），
即：当△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，t＝
秒；
（3）解：如图，
当t＝2时，OD＝2，OE＝6，
在Rt△DOE中，根据勾股定理得，DE＝2
，
连接OO'交DE于G，
∴OO'＝2OG，OO⊥DE，
∴S△DOE＝
OD?OE＝
DE?OG，
∴OG＝
＝
＝
，
∴OO'＝2OG＝
，
∵∠AOC＝90°，
∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，
∵OO'⊥DE，
∴∠OED+∠AOO'＝90°，
∴∠HOO'＝∠OED，
过点O'作O'H⊥y轴于H，
∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，
∴△OHO'∽△EOD，
∴
，
∴
，
∴OH＝
，O'H＝
，
∴O'（
，
）．
27.
（1）解：如图，
由题意得：
?
?
及平移的性质，
?
点
在线段
的垂直平分线上，
?
?
?
当
时，点
在线段
的垂直平分线上．
（2）解：
，
，
,
?
?
?
?
?
又
?
?
点在
上，
?
?
?
四边形AHGD
?（
）
（3）解：
四边形AHGD
且
?抛物线的对称轴是：
时，
随
的增大而增大，
当
四边形
的面积最大，最大面积为：
?
（4）解：如图，连接
过
作
于
平分
?
?
?
?
?
此时：
由
?
四边形EGFD
四边形ABGE
?
四边形AHGE
.
四边形EGFD:
四边形AHGE
28.（1）15；8t
（2）解：当点F与点D重合时，如图1所示：
∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，
∴△APD∽△ADC，
∴
，即
，
解得：t＝
（3）解：分情况讨论：
①当0＜t≤
时，如图2所示：
由（1）②得：PF＝8t，
同理：PE＝2t，
∴EF＝10t，
∴l＝4（8t+2t）＝40t；
②当
＜t≤3时，如图3所示：
EF＝10t＝
，
l＝4×
＝30.
③当3＜t＜
时，如图4所示：
同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，
∴
即
，
解得：PF＝
（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），
∴EF＝PF+PE＝
（15﹣4t），
∴l＝4×
（15﹣4t）＝﹣40t+150
（4）解：如图3所示：对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时，
则PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，
①PE：PF＝1：2时，
∵EF＝
，
∴PF＝
EF＝5，
同理可证：△CPF∽△CDA，
∴
，即
，
解得：PF＝
（15﹣4t），
∴
（15﹣4t）＝5，
解得：t＝
；
②PF：PE＝1：2时，PF＝
EF＝
，
则
（15﹣4t）＝
，
解得：t＝
；
综上所述，对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值为
或
.
29.
（1）
（2）解：当点G落在
上，如图，
此时
，
，
，即
，
解得：
（3）解：当
时，如图，
此时
，
，
当
时，如图，
此时重叠部分为五边形，不考虑．
当
时，如图，
此时
，
，
．
（4）
30.
（1）
（2）解：
的值不发生变化，
＝
，理由如下：
∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，
∴∠PQA+∠ABP＝180°，
∴A、B、P、Q四点共圆，
∴∠PQB＝∠PAB，
∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，
∴△PBQ∽△BCA，
∴
＝
＝
.
∴
的值不发生变化，
＝
.
（3）2.8

展开更多......

收起↑