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2021年河南省洛阳市涧西区中考数学三模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．的倒数是（　　）
A．0.4 B．2.5 C．4 D．
2．中国首次火星探测任务天问一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约11000千米处，拍摄了火星全景图像，将11000用科学记数法表示应为（　　）
A．11×103 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×105
3．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为（　　）
A．25° B．30° C．45° D．50°
5．下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）
A．了解洛河水的水质，采用抽样调查
B．了解洛阳市中学生睡眠时间，采用抽样调查
C．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
D．了解某个班级学生的数学成绩，采用全面调查
6．若点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数y＝（k＜0）的图像上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x3＞x2＞x1 D．x2＞x3＞x1
7．定义a?b＝a2+a（b﹣2）+4，例如3?7＝32+3×（7﹣2）+4＝28，若方程x?m＝0的一个根是﹣1，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
8．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安，问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发，问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，顶点A（﹣2，3），C（2，0），连接AC，按下列方法作图：
（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CA、CD于点E，F；
（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于点G；
（3）作射线CG交AD于点H，则点H的横坐标为（　　）
A． B． C．1 D．
10．如图①，在菱形ABCD中，∠D＝120°，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图像，且图像上最低点Q的坐标为（，2），则菱形ABCD的边长为（　　）
A．2 B． C．2 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．比大的整数中，最小的整数是　 　．
12．不等式组的解集为　 　．
13．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和大于5的概率是　 　．
14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝2AC，以点A为圆心的弧与BC相切于点F，分别交AB、AC于点D、E，若CF＝1，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
15．如图，在正方形ABCD中，AE＝DE＝3，连接CE，点F是CE上一点，且EF＝2CF，连接BF，点M是BF的中点，过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，则FN的长为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
＝第一步
＝第二步
＝第三步
＝第四步
＝第五步
＝第六步
任务一：填空①从上面的化简步骤，第　 　步是进行分式的通分，通分的依据是　 　．
②第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　．
任务二：请写出这道题正确的化简过程．
17．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中去，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展示环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进人综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．
b．甲学校学生成续在80≤x＜90这一组的是：80，80，81，81.5，82，83，83，84，85，86，86.5，87，88，88.5，89，89．
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78 46%
根据以上信息，回答下列问题
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是　 　（填“A”或“B”）；
（2）若两所学校的平均数相同，根据上述信息，推断哪所学校综合素质展示的水平更高，并说明理由（从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到　 　分的学生才可以入选．
18．如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向，一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）
19．某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个月的销售量为x（件），销售人员的月收入为y（元），原有的薪酬计算方式y1元采用的是底薪+提成的方式，且y1＝k1x+b，已知每销售一件商品另外获得15元的提成修改后的薪酬计算方式为y2（元），且y2＝k2x+b，根据图象回答下列问题：
（1）求y1和y2的解析式，并说明b的实际意义；
（2）求两个函数图象的交点F的坐标，并说明交点F的实际意义；
（3）根据函数图象请判断哪种薪酬计算方式更适合销售人员．
20．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287～公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Biruni（973年﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），AB＞BC，D是的中点，则从点D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点，即AE＝EB+BC
下面是运用“补短法”证明AE＝EB+BC的部分证明过程．
证明：如图2，延长CB到点F，使得CF＝AE，连接DA，DB，DC和DF．
∵D是的中点
∴DA＝DC
…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝6，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°．AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是　 　．
21．二次函数y＝mx2﹣2mx﹣m+3．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点C（0，n）作直线a⊥y轴，当直线a与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；
（3）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求整数m的值．
22．小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点C是半圆AmB上一动点，线段AB＝6，CD平分∠ACB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连接BD．当△BCD为等腰三角形时，求线段AC的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC的长度作为自变量x，BC，BD和CD的长度都是x的函数，分别记为yBC，yBD和yCD．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点C在半圆AmB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC，BC，BD的长度，得到下表的几组对应值：
AC 0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6
BC 6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0
BD 6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5
①上表中a的值是　 　．
②操作中发现，“无需测量线段CD的长度即可得到yCD关于x的函数解析式”．请直接写出yCD关于x的函数解析式．
（2）小亮已在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD的图象，如图2所示．
①请在同一个坐标系中画出函数yBC和yCD的图象；
②结合图象直接写出当△BCD为等腰三角形时，线段AC长度的近似值（结果保留一位小数）．
23．在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF．
（1）如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为　 　；
（2）在（1）的条件下，
①如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
②正方形CDEF绕点C旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时．直接写出线段AF的长．

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