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4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
1.已知椭圆=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A.-
B.
C.-2
D.2
2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
3.若双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是(　　)
A.(1,2)
B.(1,2]
C.(1,)
D.(1,]
4.已知椭圆=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k=
(　　)
A.1
B.
C.
D.2
5.已知过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　.?
6.过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为　　　　.?
能力达标
7.已知椭圆=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k=
(　　)
A.1
B.
C.
D.2
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且,则直线AB的斜率为(　　)
A.-
B.-
C.2
D.
9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),=3,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足=2,||=||,则该椭圆的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是(　　)
A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-
B.>0
C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为
D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线
12.设双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为　　　　.?
13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.
14.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点,-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值.
1.已知椭圆=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A.-
B.
C.-2
D.2
答案A
2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
答案B
解析抛物线的焦点为F,0,
所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,
即x=y+,代入y2=2px消去x,
得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,
由根与系数的关系得=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),
所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1.
3.若双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是(　　)
A.(1,2)
B.(1,2]
C.(1,)
D.(1,]
答案B
4.已知椭圆=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k=
(　　)
A.1
B.
C.
D.2
答案B
5.已知过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　.?
答案
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴=0,
∴=-.
∵=-,x1+x2=2,y1+y2=2,
∴-=-.
∴a2=2b2.
又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,
∴e=.
6.过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为　　　　.?
答案(1,)
解析由过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得<2.
∴e=,∵e>1,
∴1∴此双曲线离心率的取值范围为(1,).
能力达标
7.已知椭圆=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k=
(　　)
A.1
B.
C.
D.2
答案B
解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=2.
∴椭圆的右焦点F(2,0).
∴设过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为my=x-2,其中m=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x得到(4+m2)y2+4my-4=0.
∴y1+y2=-,y1y2=-.
∵=3,∴-y1=3y2,
把以上三式联立消去y1,y2,得m2=,∴2=,即k2=2.
又k>0,∴k=.
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且,则直线AB的斜率为(　　)
A.-
B.-
C.2
D.
答案B
9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),=3,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案C
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=3,
所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
∴y1y2=-4,
∴∴y1+y2=4m=,
∴m=,∴x1+x2=,AB的中点坐标为,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-=-x-,令y=0,可得x=,∴S△ABG=×-1×2=.
10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足=2,||=||,则该椭圆的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案B
11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是(　　)
A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-
B.>0
C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为
D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线
答案BC
解析设P(x0,y0),=1,则=-,因此A不正确;
∵点P在圆x2+y2=b2外,∴-b2>0,
∴=(-x0,-b-y0)·(-x0,b-y0)=-b2>0,B正确;
当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=.
∴r≤,
∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为,C正确;
直线PB1的方程为y+b=x,直线QB2的方程为y-b=x,两式相乘可得y2-b2=x2,
化为=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确.
12.设双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为　　　　.?
答案
13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.
(1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),
则kAM-kBM==-2,
可得x2=2y(x≠±2),
则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2).
(2)证明设Pm,,Qn,,m≠±2,n≠±2,
又A(-2,2),可得kAP·kAQ==-2,
即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12,
直线l的斜率为kPQ=,
可得直线l的方程为y-(x-m),
化为y=x-,
可得y-6=(x-2),
可得直线l恒过定点(2,6).
14.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点,-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值.
解(1)根据题意知:离心率e=,可得,即,因为c2=a2-b2,所以,整理得a2=3b2,
又由椭圆C经过点,-,代入可得=1,即=1,
联立解得所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2,
联立消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0,
因为直线AB与椭圆C相交于A,B两点,
所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)>0,得k2>1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|=
==6.
点O(0,0)到直线kx-y+2=0的距离d=,
所以△OAB面积S△AOB=|AB|·d=6·.
令=t,则k2=t2+1(t>0),
所以S△OAB=,
当且仅当=3t,即t2=时,等号成立,
此时k2=,△OAB的面积取得最大值.
1

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