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2021年全国普通高等学校招生统一考试 全国新高考Ⅰ卷
数学试卷
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?考生号?考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合false，false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
2. 已知false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
3. 已知圆锥的底面半径为false，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. false B. false C. false D. false
4. 下列区间中，函数false单调递增的区间是（ ）
A. false B. false C. false D. false
5. 已知false，false是椭圆false：false的两个焦点，点false在false上，则false的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6. 若false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
7. 若过点false可以作曲线false的两条切线，则（ ）
A. false B. false
C. false D. false
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据false，false，…，false，由这组数据得到新样本数据false，false，…，false，其中false(false为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
10. 已知false为坐标原点，点false，false，false，false，则（ ）
A false B. false
C. false D. false
11. 已知点false在圆false上，点false、false，则（ ）
A. 点false到直线false的距离小于false
B. 点false到直线false的距离大于false
C. 当false最小时，false
D. 当false最大时，false
12. 在正三棱柱false中，false，点false满足false，其中false，false，则（ ）
A. 当false时，false的周长为定值
B. 当false时，三棱锥false的体积为定值
C. 当false时，有且仅有一个点false，使得false
D. 当false时，有且仅有一个点false，使得false平面false
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数false是偶函数，则false______.
14. 已知false为坐标原点，抛物线false：false(false)的焦点为false，false为false上一点，false与false轴垂直，false为false轴上一点，且false，若false，则false的准线方程为______.
15. 函数false的最小值为______.
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为false的长方形纸，对折1次共可以得到false，false两种规格的图形，它们的面积之和false，对折2次共可以得到false，false，false三种规格的图形，它们的面积之和false，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折false次，那么false______false.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17. 已知数列false满足false，false
（1）记false，写出false，false，并求数列false的通项公式；
（2）求false的前20项和.
18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记false为小明的累计得分，求false的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19. 记false是内角false，false，false的对边分别为false，false，false.已知false，点false在边false上，false.
（1）证明：false；
（2）若false，求false
20. 如图，在三棱锥false中，平面false平面false，false，false为false的中点.
（1）证明：false；
（2）若false是边长为1的等边三角形，点false在棱false上，false，且二面角false的大小为false，求三棱锥false的体积.
21. 在平面直角坐标系false中，已知点false、false，点false的轨迹为false.
（1）求false的方程；
（2）设点false在直线false上，过false的两条直线分别交false于false、false两点和false，false两点，且false，求直线false的斜率与直线false的斜率之和.
22. 已知函数false.
（1）讨论false的单调性；
（2）设false，false为两个不相等的正数，且false，证明：false.
参考答案
1.答案：B
解析：false，选B.
2.答案：C
解析：false，选C.
3.答案：B
解析：如图设母线长为false，则false.
4.答案：A
解析：false单调递增区间为：false
令false，故选A.
5.答案：C
解析：由椭圆定义，false，则false，故选C.
6.答案：C
解析：falsefalse，故选C.
7.答案：D
解析：
8.答案：B
解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：
false，false，false，false，false
两点数和为7的所有可能为：
false，false，false，false，false，false
false，false，false，false
false，false，false，false
故false，正确，故选B.
9.答案：CD
解析：false，false，falseA错
设第一组中位数为false，则第二组中位数为false，falseB错
一组false，二组false，falseC正确
设一组中最大为false，最小为false，false极差false
则二组中最大为false，最小为false，false极差false，D正确
故选CD.
10.答案：AC
解析：false，false，falseA正确
false，false，
falseB错
false，false，falseC正确
false，false，falseD错
故选AC.
11.答案：ACD
解析：直线AB的方程为false，false，设圆心为false
P到直线AB的最大距离为false，
故P到直线AB的距离小于10，A正确
P到直线AB的最小距离为false，故B错误
对于C，当false最小时，BP与圆M相切，此时false
false，C正确.
false最大时，PB与圆M也相切，D正确.
故选ACD.
12.答案：BD
解析：对于A，当false时，false，false
此时P在线段false上运动，此时false的周长不为定值，A错.
对于B，当false时，false，此时P在线段false上运动
false为定值，B正确.
对于C，当false时，false，分别取false，false的中点E，F，此时P在线段EF上运动，要使false，只需false在平面false上的射影PF与BP垂直，此时P在E或F的位置，有两个P，C错误.
对于D，false时，false，分别取false，false的中点M，N，则P在线段MN上运动，false，只需false在平面false上的射影与false垂直，有且只有一个点P为N，满足题意，D正确，故选BD.
13.答案：1
解析：因为false为偶函数，则false，即false整理则有false，故false.
14.答案：false
解析：因为PF垂直x轴，故点P坐标为false，又因为false则false
即false，故false，则准线方程为false
15.答案：1
解析：falsefalse，当false时，等号成立，故false最小值为1.
16.答案：5种；false
解析：(1)易知有false，false，false，false，false，共5种规格
(2)(2)由题可知对折k次共有false种规格，且面积为false，故false
则false，记false，则false
故false
false
则false，故false
17.答案：(1)false，false，false
false
false是以3为公差的等差数列，false
(2)false
false
false.
解析：
18.答案：(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分
则X的取值可能为：100，20，0，因为各题互相独立，由分步完成原理得
false
false
false
列表如下：
X
100
20
0
P
0.48
0.32
0.2
则X的数学期望false
(2)若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分.
则Y的取值可能为：100，80，0，因为各题作答互相独立，由独立性原理知
false
false
false
列表如下：
Y
100
80
0
P
0.48
0.12
0.4
先答B类，则Y的数学期望为：false
由(1)知false
false小明先选第二种方案作答.
解析：
19.答案：（1）方法一：
false，false，false，false
方法二：
按照正弦定理，可知false，如此就有false
（2）方法一：
false，false
false
false
false
false，false
由①②知false，false
false，false或false
false或false(舍)
false.
方法二：
false，false
false
false
false，false
false，false
false，false或false
false或false(舍)
false.
方法三：
这里由于false，可以直接动用勾股差定理，可得false
注意false，又显然false，false，因此如果变成a，b，c那些，则有false，化简得到false，false，false
得到false或3.
这里有两个值，看这个3作为三角形两边比好像挺危险的，不一定能行，验证一下好了，假设false好了，那么会有false，问题是此时false，根本不成三角形，得踢掉，只能有false.
如此就有false.
解析：
20.答案：（1）解析一：平面false平面BCD，平面false平面false
false，O为BD中点，false
false平面false，false平面false，false平面false，false
解析二：首先，O为BD中点，加上false，就说明false了，加上两个平面垂直，会直接得到false平面BCD，那么当然就有false.
（2）解析一：取OD中点F，false为正三角形，false
过O作false与BC交于M点，则false
false，false，false两两垂直
以O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系false
false，false，false
设false，则false，false平面BCD
false平面BCD的一个法向量为false
设平面BCE的法向量为false
false，false
不妨设false，则false，false，则false
二面角false的大小为false
false，false
false，false
false.
解析二：过E作false于H，再过H作false于I.
显然这样会有false平面BCD，而这个正三角形OCD加上false，
可知false，意味着false，同时很自然的也会有false.
而二面角false很显然就是false，这个是false，说明false.
综合上面的条件，会得到false，然后false，再然后false
故此false.
同时false，得到false，
那么就有false.
解析：
21.答案：（1）解析一：false，false，false，false
C表示双曲线的右支，C的方程为false
解析二：基本上送分嘛，一看就双曲线嘛，只不过双曲线是false，得有个绝对值，如果没有绝对值只能说明这是双曲线的一支，这个双曲线会有false，两个焦点也已经给出，就是false，false，这样有false，然后false，于是乎就有双曲线方程：false但我们只需要它的右支，因此还可以进一步搞成false.
（2）解析一：设false，设直线AB的方程为：false，false，false
false
false
false
false
false
false
设false，同理可得false
false
false
false，false，false，false
解析二：我们不妨假设false，这个显然用参数方程会简单一些，令false，然后有false，false，
这其中false.
那么带入C的方程，会有false
化简得到false
于是有false
同理也会有false
换句话说，有false，false
既然false，这会说明false，
当然就有false，然后变成两个斜率和为0.
这个结果其实也不难猜到，因为只要我令false，那么显然两条关于x轴对称的直线就能满足条件，那么当然得有斜率和为0，而如果它要你证明这是个定值，那这个定值也必然只能是0.
解析：
22.答案：（1）解析一：false，令false
当false，false，false；当false时，false，false
解析二：因为false，故false在false，false
（2）解析一：false，false
令false，false，即证false
false
令false，false，令false
当false时，false，false；当false时，false，false
false，false，false，
要证false，即证false，即证falsefalse，
令false，false
false，false，false，
左边证毕!
再证右边：false，
要证false，即证false
令false，false
false，false在false上false
false，false，证毕!
解析二：false，不妨设false，false，且false
则有false，即false，要证false，即证false
先证：false
令false，
则false
故false，则false，即false，则false得证!
再证：false，不妨设false，则false，由false可得false，计算可得false
而false
false，再令false，则false，再false
则false，故false，则false，故，则false
即false，则false得证
故false
解析：

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