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1.1 集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语
学习目标：
1. 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.
?2. 了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题.
3. 会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法.
教学重点：
集合的含义与表示方法，元素与集合的关系.
教学难点：
元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合.
探究
阅读课本，思考并完成以下问题：
1. 集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示？
2. 集合有什么特性？
3. 元素和集合之间有哪两种关系？用什么符号表示？
4. 常见的数集有哪些？用什么字母表示？
5. 集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
6. 它们各自有什么特点？
7. 它们使用什么符号表示？
知识点一：集合的含义
引例：
（1）1~ 10之间所有的偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；
（5）方程?????2?3????+2=0 的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
?
定义：
一般地，我们把研究对象统称为元，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
元素特征：
（1）确定性：
给定的集合，它的元素必须是确定的.
如：“1~10之间所有的偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9不是它的元素；“较小的数”、“立德中学高一年级入学成绩较好的学生”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的，但“立德中学高一年级入学成绩不低于619分的学生”能构成集合.
（2）互异性：
一个给定集合中的元素是互不相同的，集合中的元素是不能重复出现的，相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.
（3）无序性：
集合中的元素没有先后顺序.
集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
如由1，2，3 构成的集合与由3，2，1构成的集合是相等的.
元素与集合关系：
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A ，记作?????∈????；
?
如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A ，记作 ?????????.
?
如，用 A 表示例（1）中“1~ 10之间所有的偶数”组成的集合，则有4∈????，3?????，等等.
?
常用数集及其记法：
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作
N
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作
?????或N+
?
全体整数组成的集合称为整数集，记作
Z
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作
Q
全体实数组成的集合称为实数集，记作
R
知识点二：集合的表示
1. 列举法：
地球上的四大洋包括太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，所以“地球上的四大洋”组成的集合可表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；方程????2?3????+2=0有两个不相等的实数根1，2，所以“方程????2?3????+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.
?
定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程 ????2=???? 的所有实数根组成的集合.
?
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
（2）设方程????2=???? 的所有实数根组成的集合为B，
那么B ={1，0}.
?
2. 描述法：
（1）引例：你能用列举法表示不等式 x-7< 3 的解集吗？
不等式 x-7 <3 的解是 x<10，因为满足 x< 10的实数有无数个，不可能一一列举出来，所以不等式 x-7<3 的解集无法用列举法表示，但解集中元素具有共同特征：x 是实数，且 x< 10，因此我们可以把解集表示为 ????∈????|????<10.
?
（2）定义：
一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为 ????∈????|????(????)，这种表示集合的方法称为描述法.
?
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程????2?2=0的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
?
解：（1）设 ????∈????，则 x 是一个实数，且 ????2?2=0 . 因此，用描述法表示为 ????={????∈????|????2?2=0.
方程 ????2?2=0 有两个实数根 2?，?2 ，因此，用列举法表示为 ????=2?，?2?.
?
（2）设 ????∈????，则 x 是一个整数，即 ????∈???? ，且 10大于10且小于20的整数有 11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为 B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
?
练一练
1.下列对象能构成集合的是( )
A.高一年级全体较胖的学生
B.比较接近1的全体正数
C.全体很大的自然数
D.平面内△????????????到三个顶点距离相等的所有点
?
解析：因为A中“较胖”、B中“接近”、C中“很大”均没有明确的标准，所以不能构成集合，D中元素能够成集合.故选D.
D
练一练
2. 下列说法正确的是（ ）
A.我校爱好足球的同学组成一个集合
B. {1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合
C.集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合
D.数1，0，5，12，32， 64，14 组成的集合有7个元素
?
解析：选项A，不满足确定性，故错误；
选项B，不大于3的自然数组成的集合是{0，1，2，3} ，故错误；
选项C，满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确；
选项D，数1，0，5，12，32， 64，14 组成的集合有5个元素，故错误.故选C.
?
C
练一练
D
练一练
A
练一练
5.用描述法表示被3除余2的正整数组成的集合___________________.
????|????=3????+2?，?????∈????
?
解析：∵被3除余2的正整数可用3????+2，????∈????来表示，
∴被3除余2的正整数组成的集合表示为：????|????=3????+2?，???∈????.
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课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
1.集合的含义；
2.集合中元素的特征；
3.元素和集合的关系；
4.常见数集的专用符号；
5.集合的表示方法.

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