2.1.1倾斜角与斜率 课件(共28张PPT)+教案

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2.1.1倾斜角与斜率 课件(共28张PPT)+教案

资源简介

(共28张PPT)
2.1.1倾斜角与斜率
人教A版(2019)
选择性必修第一册
新知导入
在以往的几何学习中,我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系,这种方法通常称为综合法。
但是在现实的生产、生活中,很多时候需要精确的代数刻画,本章开始,我们采用新的研究方法——坐标法,研究几何图形的性质。坐标法是解析几何中最基本的研究方法。通过本章的学习,大家慢慢体会坐标法的研究特点及优点。
本节,我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来。
今天,我们先来学习直线的倾斜角与斜率。
新知讲解
知识探究(一)直线倾斜角的概念
确定一条直线的几何要素是:直线上的一个点以及它的倾斜角,两者缺一不可。
设A,B为直线上的两点,则
就是这条直线的方向向量。所以,两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.
思考1:
确定一条直线的几何要素是什么?
新知讲解
在平面直角坐标系中,经过一点P可以作无数条直线(下图所示),它们组成一个直线束,这些直线的区别是什么??
规定:在平面直角坐标系中,水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向。
这些直线的区别是它们的方向不同,如何表示这些直线的方向?
我们看到,这些直线相对于
x
轴的倾斜程度不同,也就是它们与
x
轴所成的角不同。因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。
思考2:对于平面直角坐标系中的一条直线
l
,如何利用坐标系确定它的位置?
新知讲解
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度。
新知讲解
直线的倾斜角
(1)定义:当直线
l

x
轴相交时,取
x
轴为基准,x
轴正向与直线
l
向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
当直线
l

x
轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
(2)范围:直线
l
倾斜角的范围是0°≤α<180°.
新知讲解
注意三个条件:

x
轴正向;

直线向上的方向;
③小于180°的非负角。
从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是将
x
轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角。
这样,在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不等。因此,我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中的一条直线的倾斜程度,也就表示了直线的方向。
注意四种特殊角对应的直线:

,直线与
x
轴重合或平行(与
y
轴垂直)
时,直线与
y
轴重合或平行(与
x
轴垂直)
时,直线与一、三象限角平分线重合或平行
时,直线与二、四象限角平分线重合或平行
新知讲解
新知讲解
知识探究(二)斜率的概念及斜率公式
问题
:
在平面直角坐标系中,设直线
l
的倾斜角为α
(2)类似地,如果直线
l
经过
P1(-1,1),
利用向量法探究上述问题.
(3)一般地,如果直线
l
经过
P1(x1,y1),P2(x2,y2),
x1≠x2

那么α与
P1,
P2的坐标有怎样的关系?
(1)已知直线
l
经过O(0,0),,α与O,P的坐标有什么关系?
合作探究
对于问题(1),如图
向量(1)
且直线OP的倾斜角为α,由正切函数的定义,有
合作探究
对于问题(2),如图
平移向量

则点P的坐标为
且直线OP的倾斜角也是α,
由正切函数的定义,有
1
(-1-
1-0)=(-1-
)
合作探究
(3)一般地,当向量的方向向上时,
平移向量到
则点P的坐标为
且直线OP的倾斜角也是α,由正切函数的定义,有
同样,当向量的方向向上时,
也有
合作探究
思考:
当直线
P1P2

x
轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么?
当直线
P1P2

x
轴平行或重合时,上述式子还成立,因为此时y1=
y2

x1≠x2
,式子有意义,且值为零,即此时直线的倾斜角为零,斜率为零。
新知讲解
斜率
一条直线的倾斜角α
的正切值叫做这条直线的斜率(slope).
通常用小写字母
k
表示,即
斜率
k=tanα.
直线的斜率公式
(1)定义式:若直线
l
的倾斜角
,则斜率k=tan_α.
(2)两点式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线
l
上,且x1≠x2,则
l
的斜率
合作探究
思考:
(1)已知直线上的两点A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线AB的斜率时,与A,B两点的顺序有关吗?
(2)当直线平行于y轴或与y轴重合时,上述斜率公式还适用吗?为什么?
无关
当直线平行于
y
轴或与
y
轴重合时
x1=x2,分母为零,式子无意义,即斜率不存在。
典例精析
例1
如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解:直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率

kAB>0

kCA>0
知,直线AB
与CA的倾斜角均为锐角;

kBC
<0
知,直线BC的倾斜角为钝角.
1
课堂练习
1.下图中,表示直线倾斜角的是(

C
课堂练习
2.判断正误
(1)所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。
(2)每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
课堂练习
3.如图所示三条直线,它们的倾斜角的大小关系是什么?
答案:
由大到小:,,
.
课堂练习
4.下列命题中正确的是(

A
直线的倾斜角表示直线的倾斜程度,直线的斜率不能表示直线的倾斜程度
B
直线的倾斜角越大,其斜率就越大
C
直线的斜率k的取值范围是
D
直线的倾斜角
的取值范围是
解析:
可以用斜率来表示直线的倾斜程度,故A错误。倾斜角越大,倾斜程度越大,但并不是斜率越大,故B错误。斜率的取值范围是,故C错误。
D
课堂练习
5.

则直线
必不经过(

A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
D
课堂练习
6.
设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线
l
绕坐标原点沿逆时针方向
旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(  )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135°
D
课堂总结
(1)倾斜角的概念、范围.
(4)已知直线的倾斜角求斜率.
(3)已知直线上两点求直线斜率的公式.
(2)斜率的概念,与倾斜角的关系.
板书设计
1
直线倾斜角的概念
4
斜率公式
3
斜率的概念
5
斜率与倾斜角的关系
2
倾斜角
0
80
直线
平行于
x

y
l
O
x
由左向右上升
y
l
O
x
垂直于x轴
y
l
O
x
由左向右下降
y
l
O
x
板书设计
设直线的倾斜角为
,斜率为
k
.
下面特殊角的正切值要熟记
大小
0
9
80
k的范围
k=0
不存在
k的增减性
——
随增大而增大
——
随增大而增大
倾斜角
135
斜率k
0
1
-
-1
-
作业布置
课本55页练习
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
2.1.1倾斜角与斜率教学设计
课题
倾斜角与斜率
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
直线是最基本,最简单的几何图形,它既能为进一步学习做好知识上的准备,又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念,学生才能对直线及其位置进行定量的研究。
学习
目标

核心素养
掌握直线的倾斜角的概念,知道直线的倾斜角的范围。
理解直线斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式。
掌握倾斜角与斜率之间的关系。
了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素。
通过倾斜角概念的学习,提升直观想象的数学素养.
通过斜率及斜率公式的学习,培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
重点
直线倾斜角与斜率的概念,过两点的直线的斜率公式,斜率与倾斜角之间的关系。
难点
斜率与倾斜角之间的关系,斜率概念。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课题导入:
在以往的几何学习中,我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系,这种方法通常称为综合法。
但是在现实的生产、生活中,很多时候需要精确的代数刻画,本章开始,我们采用新的研究方法——坐标法,研究几何图形的性质。坐标法是解析几何中最基本的研究方法。通过本章的学习,大家慢慢体会坐标法的研究特点及优点。
本节,我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来。
(也可以简单地介绍一下笛卡尔与解析几何)
今天,我们先来学习直线的倾斜角与斜率。
引出本节新课内容。
学生在对比,观察的基础上提升自己的思维,使新旧知识之间尽可能产生自然的联系,激发学生学习兴趣,并引出本节新课。
讲授新课
知识探究(一)直线倾斜角的概念
思考1:
确定一条直线的几何要素是什么?
思考2:对于平面直角坐标系中的一条直线l
,如何利用坐标系确定它的位置?
思考1答案:确定一条直线的几何要素是:直线上的一个点以及它的倾斜角,两者缺一不可。
设A,B为直线上的两点,则
就是这条直线的方向向量。所以,两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线。
在平面直角坐标系中,经过一点P可以作无数条直线(下图所示),它们组成一个直线束,这些直线的区别是什么?
规定:在平面直角坐标系中,水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向。
这些直线的区别是它们的方向不同,如何表示这些直线的方向?
我们看到,这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同。因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。
思考2答案:因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度。
直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
(2)范围:直线l倾斜角的范围是0°≤α<180°.
注意三个条件:

x轴正向;

直线向上的方向;
③小于180°的非负角。
从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是将x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角。
这样,在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不等。因此,我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中的一条直线的倾斜程度,也就表示了直线的方向。
注意四种特殊角对应的直线:

,直线与x轴重合或平行(与y轴垂直)
2)时,直线与y轴重合或平行(与x轴垂直)
3)时,直线与一、三象限角平分线重合或平行
4)时,直线与二、四象限角平分线重合或平行
下面,我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法。
知识探究(二)斜率的概念及斜率公式
问题
:在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α
(1)已知直线l
经过O(0,0),P(,1),α与O,P的坐标有什么关系?
(2)类似地,如果直线l经过
P1(-1,1),
P2(,0)
,α与P1,
P2的坐标又有什么关系?
(3)一般地,如果直线l经过
P1(x1,y1),P2(x2,y2),
x1≠x2
,那么α与
P1,
P2的坐标有怎样的关系?
利用向量法探究上述问题。
对于问题(1),如图
向量
,且直线OP的倾斜角为α,由正切函数的定义,有
对于问题(2),如图
平移向量到
,
则点P的坐标为
且直线OP的倾斜角也是α,
由正切函数的定义,有
一般地,当向量的方向向上时,
平移向量
到,
则点P的坐标为
()
且直线OP的倾斜角也是α,由正切函数的定义,有
同样,当向量的方向向上时,
也有
思考:
当直线
P1P2
与x轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么?
当直线
P1P2
与x轴平行或重合时,上述式子还成立,因为此时y1=
y2

x1≠x2
,式子有意义,且值为零,即此时直线的倾斜角为零,斜率为零。
斜率
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即
斜率k=tanα.
直线的斜率公式
(1)定义式:若直线l的倾斜角α≠,则斜率k=tan_α.
(2)两点式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.
思考
(1)已知直线上的两点A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线AB的斜率时,与A,B两点的顺序有关吗?
(2)当直线平行于y轴时,或与y轴重合时,上述公式还适用吗?为什么?
(1)无关
(2)当x1≠x2,分母为零,式子无意义,即斜率不存在。
例1,如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解:直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率

kAB>0及kCA>0
知,直线AB
与CA的倾斜角均为锐角;由kBC
<0
知,直线BC的倾斜角为钝角.
课堂练习1
下图中,表示直线倾斜角的是(C)
课堂练习2
判断正误
(1)所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。
(2)每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
课堂练习3
如图所示三条直线,它们的倾斜角的大小关系是什么?
答案:
由大到小:
课堂练习4
下列命题中正确的是(

A
直线的倾斜角表示直线的倾斜程度,直线的斜率不能表示直线的倾斜程度
B
直线的倾斜角越大,其斜率就越大
C
直线的斜率k的取值范围是
D
直线的倾斜角
的取值范围是
答案:
D
解析
可以用斜率来表示直线的倾斜程度,故A错误。倾斜角越大,倾斜程度越大,但并不是斜率越大故B错误。斜率的取值范围是(-,故C错误。
课堂练习5

则直线
必不经过(

A
第一象限
B
第二象限
C
第三象限
D
第四象限
答案:B
课堂练习6
设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(  )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135°
答案:D
阅读课本,思考并完成左侧问题。
两点确定一条直线,一点和一个方向也可以确定一条直线。
动手在平面直角坐标系中作多条直线,可知倾斜角的取值范围0°≤α<180°

学生思考问题,探究斜率的概念及公式。
联想滑梯,结合坡度,给出斜率定义,直线斜率的概念。
利用例题引导学生掌握本节课知识,并能够灵活运用.
学生和教师共同探究完成练习题。
明确研究对象,探索确定直线位置的几何要素。
以日常生活中的斜面为例引入斜率的概念,然后通过师生互动探讨,加深对斜率的理解,有助于学生的观察,分享,抽象概括,充分引导学生主动参与的意识。
加深学生对基础知识理解,并能够灵活运用基础知识解决具体问题。
通过练习题,巩固基础知识,发散学生思维,培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
(1)倾斜角的概念、范围.
(2)斜率的概念,与倾斜角的关系.
(3)已知直线上两点求直线斜率的公式.
(4)已知直线的倾斜角求斜率.
板书
1
直线倾斜角的概念
倾斜角
直线平行于x轴
由左向右上升
垂直与x轴
由左向右下降
3
斜率的概念
4
斜率公式
5
斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为,斜率为k.
的大小
k的范围k=0
不存在k0k的增减性——随的增大而增大——随的增大而增大
下面特殊角的正切值要熟记
倾斜角斜率k01
-1
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2

(共
2
页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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