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2021年黑龙江省绥化市中考数学全真模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（　　）
A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3?a4＝a12 B．（3x）3＝9x3 C．（b3）2＝b5 D．a10÷a2＝a8
4．（3分）如图①，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A两次平移后（如图②）（　　）
A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图改变，俯视图不变
D．主视图不变，俯视图改变
5．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）
B．x2﹣x+＝（x﹣）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）
6．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）下列命题中，假命题的是（　　）
A．分别有一个角是110°的两个等腰三角形相似
B．若5x＝8y（xy≠0），则
C．如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比
D．有一个角相等的两个菱形相似
8．（3分）把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管（要求两种规格至少有一根）．在不造成浪费的情况下，不同的截法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．（3分）若点P（2m﹣3，﹣m）在第四象限，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜ B．m＞0 C．m＞ D．m＜0
10．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE＝15°，CE．延长CE到F，连接BF，则下列结论：①AE＝CE；②F到BC的距离为；
③BE+EC＝EF；④；⑤．
其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共11小题，满分33分，每小题3分）
11．（3分）计算：2﹣|1﹣|+（﹣）﹣3＝　 　．
12．（3分）在函数y＝+（x﹣3）0中自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）若a3m+n＝54，am＝3，则an＝　 　．
14．（3分）若一组数x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，则另一组数kx1，kx2，kx3，…，kxn的平均数和方差分别为　 　和　 　．
15．（3分）若a2﹣＝3，则a2+＝　 　；＝　 　．
16．（3分）如图，在扇形BCD中，∠BCD＝150°，BC长为半径画弧交于弧BD点A，得扇形BAC，则图中阴影部分的面积为　 　．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，将△BCD沿直线CD翻折后，点B落在点E处，那么∠BDC的度数是　 　度．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A（4，4），C（﹣2，﹣2），D在反比例函数的图象上，交x轴于点N，若，则k的值是　 　．
19．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为60km/h，它以最大航速沿江顺流航行240km所用时间与以最大航速逆流航行120km所用时间相同，则江水的流速为　 　km/h．
20．（3分）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，若BD＝4，则线段CD的长为　 　．
21．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，都在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，都在直线y＝x上1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，都是等边三角形，且OA1＝1，则点B6的纵坐标是　 　．
三．解答题（共8小题，满分57分）
22．（6分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC向上平移4个单位后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，则点A所经过的路径长　 　；线段AC扫过的面积　 　；
（3）直接写出△ABC的外接圆的半径　 　．
23．（6分）七年三班的小雨同学想了解本校七年级学生对第二课堂哪门课程感兴趣，随机抽取了部分七年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．
据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取　 　名学生，m的值是　 　；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　 　度；
（4）若该校七年级共有1200名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校七年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
24．（6分）如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，交对角线AC于点E，连接BE、DE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．
25．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．
26．（7分）已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径．点D是⊙O外一点，连接AD和OD，且OD⊥AC．
（1）如图1，若AD是⊙O的切线，tan∠BAC＝；
（2）如图2，延长DO交⊙O于点F，连接CD，AF．当四边形ADCF为菱形，且∠BAC＝30°，求DF的长．
27．（7分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时），请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
28．（9分）（1）观察猜想：
如图1，在△ABC中，tanB＝1，AD是∠BAC的平分线，以CD为一边作正方形CDEF，则＝　 　．
（2）类比探究：
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，（1）中的结论是否成立？请按图2加以证明．
（3）问题解决：
当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时，请直接写出线段AF的长．
29．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0）和点（﹣1，2）．
（I）求抛物线的解析式；
（II）P（m，t）为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P'．当点P'落在该抛物线上时；
（III）P（m，t）（m＜2）是抛物线上一动点，连接PA，随着点P的运动，正方形的大小与位置也随之改变，求对应的P点坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
2．解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
3．解：A、a3?a4＝a8，故A错误；
B、（3x）3＝27x7，故B错误；
C、（b3）2＝b3，故C错误；
D、a10÷a2＝a8，故D正确．
故选：D．
4．解：观察可发现，题图①和图②的从正面看到的形状图没有变化都如图（1）所示，
而从上面看到的形状图发生改变，图①的从上面看到的形状图如图（2）所示，
图②的从上面看到的形状图如图（3）所示．
故选：D．
5．解：A、a4b﹣6a2b+9a2b＝a3b（a2﹣6a+5）＝a2b（a﹣3）3，故此选项错误；
B、x2﹣x+＝（x﹣）4，故此选项正确；
C、x2﹣2x+4，无法运用完全平方公式分解因式；
D、x2﹣4＝（x+5）（x﹣2），故此选项错误；
故选：B．
6．解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为＝，
故选：A．
7．解：A、分别有一个角是110°的两个等腰三角形相似；
B、若5x＝8y（xy≠4），则；
C、如果两个三角形相似，原命题是假命题；
D、有一个角相等的两个菱形相似；
故选：C．
8．解：设可以截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，
依题意得：3x+y＝7，
∴y＝7﹣3x，
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种截法．
故选：C．
9．解：∵点P（2m﹣3，﹣m）在第四象限，
∴，
解不等式①，得：m＞，
解不等式②，得：m＞3，
则m＞，
故选：C．
10．解：∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，∴①正确；
∵过F作FH⊥BC于H，
∵BF＝BC＝1，
∴∠BFC＝∠FCB＝15°，
∴FH＝BF＝；
∵Rt△BHF中，
FH＝，BF＝1，
∴CF＝＝
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AE＝CE，
在EF上取一点N，使BN＝BE，
又∵∠NBE＝∠EBC+∠ECB＝45°+15°＝60°，
∴△NBE为等边三角形，
∴∠ENB＝60°，
又∵∠NFB＝15°，
∴∠NBF＝45°，
又∵∠EBC＝45°，
∴∠NBF＝∠EBC，
又∵BF＝BC，∠NFB＝∠ECB＝15°，
可证△FBN≌△CBE，
∴NF＝EC，
故BE+EC＝EN+NF＝EF，
∴③正确；
过A作AM⊥BD交于M，
根据勾股定理求出BD＝，
由面积公式得：AD×AB＝，
AM＝＝，
∵∠ADB＝45°，∠AED＝60°，
∴DM＝，EM＝，
∴S△AED＝DE×AM＝+；
S△EBF＝S△FBC﹣S△EBC＝×1×﹣]＝．
故选：B．
二．填空题（共11小题，满分33分，每小题3分）
11．解：原式＝2﹣（6
＝2﹣2
＝﹣2．
故答案为：﹣7．
12．解：由题意得：，
解得：x＞﹣3，且x≠3．
故答案为：x＞﹣3，且x≠3．
13．解：∵a3m+n＝（am）3?an＝54，am＝2，
∴．
故答案为：2
14．解：∵x1，x2，x7，…，xn的平均数为，方差为s2，
∴kx1，kx5，kx3，…，kxn的平均数为k，方差为k2s7，
故答案为：k，k2s2．
15．解：∵a2﹣＝3，
∴（a2﹣）2＝4，即a4﹣2+＝9，
则a2+＝11，
∴（a3+）5＝a4+2+＝13，
则a2+＝（负值舍去），
＝＝＝5，
故答案为：，1．
16．解：连接AC，过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝BC＝AC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，BE＝CE＝2＝＝4，
∵∠BCD＝150°，
∴∠ACD＝150°﹣60°＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC+S扇形ACD﹣S扇形ABC＝+﹣＝4+π，
故答案为：2+π．
17．解：如图，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，
∴∠BDC＝∠EDC，
∵ED∥AC，
∴∠EDA＝∠A＝40°，
∵∠BDC+∠EDC＝∠BDA+∠EDA＝220°，
∴∠BDC＝110°，
故答案为110．
18．解：∵点A（4，4），﹣2），
∴直线AC为y＝x，M（1，
∵菱形ABCD中AC⊥BD，
∴设直线BD为y＝﹣x+b，
代入M（1，3），
∴直线BD为y＝﹣x+2，
∴N（2，7），
∴ON＝2，
∵，
设B点的纵横坐标为5n，则D点的纵坐标为﹣3n，
∵B、D在直线y＝﹣x+5上，
∴B（﹣5n+2，7n），﹣3n），
∵点B，D在反比例函数，
∴k＝（﹣5n+8）?5n＝（3n+4）?（﹣3n），
解得n＝1，
∴k＝﹣15，
故答案为﹣15．
19．解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：
，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
答：江水的流速为20km/h．
故答案为：20．
20．解：作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠A＝30°，
∴DE＝AD＝3，
∴AE＝DE＝2＝＝2，
∴AB＝AE﹣BE＝7，或AB＝AE+BE＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4或5；
故答案为：4或8．
21．解：过B1作B1C⊥x轴于C，过B5作B2D⊥x轴于D，过B3作B3E⊥x轴于E，如图所示：
设△BnAnAn+1的边长为an，
则A1C＝A7C＝A2A2，A2D＝A5D＝A3A3，…，
∴B1C＝a1，B8D＝a5，B3E＝a3，…，
∵点B1，B3，B3，…是直线y＝x上的第一象限内的点，
∴∠AnOBn＝30°，
又∵△AnBnAn+1为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1＝60°，
∴∠OBnAn＝30°，∠OBnAn+7＝90°，
∴BnBn+1＝OBn＝an，
∵OA6＝1，
∴点A1的坐标为（5，0），
∴a1＝5，a2＝1+7＝2，a3＝6+a1+a2＝3，a4＝1+a6+a2+a3＝2，…，
∴an＝2n﹣1，
∴a6＝32，
∴点B6的纵坐标为a6＝×32＝16，
故答案为：16．
三．解答题（共8小题，满分57分）
22．解：如图，
（1）△A1B1C3即为所求；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，
则点A所经过的路径长为：＝；
线段AC扫过的面积为：﹣＝＝4π；
故答案为：，8π．
（3）△ABC的外接圆的半径为：OC＝＝．
故答案为：．
23．解：（1）在这次调查中一共抽取学生10÷20%＝50（名），m%＝，即m＝18；
故答案为：50、18；
（2）选择数学课程的人数为50﹣（9+7+8+10+3）＝15（名），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是360°×，
故答案为：108；
（4）1200×＝360（名），
答：估计该校七年级学生中有360名学生对数学感兴趣．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△ECB和△ECD中，
，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴BE＝DE，
由作图可知，MN垂直平分线段CD，
∴EC＝ED，
∴BE＝CE．
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝72°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣72°）＝54°，
∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB＝54°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝18°．
25．（1）证明：方程x2+（m+2）x+（8m﹣1）＝0，
∵a＝7，b＝m+2，
∴△＝（m+2）4﹣4（2m﹣4）＝（m﹣2）2+8＞0，
则无论m取何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝﹣1代入方程得：8﹣m﹣2+2m﹣7＝0，
解得：m＝2，
设另一根为a，则有﹣8+a＝﹣m﹣2＝﹣4，
解得：a＝﹣2，即方程的另一根为x＝﹣3．
26．解：（1）证明：∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝AC，
∴AE＝BC，
∵AD是⊙O的切线，
∴DA⊥AB，
∴∠DAO＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE+∠CAB＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠DAE＝∠ABC，
在△DAE和△ABC中，
，
∴△DAE≌△ABC（ASA），
∴AD＝AB；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2，AC＝，
∵∠ABC＝∠AFC＝60°，
∵四边形ADCF为菱形，
∴AC＝FC＝，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠DFC＝AFC＝30°，
∴CE＝FC＝，
∴EF＝CE＝，
∴DF＝2EF＝3．
27．解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤7.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在7.5～4.7之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.2，x2＝4.6，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，2.6﹣1.7＝2.1（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶8.1小时或2.3小时，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或4.7小时．
28．解：（1）＝，理由是：
在 Rt△ABC 中，
根据勾股定理得，BC＝，
又∵点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AB＝AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴AF＝EF＝AD，
∴AB＝AF，即＝，
故答案为：；
（2）（1）中的结论成立．
证明：∵tanB＝1，
∴∠ABC＝45°，
∵AB＝AC＝3，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴sin45°＝，
∴，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠FEC＝45°，
∴sin45°＝＝，
∴，
∵∠FCA＝∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴；
（3）或．
如图2，当点E在线段BF上时，
由（1）知CF＝EF＝CD＝，
∵在Rt△BCF中，CF＝，
∴BF＝＝，
∴BE＝BF﹣EF＝＝．
由（2）知，
∴BE＝AF，
∴＝AF，
∴AF＝，
如图3，当点E在线段BF的延长线上时，
∴，
∴AF＝，
综上所述，当正方形CDEF旋转到B，E，线段AF的长为或．
29．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2）和点（﹣1，
∴，得，
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（Ⅱ）∵P（m，t）为抛物线上的一个动点，
∴点P'（﹣m，﹣t），
∵点P和点P'落在该抛物线y＝﹣x2+x+上，
∴，
∴（﹣m2+m+2﹣m+，
解得，m1＝，m7＝﹣，
即m的值是或﹣；
（Ⅲ）当点G落在y轴上时，如右图1所示，
过点P作PM⊥OA于点M，
∵四边形APFG是正方形，
∴AP＝GA，∠PAG＝90°，
∴∠PAM+∠GAO＝90°，
∵∠AOG＝90°，
∴∠AGO+∠GAO＝90°，
∴∠PAM＝∠AGO，
又∵∠PMA＝∠AOG＝90°，
∴△PMA≌△AOG（AAS），
∴PM＝AO＝2，
∴t＝4，
∴﹣m2+m+，
解得，m1＝，m2＝﹣4，
∴点P的坐标为（，3）或（﹣1；
当点F落在y轴上时，如图2所示，
过点P作PM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥PM于点N，
同理可证，△PFN≌△APM，
∴FN＝PM，
∴t＝m，
∴m＝﹣m7+m+，
解得，m3＝，m4＝，
∴点P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标为：（、（﹣1、（，）或（，）．

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