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成都石室中学2020—2021学年度下期高2022届半期考试
数学试卷（理科）
（时间：120分钟 满分：150分）
一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．
1．在复平面内，复数false的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.若抛物线false的焦点与双曲线false的右焦点重合，则false的值为（ ）
A．4 B．2 C．false D．false
3．经过点false且与双曲线false有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．在极坐标系中，直线false的方程为false与曲线false的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与false有关
6．下列命题中，正确的有（ ）
①若平面false平面false，平面false平面false，则平面false平面false；
②“若false，则false”的逆否命题为真命题；
③在线性回归模型中，相关指数false表示解释变量false对于预报变量false的贡献率，false越接近于0，表示回归效果越好；
④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7.已知false是抛物线false的焦点，false 是该抛物线上的两点，false 则线段false的中点到false轴的距离为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知函数false，若false，false，false，其中false，则false，false，false的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知函数false，若不等式false对false恒成立，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10.“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕?着陆?巡视，是世界首创，也
是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火
星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点
(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离
约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为
（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知定义在R上的函数false，若函数false恰有5个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．若函数false存在两个极值点false，false，（false），则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．复数z满足false（i是虚数单位），则z的模false_________.
14．某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：
使用年限（单位：年）
2
3
4
5
6
维修费用false（单位：万元）
false
false
false
false
false
根据上表可得回归直线方程为false，据此模型预测，若使用年限为false年，估计维修费约为 万元．
15．已知函数false的图象关于直线false对称，当false时，false，则曲线false在点false处的切线方程是________．
16．函数false在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到false，然后两边同时求导得false，
于是falsefalse，用此法探求false的导数_________.
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）平面直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（false为参数）以坐标原点O为极点，false轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false的普通方程与曲线false的直角坐标方程；
（2）设点false，若曲线false，false相交于false两点，求false的值.
18．（本小题满分12分）为了解成都市某区居民对接种新冠疫苗的态度，某机构日前通过社交媒体，进行了问卷调查，结果显示，多达false的该区受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了该区1000人进行调查，得到统计数据如下：
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
500
100
600
接种疫苗
false
false
false
总计
800
false
1000
（1）求false列联表中的数据false，false，false，false的值，并确定能否有false的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.
（2）从接种疫苗的false人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从4人中随机抽取2人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的2人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，求得分结果总和为11的概率.
附:false，false
false
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
50444402413019.（本小题满分12分）如图，在四棱锥false中，底面四边形false是正方形，false，false.（1）证明：false平面false；
（2）已知false，点false是棱false上的点，满足false，若二面角false的余弦值为false，求false的值.
20．（本小题满分12分）已知函数false．
（1）讨论函数false的单调性；
（2）当false时，不等式false恒成立，求实数false的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知false是函数false的极值点．
（1）求false的值，并证明false恒成立；
（2）证明：对于任意正整数false，false
22.（本小题满分12分）已知平面内动点false到两定点false和false的距离之和为4.
（1）求动点false的轨迹E的方程；
（2）已知曲线false上点false处切线方程为false.若直线false与圆false相交于false两点，动点false在线段false上运动，从false向轨迹E作切线，切点分别为false;（ⅰ）求证：直线false过定点；（ⅱ）求false面积的取值范围．

成都石室中学2020—2021学年度下期高2022届半期考试
数学参考答案（理科）
（时间：120分钟 满分：150分）
一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．
DAACB BCBDA CD
二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．false; 14．11; 15．false; 16．false.
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）由false得：false，即false的普通方程为：false；
由false得：false，
false的直角坐标方程为：false，即false； …………………….5分
（2）false满足false方程，false在false上，可得false参数方程：false（false为参数），
将false参数方程代入false普通方程整理得：false，
设false对应的参数分别为false，则false. .…………………….10分
18．【解析】（1）由题意得：false，false，
false，false，
因为false.
所以有false的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关. ……………….6分
（2）从接种疫苗的false人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，可知4人中无疲乏症状的有6人，记为false，有疲乏症状的有2人，记为false，从4人中随机抽取2人，总基本事件有：false共6件，当这2人中恰有1人有疲乏症状时，得分为11分，记“得分结果总和为11”为事件M，事件M包括了3件基本事件，则false. …….12分
19.【解析】（1）因为底面四边形false是正方形，所以false，
又false，false，所以false平面false，
又false平面false，所以平面false平面false，
因为false，false平面false，平面false平面false，
所以false平面false. …………5分
（2）由已知及（1）可知false，false，false，
4667250358140以false为原点，false，false，false的方向分别作为false，false，false轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为false，所以false，false，false，false，false，false，
得false，false， …………7分
设平面false的法向量为false，则由false，false得
false，即false，取false，得false. …………9分
易知平面false的一个法向量为false. …………10分
所以，false，解得false. …………12分
20．【解析】false定义域为R，false,
①false时，false所以false在上单调递减；
false所以false在上单调递增；
当false时，false
②当false时，false所以false在单增，当false所以false在上单调递减；
③当false时，false所以false在单增，当false所以false在上单调递减；
④当false时，false恒成立，且只有当false时，false，所以false在R上单增；
综上，①当false时，false在上单调递减，在上单调递增；
②当false时， false在单增，在上单调递减；
③当false时， false在单增，在上单调递减；
④当false时， false在R上单增. …………8分
（2）由端点效应，false,所以false，由（1）知：当false时，false在false上单调递增， false，满足题意，所以false. …………12分
21.【解析】（1）false，false，false …………3分
false，falsefalse， …………6分
由（1）知即，false
false…………10分
上式累加得：falsefalse…………12分
22.【解析】（1）由题意知，false，
所以，动点false的轨迹是以false，false为焦点，长轴长为4的椭圆，方程为false
………3分
（2）（ⅰ）设false，则在false处的切线方程分别为false，false，因为两直线都过false，所以false，则false两点的坐标均满足一元二次方程false，故直线false的方程为false，过定点false； ……..7分
（ⅱ）false，
由题知false，由椭圆的对称性，不妨设false，
false， ……..9分
原点到直线false的距离false，所以，false，令false，false，…10分，记false，false，由false，所以false，
即false面积的取值范围为false ………12分

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