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空间向量运算的坐标表示及应用
一、选择题
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．已知A(4，1，3)，B(－2，4，3)，则线段AB中点的坐标是(　　)
A．　 　 B．
C． D．
3．已知A(4，1，3)、B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为(　　)
A．　　　 B．
C．　　 D．
4．如图，F是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　)
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝EB
D．E与B重合
5．在空间直角坐标系O?xyz中，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝(　　)
A．60°　　　　　　 B．45°
C．60°或120°　　 D．45°或135°
二、填空题
6．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________．
7．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)．若a，b成120°的角，则k＝________．
8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
三、解答题
9．设向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)，计算2a＋3b，3a－2b，a·b，并确定λ，μ满足什么关系时，λa＋μb与z轴垂直．
10．如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b．
(1)求||；
(2)求cos〈，〉．
能力过关
11．已知向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a≠b，＝R，则a－b与x轴正向夹角的余弦值为(　　)
A．　 B．
C． D．
12．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为(　　)
A．2　　　　B．－2　　　　C．0　　　　D．1
13．(多选题)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝(10，－5，－2)　 B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝22　　　　　 D．|a|＝6
14．(一题两空)已知a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(1，0，1)，则a＝________，b＝________．
15．如图所示，在棱长为1的正方体OABC?O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O?xyz．
(1)求证：A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋．
一、选择题
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．
D　[ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝2(1，1，0)－(－1，0，2)＝(3，2，－2)．
因为ka＋b与2a－b互相垂直，
所以3(k－1)＋2k－2×2＝0．
所以k＝．]
2．已知A(4，1，3)，B(－2，4，3)，则线段AB中点的坐标是(　　)
A．　 　 B．
C． D．
A　[由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即．]
3．已知A(4，1，3)、B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为(　　)
A．　　　 B．
C．　　 D．
C　[设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
又＝(－2，－6，－2)，＝3，
∴(－2，－6，－2)＝(3x－12，3y－3，3z－9)．
∴解得]
4．如图，F是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　)
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝EB
D．E与B重合
A　[分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，因为·＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB．]
5．在空间直角坐标系O?xyz中，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝(　　)
A．60°　　　　　　 B．45°
C．60°或120°　　 D．45°或135°
C　[设a＝(x，y，z)，则
由cos〈a，i〉＝，cos〈a，j〉＝，cos〈a，k〉＝得，
＝，＝，＝cos〈a，k〉，
∴＋＋cos2〈a，k〉＝1，
∴cos〈a，k〉＝±，又〈a，k〉∈[0，π]，
∴〈a，k〉＝或π．]
二、填空题
6．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________．
　－6　[由a⊥b，得a·b＝0，∴2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝；由a∥b，得＝，解得x＝－6．]
7．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)．若a，b成120°的角，则k＝________．
－　[cos〈a，b〉＝＝＝－，得k＝－．]
8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
(－∞，－2)　[a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2．又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．]
三、解答题
9．设向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)，计算2a＋3b，3a－2b，a·b，并确定λ，μ满足什么关系时，λa＋μb与z轴垂直．
[解]　2a＋3b＝2(3，5，－4)＋3(2，1，8)＝(6，10，－8)＋(6，3，24)＝(12，13，16)；
3a－2b＝3(3，5，－4)－2(2，1，8)＝(9，15，－12)－(4，2，16)＝(5，13，－28)；a·b＝3×2＋5×1＋(－4)×8＝－21．
∵(λa＋μb)·(0，0，1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0，0，1)＝－4λ＋8μ，
∴当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0即λ＝2μ时，λa＋μb与z轴垂直．
10．如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b．
(1)求||；
(2)求cos〈，〉．
[解]　如图，建立空间直角坐标系D?xyz，则A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，F，G，
＝，＝，＝(－a，0，0)．
(1)||＝ ＝ ．
(2)cos〈，〉＝＝＝．
能力过关
11．已知向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a≠b，＝R，则a－b与x轴正向夹角的余弦值为(　　)
A．　 B．
C． D．
A　[ a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，x轴正向的方向向量为n＝(1，0，0)，
∴(a－b)n＝x1－x2，
∴cos〈a－b，n〉＝＝．]
12．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为(　　)
A．2　　　　B．－2　　　　C．0　　　　D．1
A　[因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
所以(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝2－2x＝－2．
所以x＝2．]
13．(多选题)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝(10，－5，－2)　 B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝22　　　　　 D．|a|＝6
ACD　[a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，
a·b＝24＋6－8＝22，
|a|＝＝＝6．]
14．(一题两空)已知a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(1，0，1)，则a＝________，b＝________．
(0，－1，2)　(－1，－1，1)　[a＝＝(0，－1，2)，b＝＝(－1，－1，1)．]
15．如图所示，在棱长为1的正方体OABC?O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O?xyz．
(1)求证：A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋．
[证明]　(1)由已知条件A1(1，0，1)，F(1－x，1，0)，C1(0，1，1)，E(1，x，0)，
则＝(－x，1，－1)，＝(1，x－1，－1)，
∴·＝－x＋(x－1)＋1＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E．
(2)＝(－x，1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(0，x，－1)，
设＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝1．
所以＝＋．

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