资源简介 直线的方向向量与平面的法向量 一、选择题 1.已知非零向量a,b,c分别为平面α,β,γ的法向量,且a∥b,b⊥c,则α与γ的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合 2.若=(1,2,3),=(-1,3,4),则以下向量中,能成为平面OAB的法向量的是( ) A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5) 3.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(2,-1,2),则下列点P中,在平面α内的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3, 4) 4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) C.(1,1,1) D.(1,1,-1) 5.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于( ) A.0 B.1 C. D.3 二、填空题 6.若n是坐标平面xOy的一个法向量,则n的坐标可以表示为________. 7.如图所示,正四棱锥S?ABCD中,O为底面中心,则平面SBD的法向量与的夹角等于________. 8.下列命题: ①直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=,则l与m垂直; ②直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α; ③平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β; ④平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上). 三、解答题 9.如图,四棱锥P?ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形且PD=AD,E、F分别是PC、PB的中点. (1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量; (2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量. 10.如图,四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. 能力过关 11.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l与α斜交 12.直线l的方向向量为a,,是平行于平面α内两个不共线向量,下列关系中能推出l∥α的是( ) A.a= B.a=k C.a=λ+μ D.以上均不能 13.(多选题)在直三棱柱ABC?A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是( ) A. B. C. D. 14.(一题两空)如图,圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则点P形成的轨迹长度为________,点S与P距离的最小值是________. 15.四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形, =(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:PA⊥底面ABCD; (2)求四棱锥P?ABCD的体积; (3)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P?ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义. 一、选择题 1.已知非零向量a,b,c分别为平面α,β,γ的法向量,且a∥b,b⊥c,则α与γ的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合 A [由已知得a⊥c,故选A.] 2.若=(1,2,3),=(-1,3,4),则以下向量中,能成为平面OAB的法向量的是( ) A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5) C [经检验,只有向量(-1,-7,5)分别与、垂直,故选C.] 3.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(2,-1,2),则下列点P中,在平面α内的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3, 4) A [由题意知:点P在平面α内?⊥n?·n=0,经检验选项A符合题意.] 4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) C.(1,1,1) D.(1,1,-1) C [设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量, 则化简得 ∴x=y=z.] 5.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于( ) A.0 B.1 C. D.3 A [∵A(0,y,3)和B(-1,2,z),=(-1,2-y,z-3), ∵直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3), 故设=km. ∴-1=2k,2-y=-k,z-3=3k. 解得k=-,y=z=. ∴y-z=0.] 二、填空题 6.若n是坐标平面xOy的一个法向量,则n的坐标可以表示为________. [答案] ,其中z≠0 7.如图所示,正四棱锥S?ABCD中,O为底面中心,则平面SBD的法向量与的夹角等于________. 45° [∵正四棱锥底面为正方形, ∴BD⊥AC,SO⊥AC,又∵BD∩SO=O, ∴AC⊥平面SBD. ∴为平面SBD的一个法向量.∴〈,〉=45°.] 8.下列命题: ①直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=,则l与m垂直; ②直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α; ③平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β; ④平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上). ①④ [对于①,∵a=(1,-1,2),b=,∴a·b=1×2-1×1+2×=0,∴a⊥b,∴直线l与m垂直,①正确; 对于②,a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),∴a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,∴a⊥n,∴l∥α或l?α,②错误; 对于③,∵n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),∴n1与n2不共线,∴α∥β不成立,③错误; 对于④,∵点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),∴=(-1,1,1),=(-1,1,0).∵向量n=(1,u,t)是平面α的法向量, ∴即 则u+t=1,④正确. 综上,真命题的序号是①④.] 三、解答题 9.如图,四棱锥P?ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形且PD=AD,E、F分别是PC、PB的中点. (1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量; (2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量. [解] (1)取AD的中点M,连接MF,连接EF, ∵E、F分别是PC、PB的中点,∴EF=BC,又BC=AD,∴EF=AD, 则由EF=DM知四边形DEFM是平行四边形, ∴MF∥DE,∴就是直线DE的一个方向向量. (2)∵PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥BC,又BC⊥CD,PD∩CD=D, ∴BC⊥平面PCD, ∵DE?平面PCD, ∴DE⊥BC,又PD=CD,E为PC中点, ∴DE⊥PC,从而DE⊥平面PBC, ∴是平面PBC的一个法向量,由(1)可知=, ∴就是平面PBC的一个法向量. 10.如图,四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. [解] 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直. 如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,,0),E,B(1,0,0),C(1,,0), 于是=,=(1,,0). 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量, 则即 所以 令y=-1,则x=z=. 所以平面ACE的一个法向量为n=(,-1,). 能力过关 11.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l与α斜交 B [∵a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),∴n=-2a,即a∥n,∴l⊥α.] 12.直线l的方向向量为a,,是平行于平面α内两个不共线向量,下列关系中能推出l∥α的是( ) A.a= B.a=k C.a=λ+μ D.以上均不能 D [A、B、C均表示l∥α或l?α.] 13.(多选题)在直三棱柱ABC?A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是( ) A. B. C. D. BC [∵AA1⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,∴与可以作为平面ABC的法向量.] 14.(一题两空)如图,圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则点P形成的轨迹长度为________,点S与P距离的最小值是________. [由题意可知,建立空间直角坐标系,如图所示. 则A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,),M, 设P(x,y,0),则=,=, 由·=0得y=, ∴点P的轨迹方程为y=. 根据圆的弦长公式,可得点P形成的轨迹长度为2=. 由SP=知,当x=0时,点S与P距离的最小,其最小值为.] 15.四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形, =(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:PA⊥底面ABCD; (2)求四棱锥P?ABCD的体积; (3)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P?ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义. [解] (1)证明:∵·=-2-2+4=0,∴AP⊥AB. 又∵·=-4+4+0=0,∴AP⊥AD. ∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线,∴AP⊥底面ABCD. (2)设与的夹角为θ,则cos θ===, V=||·||·sin θ·||=··=16. (3)|(×)·|=|-4-32-4-8|=48,它是四棱锥P?ABCD体积的3倍. 猜测:|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积. 展开更多...... 收起↑ 资源预览