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用向量方法研究立体几何中的位置关系
一、选择题
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥α　　B．l?α　　C．l⊥α　　D．l?α或l∥α
2．已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是(　　)
A．垂直　　B．平行　　C．相交　　D．异面
3．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝(　　)
A．－1　　B．1　　C．0　　D．无法确定
4．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
5．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF与A1D，AC都垂直
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
二、填空题
6．已知平面α的法向量为(2，m，－1)，平面β的法向量为，且α与β相交，则m，n满足的条件是________．
7．已知向量n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)分别是平面α，β的法向量，那么平面α，β的位置关系为________．
8．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
三、解答题
9．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．
10．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D⊥平面PAC?
能力过关
11．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是(　　)
A．平行　　 B．相交
C．异面垂直　　 D．异面不垂直
12．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE．则M点的坐标为(　　)
A．(1，1，1)
B．
C．
D．
13．(多选题)如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．则下列结论正确的是(　　)
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
14．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN的最小值为________．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE?
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE?
一、选择题
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥α　　B．l?α　　C．l⊥α　　D．l?α或l∥α
D　[∵a·b＝0，∴l?α或l∥α．]
2．已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是(　　)
A．垂直　　B．平行　　C．相交　　D．异面
A　[由a＝λb(λ≠0)，知a∥b，由b·c＝0，知b⊥c，故选A．]
3．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝(　　)
A．－1　　B．1　　C．0　　D．无法确定
A　[∵l1⊥l2，∴a⊥b，即a·b＝0，∴4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1．]
4．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
B　[以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，∴M，N．
∴＝，易知＝(0，a，0)是平面BB1C1C的一个法向量，而·＝－ ×0＋0×a＋ ×0＝0，
∴⊥，∴MN∥平面BB1C1C．]
5．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF与A1D，AC都垂直
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
B　[分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D?xyz(图略)，设正方体的棱长为3，则A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，E(1，0，1)，F(2，1，0)，
∴＝(－3，0，－3)，＝(－3，3，0)，＝(1，1，－1)，
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，∴A1D⊥EF，AC⊥EF．]
二、填空题
6．已知平面α的法向量为(2，m，－1)，平面β的法向量为，且α与β相交，则m，n满足的条件是________．
m≠4，或n≠－　[∵α与β相交，∴α的法向量与β的法向量不共线．∴≠，或≠．即m≠4，或n≠－．]
7．已知向量n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)分别是平面α，β的法向量，那么平面α，β的位置关系为________．
平行　[∵n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)．
∴n2＝－5n1，∴n1∥n2，即α∥β．]
8．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
AB∥平面CDE或AB?平面CDE　[∵＝λ＋μ (λ，μ∈R)，
∴与，共面．
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE．]
三、解答题
9．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．
[证明]　如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．
则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B．
∵P为AC的中点，
∴P．
∴＝，
又由已知，可得＝
＝．
又＝＋＝，
∴＝－＝．
∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA．
10．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D⊥平面PAC?
[解]　以D为原点建立空间直角坐标系，如图，设存在点P(0，0，z)，且正方体棱长为a，
则＝(－a，0，z)，＝(－a，a，0)，＝(a，a，a)．
∵B1D⊥平面PAC，
∴·＝0，·＝0．
∴－a2＋az＝0．∴z＝a，即点P与D1重合．
∴点P与D1重合时，DB1⊥平面PAC．
能力过关
11．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是(　　)
A．平行　　 B．相交
C．异面垂直　　 D．异面不垂直
C　[以A为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N．·＝·＝0，
∴ON与AM垂直，易得ON与AM异面，故ON与AM异面垂直．]
12．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE．则M点的坐标为(　　)
A．(1，1，1)
B．
C．
D．
C　[设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，
又O是正方形ABCD对角线交点，
∴M为线段EF的中点．
在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)．
由中点坐标公式，知点M的坐标．]
13．(多选题)如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．则下列结论正确的是(　　)
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
ACD　[∵＝＋＝＋，＝＋DP＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得ACD正确．
又B1Q与D1P不平行，故B不正确．]
14．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN的最小值为________．
　[如图所示，作MM1⊥AD，垂足为M1，作NN1⊥CD，垂足为N1，
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，根据面面垂直的性质定理，可得MM1，NN1都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质定理，可知MM1∥NN1，易知平面M1N1NM∥平面ACC1A1，由面面平行的性质定理可知，M1N1∥AC，设DM1＝DN1＝x，则0＜x＜1．
在直角梯形MM1N1N中，MN2＝(x)2＋(1－2x)2＝6＋，当x＝时，MN取得最小值为．]
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE?
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE?
[解]　(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点A(1，0，0)，E，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，＝．假设存在点P(1，1，z)满足题意，于是＝(1，1，z－1)，
所以所以解得矛盾．
故在B1B上不存在点P使D1P⊥平面B1AE．
(2)假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．
设N(1，y，z)，则
因为＝(1，y，z－1)，所以解得
故平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．

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