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空间向量的运算(二)
一、选择题
1．下列各式计算正确的是(　　)
A．a＋b－(a＋b)＝2a
B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
3．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段BA的延长线上
D．点P不一定在直线AB上
4．如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于(　　)
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
5．下列命题中，正确命题的个数为(　　)
①若a∥b，则a与b方向相同或相反；
②若＝，则A，B，C，D四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
二、填空题
6．在正四面体O?ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
7．若(x－2a)－2＋3b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________．
8．在三棱锥A?BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简＋－－的结果为________．
三、解答题
9．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：＋＋＝0．
10．如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．
求证：＝(＋＋)．
能力过关
11．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a＝b成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|　　 B．a＝－b
C．a∥b D．a＝b
12．在空间中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝(　　)
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
13．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n．
14．(一题两空)已知|a|＝5，a＝λb．
(1)若b与a的方向相同，且|b|＝7，则λ的值为________．
(2)若b与a的方向相反，且|b|＝7，则λ的值为________．
15．如图，四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？
一、选择题
1．下列各式计算正确的是(　　)
A．a＋b－(a＋b)＝2a
B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c
D　[A不正确，结果应为0；B不正确，结果应为2a＋2b＋c；C不正确；结果应为6a；D正确，故选D．]
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
A　[因为＝a＋2b．＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
所以∥，由于与有一个公共点B，
所以A、B、D三点共线．]
3．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段BA的延长线上
D．点P不一定在直线AB上
A　[∵04．如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于(　　)
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
B　[＝＋＋＝a＋(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c．]
5．下列命题中，正确命题的个数为(　　)
①若a∥b，则a与b方向相同或相反；
②若＝，则A，B，C，D四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
A　[当a，b中有零向量时，①不正确；＝时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确．]
二、填空题
6．在正四面体O?ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
a＋b＋c　[如图，＝(＋)＝＋×(＋)＝a＋b＋c．]
7．若(x－2a)－2＋3b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________．
a－b＋c　[据向量的加法、减法整理、运算可得x＝a－b＋c．]
8．在三棱锥A?BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简＋－－的结果为________．
0　[如图，延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋A＝＋＝，故＋－－＝0．]
三、解答题
9．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：＋＋＝0．
[证明]　设＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b，＝－c－a，＝－b＋c，
∴＋＋＝a＋b－c－a－b＋c＝0．
10．如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．
求证：＝(＋＋)．
[证明]　连接BG，延长后交CD于点E．
由G为△BCD的重心，得＝2．且CE＝ED，
∵－＝2(－)，
∴＝＋，＝，
∴＝＋(＋)＝(＋＋)．
能力过关
11．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a＝b成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|　　 B．a＝－b
C．a∥b D．a＝b
D　[由a＝b，得b＝2a，所以b＝(2a)＝(2a)＝a．故选D．]
12．在空间中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝(　　)
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
A　[∵＝2，∴－＝2(－)，
∴3＝2＋，
∴＝＋＝b＋c．]
13．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n．
AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．]
14．(一题两空)已知|a|＝5，a＝λb．
(1)若b与a的方向相同，且|b|＝7，则λ的值为________．
(2)若b与a的方向相反，且|b|＝7，则λ的值为________．
　－　[由于＝，所以当a，b同向时，所以a＝b；当a，b反向时，所以a＝－b．]
15．如图，四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？
[解]　∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋．
又＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－．
∴＝＋2＋＝2(＋＋)＝2，即＝2．
即与共线．

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