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基本计数原理的简单应用
一、选择题
1．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　)
A．30　　B．20　　C．10　　D．6
2．如图所示的几何体由三棱锥P?ABC与三棱柱ABC?A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有(　　)
A．6种　　B．9种　　C．12种　　D．36种
3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)
A．10 　　B．11　　 C．12 　　D．15
4．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)
A．24　　B．48　　C．72　　D．96
5．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法运算时各位均不进位(例如：2 019＋100＝2 119)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2 019的“简单的”有序对的个数是(　　)
A．100　　B．96　　C．60　　D．30
二、填空题
6．我们把中间数位上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是________．
7．某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为________．
8．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
三、解答题
9．(1)如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有多少种不同的涂法？
图①　　　　　　图②
(2)如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，共有多少种不同染色方法？
10．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的且比2 000大的四位偶数．
能力过关
11．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)
A．504　　B．210　　C．336　　D．120
12．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)
A．8种　　B．9种　　C．10种　　D．11种
13．(多选题)从0，1，2，3，4中选取四个数组成一个能被6整除的四位数，则(　　)
A．这个四位数个位上的数字为偶数，且各数位上的数字之和能被3整除　
B．个位上的数字为0的这样的四位数有12个
C．个位上的数字为2的这样的四位数有8个　
D．个位上的数字为4的这样的四位数有4个
14．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数有________种．
15．(一题两空)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
(1)5位回文数有________个；
(2)2n(n∈N＋)位回文数有________个．
一、选择题
1．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　)
A．30　　B．20　　C．10　　D．6
D　[从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2，0和4，2和4，共3种不同的取法；第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3，1和5，3和5，共3种不同的取法．由分类加法计数原理得，共有3＋3＝6种不同的取法．]
2．如图所示的几何体由三棱锥P?ABC与三棱柱ABC?A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有(　　)
A．6种　　B．9种　　C．12种　　D．36种
C　[先涂三棱锥P?ABC的三个侧面，有3×2×1种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有2×1×1种情况，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2×1×1＝12种不同的涂法．故选C．]
3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)
A．10 　　B．11　　 C．12 　　D．15
B　[分0个相同、1个相同、2个相同讨论．
(1)若0个相同，则信息为：1001．共1个．
(2)若1个相同，则信息为：0001，1101，1011，1000．共4个．
(3)若2个相同，又分为以下情况：
①若位置一与二相同，则信息为：0101；
②若位置一与三相同，则信息为：0011；
③若位置一与四相同，则信息为：0000；
④若位置二与三相同，则信息为：1111；
⑤若位置二与四相同，则信息为：1100；
⑥若位置三与四相同，则信息为：1010．
共有6个．
故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11．]
4．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)
A．24　　B．48　　C．72　　D．96
C　[分两种情况：
①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，各有4×3×2＝24种涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．故选C．]
5．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法运算时各位均不进位(例如：2 019＋100＝2 119)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2 019的“简单的”有序对的个数是(　　)
A．100　　B．96　　C．60　　D．30
C　[m＋n＝2 019且各位均不进位，从高位分步处理：千位有2＋0，1＋1，0＋2，共3种；百位有0＋0，共1种；十位有0＋1，1＋0，共2种；个位有0＋9，1＋8，2＋7，3＋6，4＋5，5＋4，6＋3，7＋2，8＋1，9＋0，共10种，由分步乘法计数原理可知，值为2 019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60．故选C．]
二、填空题
6．我们把中间数位上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是________．
20　[根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3，4，5，故分三类，第一类，当中间数字为“3”时，此时有2个(132，231)；第二类，当中间数字为“4”时，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6个；第三类，当中间数字为“5”时，则百位数字有三个选择，个位数字有四个选择，则“凸数”有4×3＝12个；根据分类加法计数原理，得到由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2＋6＋12＝20．]
7．某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为________．
18　[根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23－2＝6种情况，则他获得奖次的不同情形种数为3×6＝18．]
8．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
13　[当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1．
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2．
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13．]
三、解答题
9．(1)如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有多少种不同的涂法？
图①　　　　　　图②
(2)如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，共有多少种不同染色方法？
[解]　　(1)①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12种不同的涂法．
②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6种不同的涂法．
所以，根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18种不同的涂法．
(2)按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：
第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法．
第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法．
根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法．
10．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的且比2 000大的四位偶数．
[解]　完成这件事有3类方法：
第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48个；
第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36个；
第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其个数同第二类．
用分类加法计数原理，所求无重复数字的比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120个．
能力过关
11．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)
A．504　　B．210　　C．336　　D．120
A　[分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．
故共有7×8×9＝504种不同的插法．]
12．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)
A．8种　　B．9种　　C．10种　　D．11种
B　[法一：设四位监考教师分别为A、B、C、D，所教的班分别为a、b、c、d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c、d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9种．
法二：班级按a、b、c、d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：
∴共有9种不同的监考方法．]
13．(多选题)从0，1，2，3，4中选取四个数组成一个能被6整除的四位数，则(　　)
A．这个四位数个位上的数字为偶数，且各数位上的数字之和能被3整除　
B．个位上的数字为0的这样的四位数有12个
C．个位上的数字为2的这样的四位数有8个　
D．个位上的数字为4的这样的四位数有4个
ABCD　[A正确；
当个位上的数字为0时，其余三个数为1，2，3或2，3，4，所以这样的四位数有3×2×1×2＝12个，故B正确；
当个位上的数字为2时，其余三个数为0，1，3或0，3，4，所以这样的四位数有2×2×1×2＝8个，故C正确；
当个位上的数字为4时，其余三个数为0，2，3，所以这样的四位数有2×2×1＝4个，故D正确．]
14．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数有________种．
36　[因为4个同学总分为0，所以可分为三类：都选甲且两对两错共有6种；都选乙且两对两错有6种；两个选甲一对一错，另两个选乙也一对一错，有6×2×2＝24种．
由分类加法计数原理N＝6＋6＋24＝36种．]
15．(一题两空)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
(1)5位回文数有________个；
(2)2n(n∈N＋)位回文数有________个．
(1)900　(2)9×10n－1　[(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1种填法．]§2　排列问题

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