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离散型随机变量的分布列
一、选择题
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　B．[1，2]　　C．(1，2]　　D．(1，2)
2．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2<ξ≤4)等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝0)　　B．P(X≤2)　　C．P(X＝1)　　D．P(X＝2)
二、填空题
6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)等于________．
7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P
1－2q q2
则q等于________．
8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率为________．
三、解答题
9．某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X．
(1)求该选手得分不少于6分的概率；
(2)求X的分布列．
10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X＝i 1 2 3 4 5
P(X＝i) 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．
能力过关
11．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
12．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
m

则P(|X－3|＝1)＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
13．(多选题)如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是(　　)
A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数
B．ξ取所有可能值的概率之和为1
C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
14．(一题两空)随机变量η的分布列如下
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
15．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列．
一、选择题
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　B．[1，2]　　C．(1，2]　　D．(1，2)
C　[由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．]
2．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[X＝3第一种情况表示1个3，P1＝＝，第二种情况表示2个3，P2＝＝，所以P(X＝3)＝P1＋P2＝＋＝．故选D．]
3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2<ξ≤4)等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[2<ξ≤4时，ξ＝3，4．∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝．]
4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
B　[由分布列的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．]
5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝0)　　B．P(X≤2)　　C．P(X＝1)　　D．P(X＝2)
C　[CC表示从甲袋中取出的是白球，从乙袋中取出的是红球的方法数，CC表示从甲袋中取出的是红球，从乙袋中取出的是白球的方法数，恰好对应X＝1．]
二、填空题
6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)等于________．
0．3　[根据随机变量分布列的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X＞30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3．]
7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P
1－2q q2
则q等于________．
1－　[由分布列的性质知∴q＝1－．]
8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率为________．
0.6　[由概率和为1知，最后一位数字和必为零，
∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25．
∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6．]
三、解答题
9．某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X．
(1)求该选手得分不少于6分的概率；
(2)求X的分布列．
[解]　(1)P(X＝6)＝＝，P(X＝12)＝＝，
该选手得分不少于6分的概率为P＝P(X＝6)＋P(X＝12)＝．
(2)X的可能取值是0，3，6，12．
P(X＝3)＝＝，P(X＝0)＝1－－＝＝．
X的分布列为
X＝i 0 3 6 12
P(X＝i)



10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X＝i 1 2 3 4 5
P(X＝i) 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．
[解]　Y的可能取值为200元，250元，300元．
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2．
故Y的分布列为
Y＝i 200 250 300
P(Y＝i) 0.4 0.4 0.2
能力过关
11．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝．]
12．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
m

则P(|X－3|＝1)＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[根据分布列的性质得出：＋m＋＋＝1，所以m＝，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P



所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝．故选B．]
13．(多选题)如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是(　　)
A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数
B．ξ取所有可能值的概率之和为1
C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
ABC　[根据离散型随机变量的特点易知D是假命题．]
14．(一题两空)随机变量η的分布列如下
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
0　0.55　[由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0．故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55．]
15．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列．
[解]　(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．
(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，且P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝．
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P

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