资源简介 离散型随机变量的方差 一、选择题 1.若X是一个随机变量,则E(X-EX)的值为( ) A.无法求 B.0 C.EX D.2EX [∵EX是一个常数,∴E(X-EX)=EX-EX=0.] 2.已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则DX等于( ) A.0 B.0.8 C.2 D.1 3.若随机变量X的分布列为 X 0 1 P p q 其中p∈(0,1),则( ) A.EX=p,DX=p3 B.EX=p,DX=p2 C.EX=q,DX=q2 D.EX=1-p,DX=p-p2 4.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ、η,ξ和η的分布列如下: ξ 0 1 2 P η 0 1 2 P 甲、乙两名工人的技术水平较好的为( ) A.一样好 B.甲 C.乙 D.无法比较 5.若随机变量ξ的分布列为P( ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若Eξ=2,则Dξ的最小值等于( ) A.0 B.2 C.4 D.无法计算 二、填空题 6.随机变量ξ的分布列如下: ξ -1 0 1 P a b c 其中a+c=2b,若Eξ=,则Dξ=________. 7.若X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D等于________. 8.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为________. 三、解答题 9.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.2 求EX,DX,D(2X-3). 10.海关大楼顶端镶有A,B两面大钟,它们的日走时误差分别为X1,X2(单位:s),其分布列为: X1 -2 -1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量. 能力过关 11.已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若Eξ=,则Dξ=( ) A. B. C. D.1 12.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X,则( ) A.EX=1 DX=1 B.EX=2 DX=1 C.EX=1 DX=2 D.EX=2 DX=2 13.(多选题)已知X的分布列如下表所示: X -1 0 1 P 则下列式子中,正确的有( ) A.EX=- B.DX= C.E(2X)=- D.D(2X)= 14.(一题两空)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,则EX=________,DX=________. 15.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,. (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望. (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 一、选择题 1.若X是一个随机变量,则E(X-EX)的值为( ) A.无法求 B.0 C.EX D.2EX B [∵EX是一个常数,∴E(X-EX)=EX-EX=0.] 2.已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则DX等于( ) A.0 B.0.8 C.2 D.1 B [∵EX=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2, ∴DX=0.4×(1-2)2+0.2×(2-2)2+0.4×(3-2)2=0.8.] 3.若随机变量X的分布列为 X 0 1 P p q 其中p∈(0,1),则( ) A.EX=p,DX=p3 B.EX=p,DX=p2 C.EX=q,DX=q2 D.EX=1-p,DX=p-p2 D [由于p+q=1,所以q=1-p.从而EX=0×p+1×q=q=1-p, DX=[0-(1-p)]2p+[1-(1-p)]2q=(1-p)2p+p2(1-p)=p-p2.] 4.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ、η,ξ和η的分布列如下: ξ 0 1 2 P η 0 1 2 P 甲、乙两名工人的技术水平较好的为( ) A.一样好 B.甲 C.乙 D.无法比较 C [工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为: Eξ=0×+1×+2×=0.7,Dξ=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.81. 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为: Eη=0×+1×+2×=0.7,Dη=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.61. 由Eξ=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dξ>Dη,可见乙的技术比较稳定.] 5.若随机变量ξ的分布列为P( ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若Eξ=2,则Dξ的最小值等于( ) A.0 B.2 C.4 D.无法计算 A [在分布列中概率的和为1,则a+=1,a=. ∵Eξ=2,∴+=2.∴m=6-2n. ∴Dξ=×(m-2)2+×(n-2)2=×(n-2)2+×(6-2n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2. ∴n=2时,Dξ取最小值0.] 二、填空题 6.随机变量ξ的分布列如下: ξ -1 0 1 P a b c 其中a+c=2b,若Eξ=,则Dξ=________. [由题意得2b=a+c①,a+b+c=1②,c-a=③,以上三式联立解得a=,b=,c=,故Dξ=.] 7.若X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D等于________. [∵EX=1×+2×+3×+4×=, ∴DX=×+×+×+× =, ∴D=DX=.] 8.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为________. [X的分布列为 X 1 3 5 P 则Eξ=1×+3×+5×=,Dξ=.] 三、解答题 9.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.2 求EX,DX,D(2X-3). [解] ∵0.2+0.3+a+0.2=1,∴a=0.3. ∴EX=0×0.2+1×0.3+2×0.3+3×0.2=1.5. ∴DX=(0-1.5)2×0.2+(1-1.5)2×0.3+(2-1.5)2×0.3+(3-1.5)2×0.2=1.05. ∴D(2X-3)=4DX=4.2. 10.海关大楼顶端镶有A,B两面大钟,它们的日走时误差分别为X1,X2(单位:s),其分布列为: X1 -2 -1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量. [解] ∵EX1=0,EX2=0,∴EX1=EX2. 又∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+02×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5, DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+02×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2, ∴DX1∴大钟A的质量较好. 能力过关 11.已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若Eξ=,则Dξ=( ) A. B. C. D.1 A [由分布列性质,得x+y=0.5. 又Eξ=,得2x+3y=,可得 Dξ=×+×+×=.] 12.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X,则( ) A.EX=1 DX=1 B.EX=2 DX=1 C.EX=1 DX=2 D.EX=2 DX=2 A [X的所有可能取值为0,1,3, X=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,所以P(X=0)==; X=1表示三位同学只有1位同学坐对了,所以P(X=1)==; X=3表示三位学生全坐对了,只有1种情况,所以P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 3 P 所以EX=0×+1×+3×=1,DX=×(0-1)2+×(1-1)2+×(3-1)2=1.] 13.(多选题)已知X的分布列如下表所示: X -1 0 1 P 则下列式子中,正确的有( ) A.EX=- B.DX= C.E(2X)=- D.D(2X)= ABC [由均值与方差的定义知, EX=(-1)×+0×+1×=-+=-, DX=×+×+×=, 所以E(2X)=2EX=-,D(2X)=4DX=. 故ABC正确.] 14.(一题两空)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,则EX=________,DX=________. [因为X的取值为0,1, P(X=0)=×=,P(X=1)=1-=, 所以EX=0×+1×=,DX=×+×=.] 15.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,. (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望. (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. [解] (1)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=××=, P(X=1)=××+××+××=, P(X=2)=××+××+××=, P(X=3)=××=. 所以,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) =×+×=. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 展开更多...... 收起↑ 资源预览