6.3.2离散型随机变量的方差(习题)-2021-2022学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册(Word含答案解析)

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6.3.2离散型随机变量的方差(习题)-2021-2022学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册(Word含答案解析)

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离散型随机变量的方差
一、选择题
1.若X是一个随机变量,则E(X-EX)的值为(  )
A.无法求  B.0    C.EX    D.2EX
 [∵EX是一个常数,∴E(X-EX)=EX-EX=0.]
2.已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则DX等于(  )
A.0  B.0.8  C.2  D.1
3.若随机变量X的分布列为
X 0 1
P p q
其中p∈(0,1),则(  )
A.EX=p,DX=p3 B.EX=p,DX=p2
C.EX=q,DX=q2 D.EX=1-p,DX=p-p2
4.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ、η,ξ和η的分布列如下:
ξ 0 1 2
P


η 0 1 2
P


甲、乙两名工人的技术水平较好的为(  )
A.一样好  B.甲  C.乙  D.无法比较
5.若随机变量ξ的分布列为P( ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若Eξ=2,则Dξ的最小值等于(  )
A.0  B.2  C.4  D.无法计算
二、填空题
6.随机变量ξ的分布列如下:
ξ -1 0 1
P a b c
其中a+c=2b,若Eξ=,则Dξ=________.
7.若X的分布列为
X 1 2 3 4
P



则D等于________.
8.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为________.
三、解答题
9.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 a 0.2
求EX,DX,D(2X-3).
10.海关大楼顶端镶有A,B两面大钟,它们的日走时误差分别为X1,X2(单位:s),其分布列为:
X1 -2 -1 0 1 2
P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05
X2 -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.
能力过关
11.已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若Eξ=,则Dξ=(  )
A.  B.  C.  D.1
12.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X,则(  )
A.EX=1 DX=1 B.EX=2  DX=1
C.EX=1 DX=2 D.EX=2 DX=2
13.(多选题)已知X的分布列如下表所示:
X -1 0 1
P


则下列式子中,正确的有(  )
A.EX=- B.DX=
C.E(2X)=- D.D(2X)=
14.(一题两空)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,则EX=________,DX=________.
15.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
一、选择题
1.若X是一个随机变量,则E(X-EX)的值为(  )
A.无法求  B.0    C.EX    D.2EX
B [∵EX是一个常数,∴E(X-EX)=EX-EX=0.]
2.已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则DX等于(  )
A.0  B.0.8  C.2  D.1
B [∵EX=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2,
∴DX=0.4×(1-2)2+0.2×(2-2)2+0.4×(3-2)2=0.8.]
3.若随机变量X的分布列为
X 0 1
P p q
其中p∈(0,1),则(  )
A.EX=p,DX=p3 B.EX=p,DX=p2
C.EX=q,DX=q2 D.EX=1-p,DX=p-p2
D [由于p+q=1,所以q=1-p.从而EX=0×p+1×q=q=1-p,
DX=[0-(1-p)]2p+[1-(1-p)]2q=(1-p)2p+p2(1-p)=p-p2.]
4.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ、η,ξ和η的分布列如下:
ξ 0 1 2
P


η 0 1 2
P


甲、乙两名工人的技术水平较好的为(  )
A.一样好  B.甲  C.乙  D.无法比较
C [工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为:
Eξ=0×+1×+2×=0.7,Dξ=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.81.
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:
Eη=0×+1×+2×=0.7,Dη=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.61.
由Eξ=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dξ>Dη,可见乙的技术比较稳定.]
5.若随机变量ξ的分布列为P( ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若Eξ=2,则Dξ的最小值等于(  )
A.0  B.2  C.4  D.无法计算
A [在分布列中概率的和为1,则a+=1,a=.
∵Eξ=2,∴+=2.∴m=6-2n.
∴Dξ=×(m-2)2+×(n-2)2=×(n-2)2+×(6-2n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2.
∴n=2时,Dξ取最小值0.]
二、填空题
6.随机变量ξ的分布列如下:
ξ -1 0 1
P a b c
其中a+c=2b,若Eξ=,则Dξ=________.
 [由题意得2b=a+c①,a+b+c=1②,c-a=③,以上三式联立解得a=,b=,c=,故Dξ=.]
7.若X的分布列为
X 1 2 3 4
P



则D等于________.
 [∵EX=1×+2×+3×+4×=,
∴DX=×+×+×+× =,
∴D=DX=.]
8.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为________.
 [X的分布列为
X 1 3 5
P


则Eξ=1×+3×+5×=,Dξ=.]
三、解答题
9.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 a 0.2
求EX,DX,D(2X-3).
[解] ∵0.2+0.3+a+0.2=1,∴a=0.3.
∴EX=0×0.2+1×0.3+2×0.3+3×0.2=1.5.
∴DX=(0-1.5)2×0.2+(1-1.5)2×0.3+(2-1.5)2×0.3+(3-1.5)2×0.2=1.05.
∴D(2X-3)=4DX=4.2.
10.海关大楼顶端镶有A,B两面大钟,它们的日走时误差分别为X1,X2(单位:s),其分布列为:
X1 -2 -1 0 1 2
P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05
X2 -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.
[解] ∵EX1=0,EX2=0,∴EX1=EX2.
又∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+02×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5,
DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+02×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2,
∴DX1∴大钟A的质量较好.
能力过关
11.已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若Eξ=,则Dξ=(  )
A.  B.  C.  D.1
A [由分布列性质,得x+y=0.5.
又Eξ=,得2x+3y=,可得
Dξ=×+×+×=.]
12.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X,则(  )
A.EX=1 DX=1 B.EX=2  DX=1
C.EX=1 DX=2 D.EX=2 DX=2
A [X的所有可能取值为0,1,3,
X=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,所以P(X=0)==;
X=1表示三位同学只有1位同学坐对了,所以P(X=1)==;
X=3表示三位学生全坐对了,只有1种情况,所以P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 3
P


所以EX=0×+1×+3×=1,DX=×(0-1)2+×(1-1)2+×(3-1)2=1.]
13.(多选题)已知X的分布列如下表所示:
X -1 0 1
P


则下列式子中,正确的有(  )
A.EX=- B.DX=
C.E(2X)=- D.D(2X)=
ABC [由均值与方差的定义知,
EX=(-1)×+0×+1×=-+=-,
DX=×+×+×=,
所以E(2X)=2EX=-,D(2X)=4DX=.
故ABC正确.]
14.(一题两空)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,则EX=________,DX=________.
  [因为X的取值为0,1,
P(X=0)=×=,P(X=1)=1-=,
所以EX=0×+1×=,DX=×+×=.]
15.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
[解] (1)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××=,
P(X=3)=××=.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P



随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
=×+×=.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

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