6.5 正态分布(习题)-2021-2022学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册(Word含答案解析)

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6.5 正态分布(习题)-2021-2022学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册(Word含答案解析)

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正态分布
一、选择题
1.设两个正态分布N(μ,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(  )
A.μ1<μ2,σ1<σ2   B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
2.如果随机变量X~N(μ,σ2),且EX=3,DX=1,则P(0A.0.021 5  B.0.723  C.0.215  D.0.64
3.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)等于(  )
A.0.025  B.0.050  C.0.950  D.0.975
4.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<3-c),则c等于(  )
A.1  B.2  C.3  D.4
5.某厂生产的零件直径ξ~N(10,0.22),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm,则可认为(  )
A.上午生产情况未见异常,下午生产情况出现了异常
B.上午生产情况出现了异常,而下午生产情况正常
C.上、下午生产情况均是正常
D.上、下午生产情况均出现了异常
二、填空题
6.设X~N(0,1),且P(X≤1.623)=p,那么P(x>1.623)的值是________.
7.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值为________.
8.已知正态分布总体落在区间(0.2,+∞)的概率为0.5,那么相应的正态曲线φμ,σ(x)在x=________时达到最高点.
三、解答题
9.设X~N(2,4),试求下列概率:
(1)P(210.某地区数学考试的成绩X服从正态分布,其分布密度函数图象如下图所示,成绩X位于区间(52,68)的概率是多少?
能力过关
11.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)=(  )
A.    B.    C.    D.
12.正态分布N1(μ1,σ),N2(μ2,σ),N3(μ3,σ)(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示,则下列说法正确的是(  )
①N1(μ1,σ)  ②N2(μ2,σ)  ③N3(μ3,σ)
A.μ1最大,σ1最大 B.μ3最大,σ3最大
C.μ1最大,σ3最大 D.μ3最大,σ1最大
13.(多选题)把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法正确的是(  )
A.曲线C2仍是正态曲线
B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2
D.以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2
14.(一题两空)若随机变量ξ~N(2,σ2),且P(ξ>3)=0.158 7,则P(ξ>2)=________;P(ξ>1)=________.
15.某投资商制定了两个投资方案,准备选择其中一个.已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大,他应该选择哪一个方案?
一、选择题
1.设两个正态分布N(μ,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(  )
A.μ1<μ2,σ1<σ2   B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
A [曲线y=f(x)关于直线x=μ对称,显然μ1<μ2,σ越大曲线越“矮胖”,反之,σ越小,曲线越“高瘦”,故σ1<σ2.]
2.如果随机变量X~N(μ,σ2),且EX=3,DX=1,则P(0A.0.021 5  B.0.723  C.0.215  D.0.64
A [由EX=μ=3,DX=σ2=1,∴X~N(3,1),
又P(μ-3σ∴P(03.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)等于(  )
A.0.025  B.0.050  C.0.950  D.0.975
C [∵ξ~N(0,1),∴P(ξ<-1.96)=P(ξ>1.96)=0.025.
∴P(|ξ|<1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-0.050=0.950.]
4.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<3-c),则c等于(  )
A.1  B.2  C.3  D.4
B [∵ξ~N(2,9),P(ξ>c+1)=P(ξ<3-c).又∵P(ξ>c+1)=P(ξ5.某厂生产的零件直径ξ~N(10,0.22),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm,则可认为(  )
A.上午生产情况未见异常,下午生产情况出现了异常
B.上午生产情况出现了异常,而下午生产情况正常
C.上、下午生产情况均是正常
D.上、下午生产情况均出现了异常
A [3σ原则:(10-3×0.2,10+3×0.2),即(9.4,10.6),9.9∈(9.4,10.6),9.3?(9.4,10.6),所以,上午生产情况未见异常,下午生产情况出现了异常.]
二、填空题
6.设X~N(0,1),且P(X≤1.623)=p,那么P(x>1.623)的值是________.
1-p [∵X~N(0,1),∴μ=0,∴P(x>1.623)=1-P(X≤1.623)=1-p.]
7.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值为________.
1 [区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线x=1对称,所以均值μ为1.]
8.已知正态分布总体落在区间(0.2,+∞)的概率为0.5,那么相应的正态曲线φμ,σ(x)在x=________时达到最高点.
0.2 [由已知P(X>0.2)=P(X≤0.2)=0.5,
所以,正态曲线关于x=0.2对称.由正态曲线性质得x=μ=0.2时达到最高点.]
三、解答题
9.设X~N(2,4),试求下列概率:
(1)P(2[解] (1)P(2(2)P(-210.某地区数学考试的成绩X服从正态分布,其分布密度函数图象如下图所示,成绩X位于区间(52,68)的概率是多少?
[解] 设成绩X~N(μ,σ2),则正态分布密度函数f(x)=e).
由题图可知参数μ=60,=,即σ=8,
∴P(52能力过关
11.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)=(  )
A.    B.    C.    D.
[答案] D
12.正态分布N1(μ1,σ),N2(μ2,σ),N3(μ3,σ)(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示,则下列说法正确的是(  )
①N1(μ1,σ)  ②N2(μ2,σ)  ③N3(μ3,σ)
A.μ1最大,σ1最大 B.μ3最大,σ3最大
C.μ1最大,σ3最大 D.μ3最大,σ1最大
D [在正态曲线N(μ,σ2)中,x=μ为正态曲线的对称轴,结合图象可知,μ3最大;又参数σ确定了曲线的形式:σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“瘦高”.故由图象知σ1最大.故选D.]
13.(多选题)把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法正确的是(  )
A.曲线C2仍是正态曲线
B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2
D.以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2
ABD [正态密度函数为f(x)=e),正态曲线对称轴x=μ,曲线最高点的纵坐标为f(μ)=.所以曲线C1向右平移2个单位后,曲线形状没变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标f(μ)没变,从而σ没变,所以方差没变,而平移前后对称轴变了,即μ变了,因为曲线向右平移2个单位,所以期望值μ增大了2个单位.]
14.(一题两空)若随机变量ξ~N(2,σ2),且P(ξ>3)=0.158 7,则P(ξ>2)=________;P(ξ>1)=________.
0.5 0.841 3 [∵随机变量ξ~N(2,σ2),∴正态曲线关于x=2对称,∴P(ξ>2)=0.5;∵P(ξ>3)=0.158 7,∴P(ξ>1)=P(ξ<3)=1-0.158 7=0.841 3.]
15.某投资商制定了两个投资方案,准备选择其中一个.已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大,他应该选择哪一个方案?
[解] ①当选择X~N(8,32)的方案时,则有μ=8,σ=3.
∴P(8-3∴P(X>5)=+P(5即选择X~N(8,32)的方案时,利润超过5万元的概率为0.841 5.
②当选择X~N(7,12)的方案时,则有μ′=7,σ′=1.
∴P(7-2×1∴P(X>5)=+P(5即选择X~N(7,12)的方案时,利润超过5万元的概率为0.977.
综上可得,选择X~N(7,12)的方案时,利润超过5万元的概率大,即投资商应选X~N(7,12)方案.

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