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独立性检验问题
一、选择题
1．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中正确的是(　　)
A．若随机变量χ2>6.635，我们有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
B．若从统计量中求出有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99人患有肺病
C．若从统计量中求出有95%以上的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误
D．以上说法均错误
2．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
总计

105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
3．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”(　　)
A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710
C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014
4．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(　　)
A．独立性检验依据小概率原理
B．独立性检验得到的结论一定正确
C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D．独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法
5．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于95%，则c等于(　　)
A．3　　B．7　　C．5　　D．6
二、填空题
6．为了了解长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空．
　　　　头晕情况 发型　　　　 经常头晕 很少头晕 总计
长发 35 ① 121
短发 37 143 ②
总计 72 ③ ④
则空格中的数据应分别为：①________；②________；③________；④________．
7．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是________．
8．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其列联表为：
　　　Y X　　　 y1 y3 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是________(填序号)．
①ad≈bc；②≈；③a＋b≈c＋d；④a＋c≈b＋d；⑤≈0．
三、解答题
9．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图．
25周岁以上组
25周岁以下组
规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
10．为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上的20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人，每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人．
(1)根据以上数据建立两个分类变量的列联表；
(2)试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互独立？
能力过关
11．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1 y2
x1 10 18
x2 m 26
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱(　　)
A．8　　B．9　　C．14　　D．19
12．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20
B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20
C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50
D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40
13．(多选题)根据下面的2×2列联表得到如下判断，则正确的选项是(　　)
嗜酒 不嗜酒 总计
患肝病 700 60 760
未患肝病 200 32 232
总计 900 92 992
A．至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”
B．至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒无关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”
14．(一题两空)某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：
　　　　专业 性别　　　 非统计专业 统计专业
男 33 20
女 17 26
则χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．
15．中国调查网有一项关于午休问题的调查，其结果如下：(单位：人)
　　　　　性别 对午休的看法　　 男 女 总计
有用 50 214 264
无用 113 ① 182
合计 163 283 ②
(1)将题表补充完整，应填入的数据是多少？
(2)试分析性别与对午睡的看法是否有关？
(3)请再列举一些可能与对午睡看法有关的分类变量．(至少两个)
一、选择题
1．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中正确的是(　　)
A．若随机变量χ2>6.635，我们有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
B．若从统计量中求出有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99人患有肺病
C．若从统计量中求出有95%以上的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误
D．以上说法均错误
C　[由随机变量χ2的意义可知答案C正确．]
2．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
总计

105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
C　[由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确．]
3．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”(　　)
A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710
C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014
D　[∵5.014>3.841，故D正确．]
4．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(　　)
A．独立性检验依据小概率原理
B．独立性检验得到的结论一定正确
C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D．独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法
B　[独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A与B可能有关，也可能无关．]
5．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于95%，则c等于(　　)
A．3　　B．7　　C．5　　D．6
A　[列2×2列联表如下：
x1 x2 总计
y1 10 21 31
y2 c d 35
总计 10＋c 21＋d 66
故χ2＝≥3.841．
把选项A，B，C，D代入验证可知选A．]
二、填空题
6．为了了解长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空．
　　　　头晕情况 发型　　　　 经常头晕 很少头晕 总计
长发 35 ① 121
短发 37 143 ②
总计 72 ③ ④
则空格中的数据应分别为：①________；②________；③________；④________．
86　180　229　301　[最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的总计是相应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得③④．]
7．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是________．
男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数　[由研究的问题可知，需收集的数据应为男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数．]
8．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其列联表为：
　　　Y X　　　 y1 y3 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是________(填序号)．
①ad≈bc；②≈；③a＋b≈c＋d；④a＋c≈b＋d；⑤≈0．
①②⑤　[因为分类变量X，Y独立，所以≈，化简得ad≈bc，所以①②⑤正确，③④显然不正确．]
三、解答题
9．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图．
25周岁以上组
25周岁以下组
规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
[解]　由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手 非生产能手 合计
25 周岁以上组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
所以得χ2＝
＝＝≈1.79．
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
10．为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上的20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人，每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人．
(1)根据以上数据建立两个分类变量的列联表；
(2)试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互独立？
[解]　(1)根据已知数据建立的列联表如下：
　　　　患病情况 吸烟情况　　　　 患病者 未患病者 总计
10支以上20支以下 98 89 187
20支以上 25 16 41
总计 123 105 228
(2)χ2＝
＝≈0.994，
因为χ2≈0.994<2.706，
所以我们没有充分证据判定患慢性气管炎与吸烟量有关，即可以认为患慢性气管炎与吸烟量相互独立．
能力过关
11．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1 y2
x1 10 18
x2 m 26
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱(　　)
A．8　　B．9　　C．14　　D．19
C　[由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．]
12．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20
B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20
C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50
D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40
D　[当(ad－bc)2的值越大，随机变量χ2＝的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)2的值最大．]
13．(多选题)根据下面的2×2列联表得到如下判断，则正确的选项是(　　)
嗜酒 不嗜酒 总计
患肝病 700 60 760
未患肝病 200 32 232
总计 900 92 992
A．至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”
B．至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒无关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”
AC　[由2×2列联表中数据可求得χ2的观测值
χ2＝≈7.349>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”．因此AC正确．]
14．(一题两空)某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：
　　　　专业 性别　　　 非统计专业 统计专业
男 33 20
女 17 26
则χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．
4.914　95%　[依题意知：χ2＝≈4.914，
∵4.914>3.841，∴有95%的把握判定主修统计专业与性别有关．]
15．中国调查网有一项关于午休问题的调查，其结果如下：(单位：人)
　　　　　性别 对午休的看法　　 男 女 总计
有用 50 214 264
无用 113 ① 182
合计 163 283 ②
(1)将题表补充完整，应填入的数据是多少？
(2)试分析性别与对午睡的看法是否有关？
(3)请再列举一些可能与对午睡看法有关的分类变量．(至少两个)
[解]　(1)①＝283－214＝69，②＝264＋182＝446，∴①填69，②填446．
(2)∵χ2＝≈86.490>6.635，
∴至少有99%的把握认为性别与对午睡的看法有关．
(3)年龄、职业、季节等．

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