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圆锥曲线
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，AB是过椭圆焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)
A．20　　B．12　　C．10　　D．6
3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
4．双曲线－y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±，0)　　B．(0，±)　　C．(±，0)　　D．(0，±)
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)
A．直线　　B．抛物线　　C．双曲线　　D．圆
6．方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为(　　)
A．抛物线　　B．椭圆　　C．双曲线　　D．圆
7．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　)
A．3　　B．4　　C．3　　D．4
8．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x－y＋c＝0相切于点N，设l与C交点为P，Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．2
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值可以是(　　)
A．3　　B．　　C．　　D．
10．下列关于二次曲线－＝1与＋＝1的说法正确的是(　　)
A．当0B．当k<0时，它们都是椭圆
C．当0D．当k<0时，它们的焦点相同
11．抛物线y＝－x2的准线方程是(　　)
A．其焦点坐标是
B．其焦点坐标是
C．其准线方程是y＝2
D．其准线方程是y＝
12．双曲线－＝1的离心率为e1，双曲线－＝1的离心率为e2，则e1＋e2的值不可能是(　　)
A．3　　B．2　　C．　　D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为________．
14．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
15．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为________．
16．(一题两空)在平面直角坐标系xOy中，已知点A和C，点B在椭圆＋＝1上，则＝________，的最小值是________．
四、解答题(本大题6小题， 共70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，且过点P，求这个椭圆的方程．
18．(本小题满分12分)讨论直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1的公共点的个数．
19．(本小题满分12分)已知过点(2，0)的动直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得·＋2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值；
21．(本小题满分12分)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
22．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px经过点P．过点Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
B　[右焦点F(1，0)，∴d＝．]
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，AB是过椭圆焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)
A．20　　B．12　　C．10　　D．6
A　[由椭圆的定义知：△ABF2的周长为4×5＝20．]
3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
A　[∵m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．]
4．双曲线－y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±，0)　　B．(0，±)　　C．(±，0)　　D．(0，±)
C　[依题意a＝2，b＝1，所以c ＝ ＝ ，又因为双曲线－y2＝1的焦点在x轴上，所以，其焦点坐标为．]
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)
A．直线　　B．抛物线　　C．双曲线　　D．圆
B　[易知点P到直线C1D1的距离为PC1．由C1是定点， BC是定直线．据题意，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离．由抛物线的定义，知轨迹为抛物线．故选B．]
6．方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为(　　)
A．抛物线　　B．椭圆　　C．双曲线　　D．圆
A　[由已知得 ＝，根据抛物线的定义，方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为抛物线．]
7．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　)
A．3　　B．4　　C．3　　D．4
C　[设直线AB的方程为y＝x＋b，A，B
由，得x2＋x＋b－3＝0，
所以x1＋x2＝－1，
所以AB的中点M(－，－＋b)，
又由M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，
∴x2＋x－2＝0，
由弦长公式可求出＝＝3．]
8．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x－y＋c＝0相切于点N，设l与C交点为P，Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．2
C　[由直线方程可得直线l：x－y＋c＝0过双曲线的左焦点，倾斜角为30°，直线与圆相切，
则AN⊥l，即△ANF1是直角三角形，又AF1＝a＋c，可得yN＝(a＋c)，
联立直线l：x－y＋c＝0与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的方程可得
(3b2－a2)y2－2b2cy＋b2c2－b2a2＝0，
则yN＝＝，
因此(a＋c)＝，结合b2＝c2－a2，整理可得c3－3ac2＋4a3＝0，
因此关于离心率的方程为e3－3e2＋4＝0，即(e＋1)(e－2)2＝0，
∵双曲线中e＞1，∴e＝2．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值可以是(　　)
A．3　　B．　　C．　　D．
AB　[当焦点在x轴上时，由＝，得m＝3；当焦点在y轴上时，由＝，得m＝．]
10．下列关于二次曲线－＝1与＋＝1的说法正确的是(　　)
A．当0B．当k<0时，它们都是椭圆
C．当0D．当k<0时，它们的焦点相同
ABC　[当0又因为c2＝a2＋b2＝3，
所以，两曲线焦点不同，但焦距相等．
当k<0时，－k>0且3－k>－k，所以＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
又因为c2＝a2－b2＝(3－k)－(－k)＝3，
所以，两曲线焦点不同，但焦距相等．]
11．抛物线y＝－x2的准线方程是(　　)
A．其焦点坐标是
B．其焦点坐标是
C．其准线方程是y＝2
D．其准线方程是y＝
AC　[由y＝－x2，得x2＝－8y，故准线方程为y＝2，其焦点坐标是(0，－2)．]
12．双曲线－＝1的离心率为e1，双曲线－＝1的离心率为e2，则e1＋e2的值不可能是(　　)
A．3　　B．2　　C．　　D．
CD　[(e1＋e2)2＝e＋e＋2e1e2 ＝＋＋2××＝2＋＋＋2(＋)≥2＋2＋2×2＝8．当且仅当a＝b时取等号．故选CD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为________．
e1同理可得114．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
　[由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为(4，±)．易求它到中心的距离为．]
15．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为________．
2　[设抛物线方程为x2＝－2py，由题意知，抛物线过点，
∴4＝2p×2．∴p＝1，∴x2＝－2y．
当y0＝－3时，得x＝6．
∴水面宽为2|x0|＝2．]
16．(一题两空)在平面直角坐标系xOy中，已知点A和C，点B在椭圆＋＝1上，则＝________，的最小值是________．
　2　[由已知得，点A，C为椭圆＋＝1的焦点，
由正弦定理得，＝＝＝，
的最小值是a－c＝5－3＝2．]
四、解答题(本大题6小题， 共70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，且过点P，求这个椭圆的方程．
[解]　 ∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上且过点P，
∴b＝，又e＝，
∴e2＝＝＝，
∴a2＝9，
故这个椭圆方程是＋＝1．
18．(本小题满分12分)讨论直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1的公共点的个数．
[解]　联立直线和双曲线方程得
消去y得(1－k2)x2－2kx－2＝0．
当1－k2＝0，即k＝±1时，x＝±1．
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2．
由Δ>0得－由Δ＝0得k＝±；
由Δ<0得k<－或k>．
所以当k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)时，直线l与双曲线C相交于两点；
当k＝±时，直线l与双曲线C相切于一点；
当k＝±1时，直线l与双曲线C相交于一点；
当k∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，直线l与双曲线C没有公共点，直线l与双曲线C相离．
19．(本小题满分12分)已知过点(2，0)的动直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得·＋2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
[解]　当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－2)，
由 消去y得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝，
根据题意，假设x轴上存在定点D(m，0)，
使得·＋2＝·(－)＝·为定值，
则有·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)
＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)
＝(k2＋1)·－(2k2＋m)·＋(4k2＋m2)
＝，
要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
即m＝，此时·＝m2－6＝－为常数，定点D的坐标为．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，易求得直线l与椭圆C的两个交点坐标分别为，，
此时·＝·＝－．
综上所述，存在定点D，使得·＋2为定值－．
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值；
[解]　(1)设P，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－．
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0．
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±．
21．(本小题满分12分)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
[解]　(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，则＝，解得a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1．
(2)设点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝．
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝．
由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
22．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px经过点P．过点Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．
[解]　(1)因为抛物线y2＝2px经过点P，
所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3．
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，
直线PA的方程为y－2＝(x－1)．
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2．
同理得点N的纵坐标为yN＝＋2．
由＝λ，＝μ得，λ＝1－yM，μ＝1－yN．
所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2．
所以＋为定值．

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