资源简介

空间向量与立体几何
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(2，－3，5)与向量b＝(－4，x，y)平行，则x，y的值分别是(　　)
A．6和－10　　　　 B．－6和10
C．－6和－10　　　 D．6和－10
2．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(　　)
A．若a∥n，则a∥α
B．若a⊥n，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥α
D．若a⊥n，则a∥α
3．平面α的一个法向量n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)
A．　 　　B．　 　　C．　 　　D．
4．平行六面体ABCD?A1B1C1D1，向量，，两两的夹角均为60°，且＝1，＝2，＝3，则等于(　　)
A．5　　　　　B．6　　　　　C．4　　　　　D．8
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)
A．　　　B．　　C．　　D．
6．如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
7．正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A．　　　　　B．　　C．　　D．
8．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝，则CP的最小值为(　　)
A．－2 B．－3
C．－2 D．－3
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是(　　)
A．(0，0，－3)　　　 B．(0，0，3)
C．(0，0，)　　　 D．(0，0，－)
10．如图，在正三棱锥P?ABC中，D是侧棱PA的中点，O是底面ABC的中心，则下列四个结论中，对任意正三棱锥P?ABC，不成立的是(　　)
A．OD∥平面PBC B．OD⊥PA
C．OD⊥AC D．PA＝2OD
11．下列结论不正确的是(　　)
A．两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等．
B．直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．
C．二面角的大小一定等于该二面角两个面的法向量的夹角．
D．若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°．
12．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量
D．∥
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，若|c－a|＝2，则x＝________；若(c－a)⊥(2b)，则x＝________．(本题第一空3分，第二空2分)
14．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．
15．平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则平面α与x轴的交点坐标是________．
16．已知三棱锥P?ABC各顶点的坐标分别是P(－1，0，0)，A(0，1，0)，B(－4，0，0)，C(0，0，2)，则该三棱锥底面ABC上的高h＝________．
三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°．
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
18．(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
(1)证明：AD⊥D1F；
(2)求AE与D1F所成的角；
(3)证明：平面AED⊥平面A1FD1．
19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE．
20．(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C?PB?A的余弦值．
21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A?A1B?C的余弦值．
22．(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
(1)求证：BD⊥FG；
(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
(3)当二面角B?PC?D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(2，－3，5)与向量b＝(－4，x，y)平行，则x，y的值分别是(　　)
A．6和－10　　　　 B．－6和10
C．－6和－10　　　 D．6和－10
A　[由a∥b，得＝＝，∴x＝6，y＝－10．]
2．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(　　)
A．若a∥n，则a∥α
B．若a⊥n，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥α
D．若a⊥n，则a∥α
C　[由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C，对于选项D，直线a在平面α内，也满足a⊥n．]
3．平面α的一个法向量n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)
A．　 　　B．　 　　C．　 　　D．
B　[y轴的方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角是．]
4．平行六面体ABCD?A1B1C1D1，向量，，两两的夹角均为60°，且＝1，＝2，＝3，则等于(　　)
A．5　　　　　B．6　　　　　C．4　　　　　D．8
A　[设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此＝5．]
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)
A．　　　B．　　C．　　D．
D　[∵a，b不共线，∴存在x，y，使c＝xa＋yb．
∴解得λ＝．]
6．如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
A　[如图，以D为原点，DA、DC分别为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，设M(x，y，0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a，0)，则|MC|＝，|MP|＝．由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线y＝x．]
7．正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A．　　　　　B．　　C．　　D．
B　[设正方体棱长2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝．]
8．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝，则CP的最小值为(　　)
A．－2 B．－3
C．－2 D．－3
A　[法一：作HP⊥BB1于G(图略)，则B1G＝1，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝－2．
法二：分别以CD，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则H，设P，由HP＝，得＝，所以(y－3) 2＋(z－2) 2＝4，所以CP的最小值为－2＝－2．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是(　　)
A．(0，0，－3)　　　 B．(0，0，3)
C．(0，0，)　　　 D．(0，0，－)
AB　[设M(0，0，z)，直线的一个单位方向向量s0＝，故点M到直线l的距离d＝＝＝，解得z＝±3．]
10．如图，在正三棱锥P?ABC中，D是侧棱PA的中点，O是底面ABC的中心，则下列四个结论中，对任意正三棱锥P?ABC，不成立的是(　　)
A．OD∥平面PBC B．OD⊥PA
C．OD⊥AC D．PA＝2OD
AB　[取BC中点M，连接AM，PM，则O∈AM，
∵AO＝2OM，∴OD与PM不平行，
∴OD∥平面PBC不成立，即A不成立；
连接OP，
∵OA≠OP，D为PA中点，
∴OD⊥PA不成立，即B不成立；
∵P?ABC为正三棱锥，∴BC⊥PM．
BC⊥AM，∴BC⊥平面APM，
∴OD⊥BC，即C成立；
∵PO垂直于平面ABC，OA属于平面ABC，
∴PO垂直于OA，∴三角形AOP为直角三角形．
∵D为AP的中点，∴PA＝2OD．
即D成立．故选AB．]
11．下列结论不正确的是(　　)
A．两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等．
B．直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．
C．二面角的大小一定等于该二面角两个面的法向量的夹角．
D．若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°．
[答案]　ABC
12．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量
D．∥
ABC　[∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则选项A和B都正确；又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，故C正确；∵＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴与不平行，故D错误．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，若|c－a|＝2，则x＝________；若(c－a)⊥(2b)，则x＝________．(本题第一空3分，第二空2分)
－1或3　 1　[∵c＝(1，1，1)，a＝(1，1，x)，∴c－a＝(0，0，1－x)，
由|c－a|＝2，得＝2，∴x＝－1或3；
当(c－a)⊥(2b)时，∴(c－a)·(2b)＝(0，0，1－x)(2，4，2)＝2(1－x)＝0，∴x＝1．]
14．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．
30°　[由题设，l与α所成的角θ＝90°－(180°－120°)＝30°．]
15．平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则平面α与x轴的交点坐标是________．
(－2，0，0)　[设平面α与x轴的交点为M(x，0，0)，则＝(x，0，－2)，
又平面α的一个单位法向量是n0＝，
所以点M到平面α的距离d＝|·n0|＝＝0，得x＝－2，
故x轴与平面α的交点坐标是(－2，0，0)．]
16．已知三棱锥P?ABC各顶点的坐标分别是P(－1，0，0)，A(0，1，0)，B(－4，0，0)，C(0，0，2)，则该三棱锥底面ABC上的高h＝________．
　[由已知，＝(－1，－1，0)，＝(－4，－1，0)，＝(0，－1，2)．设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝－1，得n＝(－1，4，2)．
则h＝＝＝．]
三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°．
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
[解]　(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC．
(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得：D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)，E，
所以＝，＝(1，0，0)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
所以与夹角的余弦值是．
18．(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
(1)证明：AD⊥D1F；
(2)求AE与D1F所成的角；
(3)证明：平面AED⊥平面A1FD1．
[解]　以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)．
(1)证明：由＝(－1，0，0)，＝，得·＝0，
∴AD⊥D1F．
(2)由＝，＝得，·＝0，
∴AE⊥D1F，
∴AE与D1F所成的角为90°．
(3)证明：由(1)(2)可知D1F⊥平面AED，又D1F在平面A1FD1内，
∴平面AED⊥平面A1FD1．
19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE．
[证明]　AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)．
(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴C，E，
设D(0，y，0)，由AC⊥CD，得·＝0，即y＝，则D，
∴＝，又＝，
∴·＝－ × ＋ × ＝0，
∴⊥，即AE⊥CD．
(2)法一：∵P(0，0，1)，∴＝，
又·＝ × ＋ ×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE，＝(1，0，0)，∴·＝0，
∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
法二：＝(1，0，0)，＝，
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝2，则z＝－，
∴n＝(0，2，－)，
∵＝，显然＝n．
∵∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．
20．(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C?PB?A的余弦值．
[解]　(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC．
因为BC?平面PBC．
所以平面PBC⊥平面PAC．
(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC．如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝．
又因为PA＝1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)．
故＝(，0，0)，＝(0，1，1)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则所以取y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．
因为＝(0，0，1)，＝(，－1，0)，
设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
所以
取x2＝1，则n2＝(1，，0)．
于是cos〈n1，n2〉＝＝．
由题知二面角C?PB?A为锐角，故二面角C?PB?A的余弦值为．
21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A?A1B?C的余弦值．
[解]　 (1)证明：如图，设A1D＝t(t>0)，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，
所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，所以DE，DC，DA1两两垂直．
以DE，DC，DA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，t)，C1(0，2，t)，
所以＝(0，3，t)，＝(－2，－1，t)，＝(2，0，0)，
由·＝0，知AC1⊥CB，又BA1⊥AC1，BA1∩CB＝B，
所以AC1⊥平面A1BC．
(2)由·＝－3＋t2＝0，得t＝．
设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，1，)，＝(2，2，0)，
所以，取z＝1，则n＝(，－，1)．
再设平面A1BC的法向量为m＝(u，v，w)，
又＝(0，－1，)，＝(2，0，0)，
所以取w＝1，则m＝(0，，1)．
故cos〈m，n〉＝＝－．
因为二面角A?A1B?C为锐角，所以可知二面角A?A1B?C的余弦值为．
22．(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
(1)求证：BD⊥FG；
(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
(3)当二面角B?PC?D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
[解]　 以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A?xyz如图所示，
设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)(a>0)，E，F，G(m，m，0)(0(1)证明：＝(－1，1，0)，＝，
·＝－m＋＋m－＋0＝0．∴BD⊥FG．
(2)要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而＝，
由＝λ可得解得λ＝，m＝，
∴G，∴＝，
故当AG＝AC时，FG∥平面PBD．
(3)设平面PBC的一个法向量为u＝(x，y，z)，
则而＝(1，1，－a)，＝(0，1，0)，
∴取z＝1，得u＝(a，0，1)，
同理可得平面PDC的一个法向量v＝(0，a，1)，
设u，v所成的角为θ，则|cos θ|＝＝，
即＝，
∴＝，∴a＝1，
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA＝＝＝．

展开更多......

收起↑