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综合测试题
(满分：150分时间：120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． )
1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α相交但不垂直
2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为底面A1C1的中心，若＝1＋x＋y，则x、y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝1
3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝－12x D．y2＝12x
4．已知双曲线－x2＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．
5．设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝，则p＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
6．将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有(　　)
A．15　　B．18　　C．30　　D．36
7．若直线ax＋by＝1经过点M(cos α，sin α)，则(　　)
A．a2＋b2≥1 B．a2＋b2≤1
C．a＋b≥1 D．a＋b≤1
8．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则(　　)
A．P(ξ<－2)＝0.023 B．P(ξ＞－2)＝0.977
C．P(ξ＞0)＝0.5 D．P(－2≤ξ≤2)＝0.954
10．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10，0.6)，则下列说法正确的是(　　)
A．Eξ＝6 B．Dξ＝2.4
C．Eη＝2 D．Dη＝2.4
11．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，＋的取值与x，y无关， 则实数a的可能取值是(　　)
A．－4　　B．－6　　C．7　　D．6
12．已知点F为抛物线C：y2＝2px，p＞0的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是(　　)
A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得∠MKF＝45°的点M有且仅有4个
D．使得∠MKF＝30°的点M有且仅有4个
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大35，则展开式中x的系数为________(用数字作答)．
14．已知随机变量的ξ的分布列为：
ξ －1 0 2
P x
y
若Eξ＝，则Dξ＝________．
15．已知直线l：mx－y＝1．若直线l与直线x－my－1＝0平行，则
(1)m的值为________；
(2)动直线l被圆x2＋2x＋y2－24＝0截得的弦长最短为________．
16．如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有________种．






四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男


女
10 55
合计


(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差．
附：χ2＝，
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
18． (本小题满分12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
(2)ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
19．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2012 2014 2016 2018 2020
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量Y与年份X之间的回归直线方程Y＝bX＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2022年的粮食需求量．
20．(本小题满分12分)如图，E为等腰梯形ABCD的底边AB的中点，AD＝DC＝CB＝AB＝2，将△ADE沿ED折成四棱锥A?BCDE，使AC＝．
(1)证明：平面AED⊥平面BCDE；
(2)求二面角E?AC?B的余弦值．
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，求直线l的方程．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C过点A，两个焦点为(－1，0)，(1，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． )
1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α相交但不垂直
B　[因为a∥n，所以l⊥α．]
2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为底面A1C1的中心，若＝1＋x＋y，则x、y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝1
C　[因为＝＋＝＋＋，所以x＝，y＝．]
3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝－12x D．y2＝12x
A　[由抛物线开口向下，且焦准距为6知，其标准方程是x2＝－12y．]
4．已知双曲线－x2＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．
D　[双曲线－x2＝1的渐近线为y＝±ax，又渐近线方程为y＝x，
所以a＝，b＝1，
所以c＝2，所以离心率e＝＝．]
5．设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝，则p＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
B　[由|AB|＝，得2p＝|AB|sin2 θ＝×＝4，所以p＝2．]
6．将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有(　　)
A．15　　B．18　　C．30　　D．36
C　[先分组，有C－1＝5种，再分配，有5A＝30种．]
7．若直线ax＋by＝1经过点M(cos α，sin α)，则(　　)
A．a2＋b2≥1 B．a2＋b2≤1
C．a＋b≥1 D．a＋b≤1
A　[易知点M在圆x2＋y2＝1上，所以直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，所以≤1，所以a2＋b2≥1．]
8．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．
如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B．
由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则(　　)
A．P(ξ<－2)＝0.023 B．P(ξ＞－2)＝0.977
C．P(ξ＞0)＝0.5 D．P(－2≤ξ≤2)＝0.954
[答案]　ABCD
10．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10，0.6)，则下列说法正确的是(　　)
A．Eξ＝6 B．Dξ＝2.4
C．Eη＝2 D．Dη＝2.4
ABCD　[因为ξ～B(10，0.6)，所以Eξ＝10×0.6＝6，Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4，
又ξ＋η＝8，所以Eη＝E(8－ξ)＝－6＋8＝2，Dη＝D(8－ξ)＝(－1)2Dξ＝2.4．]
11．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，＋的取值与x，y无关， 则实数a的可能取值是(　　)
A．－4　　B．－6　　C．7　　D．6
CD　[设z＝＋＝5，
故|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|可以看作点P到直线m：3x－4y＋a＝0与直线l：3x－4y－9＝0距离之和的5倍，∵取值5x，y无关，
∴这个距离之和与P无关．
如图所示，可知直线m向下平移时，点P到直线m，l间的距离之和均为m，l间的距离，
即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，＝1，化简得|a－1|＝5，∴a＝6或a＝－4(舍去)，∴a≥6，故选CD．]
12．已知点F为抛物线C：y2＝2px，p＞0的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是(　　)
A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得∠MKF＝45°的点M有且仅有4个
D．使得∠MKF＝30°的点M有且仅有4个
ABD　[若KF＝MF，则M有两个点，若MK＝MF，则M不存在，若MK＝KF，则M有两个点，故使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个．
在△MFK中，∠MFK为直角的点M有两个点，∠MKF为直角的点M不存在，∠FMK为直角的点M有两个点，故使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个．
若∠MKF＝的M在第一象限，可得直线MK：y＝x＋，
代入抛物线的方程可得x2－px＋＝0，解得x＝，
由对称性可得在第四象限只有1个，
则满足∠MKF＝的M只有2个．
使得∠MKF＝的点M在第一象限，可得直线MK：y＝，
代入抛物线的方程，可得x2－5px＋＝0，Δ＝25p2－p2＝24p2＞0，
可得点M有2个，
若点M在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得∠MKF＝的点M有且仅有4个．]
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大35，则展开式中x的系数为________(用数字作答)．
560　[第三项的二项式系数为C，第二项的系数为－2C，依题意C＋2C＝35，解得n＝7，所以Tk＋1＝Cx7－k＝C(－2)kx7－k，令7－k＝1，求得k＝4，则
展开式中x的系数为C(－2)4＝560．]
14．已知随机变量的ξ的分布列为：
ξ －1 0 2
P x
y
若Eξ＝，则Dξ＝________．
　[依题意x＋y＋＝1，所以x＋y＝，
又Eξ＝－x＋2y＝，解得x＝y＝，
所以Dξ＝[＋＋]×＝．]
15．已知直线l：mx－y＝1．若直线l与直线x－my－1＝0平行，则
(1)m的值为________；
(2)动直线l被圆x2＋2x＋y2－24＝0截得的弦长最短为________．
－1　2　[(1)当m＝0时，不符合；
当m≠0时，由两直线平行，斜率相等得m＝，解得m＝1或－1，
又当m＝1时，两直线相同，不符合，
所以m＝－1．
(2)圆x2＋2x＋y2－24＝0的圆心O(－1，0)，半径R＝5，
所以圆心到直线l的距离d＝，
所以弦长AB＝2＝2≥2＝2，
当m＝1时，取等号．]
16．如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有________种．






14　[由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有C＝20(种)涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：
(1)第2，3格涂白色共4种涂法，
(2)第2，4，5格涂白色共1种涂法，
(3)第3，4，5格涂白色共1种涂法．
∴满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有C－4－1－1＝14(种)．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男


女
10 55
合计


(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差．
附：χ2＝，
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
[解]　(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈3.030．因为3.030＞2.706，
所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为．
由题意X～B(3，)，从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P



EX＝np＝3×＝，
DX＝np(1－p)＝3××＝．
18． (本小题满分12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
(2)ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
[解]　记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次， B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数．依题意知A2与B2独立．
(1)P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B2)＝＝．
又＝A1＋A2B2，
所以P()＝P(A1＋A2·B2) ＝P(A1)＋P(A2·B2)＝P(A1)＋P(A2)·P(B2)＝＋×＝，
所以P(A)＝1－P()＝＝0.72．
(2)ξ的可能取值为2，3．
P(ξ＝2)＝P(B1)＝＋＝，P(ξ＝3)＝P(B2)＝，
所以Eξ＝2×＋3×＝＝2.4(次)．
19．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2012 2014 2016 2018 2020
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量Y与年份X之间的回归直线方程Y＝bX＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2022年的粮食需求量．
[解]　(1)由所给数据得出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份－2016 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
对预处理后的数据，容易算得
＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，
＝－＝3.2．
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
Y－257＝b(X－2016)＋a＝6.5(X－2 016)＋3.2．①
即Y＝6.5(X－2016)＋260.2．
(2)利用直线方程①，可预测2022年粮食需求量为
6.5(2 022－2 016)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
20．(本小题满分12分)如图，E为等腰梯形ABCD的底边AB的中点，AD＝DC＝CB＝AB＝2，将△ADE沿ED折成四棱锥A?BCDE，使AC＝．
(1)证明：平面AED⊥平面BCDE；
(2)求二面角E?AC?B的余弦值．
[解]　(1)证明：由题意可得△AED为等边三角形，取ED的中点为O，则AO＝，OC＝，
∴AC2＝AO2＋OC2，
∴AO⊥OC，又AO⊥ED，ED∩OC＝O，
∴AO⊥平面ECD，又AO?平面AED，
∴平面AED⊥平面BCDE．
(2)如图建立空间直角坐标系，则＝(0，1，)，＝(－，0，)，＝(0，2，0)，
设平面EAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，面BAC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由，即，取z1＝1，则x1＝1，y1＝－，
∴m＝(1，－，1)．
由，得，取z2＝1，则x2＝1，y2＝0，
∴m＝(1，0，1)，
∴cos 〈m，n〉＝＝．
即二面角E?AC?B的余弦值为．
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，求直线l的方程．
[解]　(1)由椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，得c＝a，b＝a，
由S＝·2c·b＝a2＝2得a＝，b＝，所以椭圆方程为＋＝1．
(2)设直线lAB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)．
联立方程得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
所以，x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝·|x1－x2|＝，x0＝，
点M到直线x＝1的距离为d＝|x0－1|＝＝．
由以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为得－d2＝，所以－＝，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C过点A，两个焦点为(－1，0)，(1，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
[解]　(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意，c＝1，且＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(舍去)．
所以椭圆方程为＋＝1．
(2)设直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得
(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4－12＝0
设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，所以
xE＝，yE＝kxE＋－k，
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得
xF＝，yF＝－kxF＋＋k，
所以直线EF的斜率
kEF＝＝
＝
＝＝，
即直线EF的斜率为定值，其值为．

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