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从平面向量到空间向量　空间向量的运算(一)
一、选择题
1．在空间中，下列结论正确的是(　　)
A．＝＋　　 B．＝＋＋
C．＝＋－ 　 D．＝＋
2．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4 　　　　D．5
3．下列等式中，正确的个数为(　　)
①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a．
A．1　　 　　B．2　　　　 C．3　　 　　D．4
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是(　　)
A．＋＋ B．－＋
C．＋＋ D．＋
5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 　 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
二、填空题
6．(－)＋运算的结果是________．
7．已知平行六面体ABCD?A′B′C′D′，则下列四式中正确的序号是________．
①－＝；②＝＋＋；
③＝；④＋＋＋＝．
8．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题
9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则与共线；
(2)互为相反向量的向量的模相等；
(3)任一向量与它的相反向量不相等．
10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，化简向量表达式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋＋．
能力过关
11．已知正方体ABCD?A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(　　)
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 　　B．2个　　C．3个 　　D．4个
12．已知向量，，满足||＝|A|＋||，则(　　)
A．＝＋　　　　　 B．＝－－
C．与同向　　　　　 D．与同向
13．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝
B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若＝－，则，互为相反向量
D．若，互为相反向量，则＝－
14．(一题两空)已知|a|＝|b|＝1．
(1)|a＋b|的取值范围是________．
(2)若|a－b|＝，则|a＋b|＝________．
15．如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．
(1)－，＋．
(2)＋－，＋＋．
一、选择题
1．在空间中，下列结论正确的是(　　)
A．＝＋　　 B．＝＋＋
C．＝＋－ 　 D．＝＋
B　[根据空间向量的加减运算可得B正确．]
2．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4 　　　　D．5
C　[①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4．]
3．下列等式中，正确的个数为(　　)
①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a．
A．1　　 　　B．2　　　　 C．3　　 　　D．4
D　[根据相反向量的概念知①②③④正确，所以正确的个数为4．故选D．]
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是(　　)
A．＋＋ B．－＋
C．＋＋ D．＋
A　[在A选项中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝0．]
5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 　 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
A　[由于＋＝，＋＝，所以＝，从而||＝||，且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形．]
二、填空题
6．(－)＋运算的结果是________．
　[(－)＋＝(＋)＋＝＋＝．]
7．已知平行六面体ABCD?A′B′C′D′，则下列四式中正确的序号是________．
①－＝；②＝＋＋；
③＝；④＋＋＋＝．
①②③　[－＝＋＝，①正确；
＋＋＝＋＋＝，②正确；
③显然正确；＋＋＋＝＋＋＝，④错．]
8．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|．
其中正确命题的序号为________．
③　[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．]
三、解答题
9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则与共线；
(2)互为相反向量的向量的模相等；
(3)任一向量与它的相反向量不相等．
[解]　(1)正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以与一定共线．
(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．
(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．
10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，化简向量表达式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋＋．
[解]　(1)＋＋＋＝＋＋＋＝0．
(2)因为＝＝－，＝－，
所以原式＝－－＋＝0．
能力过关
11．已知正方体ABCD?A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(　　)
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 　　B．2个　　C．3个 　　D．4个
C　[如图所示，①＝－，＝－，
所以＋＝－(＋)，是一对相反向量；
②－＝，－＝，而＝，故不是相反向量；
③同①也是正确的；
④－＝，－＝＝－，是一对相反向量．]
12．已知向量，，满足||＝|A|＋||，则(　　)
A．＝＋　　　　　 B．＝－－
C．与同向　　　　　 D．与同向
D　[由||＝||＋||＝||＋||知，A，B，C三点共线且C点在线段AB上，所以与同向．]
13．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝
B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若＝－，则，互为相反向量
D．若，互为相反向量，则＝－
ACD　[A正确．B错误．由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合．C正确．＝－，且，为非零向量，所以，互为相反向量．D正确．]
14．(一题两空)已知|a|＝|b|＝1．
(1)|a＋b|的取值范围是________．
(2)若|a－b|＝，则|a＋b|＝________．
[0，2]　1　[(1)|a＋b|∈[0，2]．
(2)∵|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4，∴|a＋b|＝1．]
15．如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．
(1)－，＋．
(2)＋－，＋＋．
[解]　(1)如图所示，－＝，＋＝＋＝．
(2)如图所示，＋－＝－＝，＋＋＝＋＝

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