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专题10：二元一次方程组
一、单选题
1．已知是方程x–ky=3的一个解，那么k的值是（
）
A．1
B．2
C．–2
D．–1
【答案】A
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值.
【详解】解:把代入方程得:2+k=3,
解得：k=1，
所以A选项是正确的
【点评】本题主要考查二元一次方程及二元一次方程的解.
2．已知和都是方程y=ax＋b的解，则a和b的值分别是(　　).
A．a=2，b=3
B．a=－0.5，b=3
C．a=1，b=3
D．a=3，b=0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到关于a和b的二元一次方程组，再求出a和b的值．
【详解】∵和都是方程y=ax＋b的解，
∴，解得：，
故选B．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解以及二元一次方程组的解法,.解题关键是根据方程组的解概念，代入方程得到关于a、b的二元一次方程组即可求解.
3．方程是二元一次方程，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】由题意得且，
解得，，
故选D．
【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
4．已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（
）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】把代入方程，得，
解得.
故选C.
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．已知关于的方程组，甲看错得到的解为，乙看错了得到的解为，他们分别把错看成的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】把甲的结果代入第一个方程求出a的值，把乙的结果代入第二个方程求出b的值，求解即可．
【详解】把代入得：，
把代入得：，
解得：a=5，b=-1，
故选A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程的知识点，解题关键点是看清题意再得出a、b的值．
6．设方程组的解是，那么，的值分别为　　
A．，3
B．3，
C．2，
D．，2
【答案】A
【分析】把代入方程组，得到关于a，b的方程组，再进一步解方程组即可．
【详解】把代入方程组，得
，
解得，．
故选A．
【点评】此题主要考查了方程组的解，能够把方程组的解代入得到新的方程组，从而求解是解此题的关键．
7．在正整数范围内，方程
x＋4y＝12的解有（
）
A．0
组
B．1
组
C．3
组
D．2组
【答案】D
【解析】
【分析】分别令y=1、2、3，然后求出x的值，即可得解．
【详解】当y=1时，x+4×1=12，解得x=8；
当y=2时，x+4×2=12，解得x=4；
当y=3时,x+4×3=12,解得x=0(不是正整数,舍去).
所以,方程x+4y=12的解有
共2组。
故选：D.
【点评】此题考查解二元一次方程，解题关键在于令y=1、2、3.
8．若方程组仅有一组解，则m的取值是（
）
A．m可以取任何实数
B．
C．
D．以上均不对
【答案】C
【解析】
【分析】运用加减法把方程组化为关于y的一元一次方程，根据方程ax=b的解的情况进行解答即可．
【详解】，
①×2-②×3得，
（8+9m）y=0，
当8+9m≠0时，方程有一个解，
即时，方程有一个解，
故选C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，正确分析方程ax=b的解的情况是解题的关键．
9．以方程组的解为坐标的点位于（
）
A．x轴的正半轴上
B．x轴的负半轴上
C．y轴的正半轴上
D．y轴的负半轴上
【答案】C
【解析】
【分析】求出方程组的解即可做出判断．
【详解】，
①+②得：2y=2，即y=1，
把y=1代入①得：x=0，
∴方程组的解为坐标的点（0，1），
则以方程组的解为坐标的点（x，y）位于y轴正半轴，
故选C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．某班级为筹备运动会，准备用3650元钱购买两种运动服，其中甲种运动服200元/套，乙种运动服250元/套，在钱用完的条件下，共有购买方案（
）
A．5种
B．3种
C．2种
D．4种
【答案】D
【解析】
【分析】设甲种运动服买了x套，乙种运动服买了y套，根据题意确定出二元一次方程，求出方程的正整数解即可．
【详解】设购买甲种运动服x套，乙种运动服y套，由题意，得
，
因为y为正整数.
所以
所以共有4种购买方案.
故选D.
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，找出方程的正整数解是解本题的关键．
二、填空题
11．方程3x＋y＝10的正整数解是______．
【答案】；；.
【分析】结合已知条件和所求的问题可知,
解答本题应先将方程化为用x表示y的情况,
然后根据解是正整数,
首先确定x的值,
再进一步求得y的对应值.
【详解】原方程可化为y=10-3x,
根据题意,得,
当x=1时,y=10-31=7,
当x=2时,y=10-32=4,
当x=3时,y=10-33=1，
当x=4时,y=10-34=-2(不合题意,舍去),
所以,
方程的正整数解是；；，
故答案为:；；.
【点评】本题考查了二元一次方程的解,
给出一个未知数的值求出另一个未知数的值即可,
本题先给出x的值比先给出y的值简单.本题是一道基础题,要求我们熟练掌握.
12．在等式3x－2y＝1中，若用含x的代数式表示y，应是________；若用含y的代数式表示x，应是______．
【答案】y＝
x＝
【分析】（1）把x看作已知量,把y看作未知量,根据解一元一次方程的方法可得答案；
（2）把y看作已知量,把x看作未知量,根据解一元一次方程的方法可得答案.
【详解】解:（1）3x-2y=1,
-2y=-3x+1,解得y=
同理：3x=1+2y，x=，
故答案为:
(1)
y＝；(2)x＝.
【点评】本题主要考查解二元一次方程.
13．对于有理数x，y，定义新运算：x
y＝ax＋by－5，其中a，b为常数．已知1
2＝－9，(－3)
3＝－2，则a－b＝_____．
【答案】－1
【解析】
【分析】利用题中的新定义列出方程组,求出方程组的解得到a与b的值,即可确定出a-b的值.
【详解】解:根据题意得:1
2=a+2b-5=-9,(-3)
3=-3a+3b-5=-2,
整理得:，解得：，
则a-b=-2+1=-1,
故答案为:-1
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
14．已知是方程组的解，则3a﹣b的算术平方根是_____．
【答案】2．
【解析】
【分析】灵活运用方程的性质求解即可。
【详解】由是方程组的解，可得满足方程组，
由①+②的，3x-y=8,即可3a-b=8，
故3a﹣b的算术平方根是，
故答案：
【点评】本题主要考查二元一次方程组的性质及其解法。
15．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到的结果是，那么A＋B＝_____．
【答案】4
【分析】将x=B,y=1代入方程x+Ay=4即可求得答案.
【详解】解:将x=B,y=1代入方程x+Ay=4得:B+A=4,
A+B=4.
故本题正确答案是:4.
【点评】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程的解满足二元一次方程.
16．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●和★的值为__________．
【答案】和
【分析】把x=5代入方程组中第二个方程求出y的值，即为“★”表示的数，再将x与y的值代入第一个方程求出“●”表示的数即可．
【详解】把x=5代入2x-y=12中，得：y=-2，
把x=5，y=-2代入得：2x+y=10-2=8，
则“●”“★”表示的数分别为8，-2．
故答案为：8，-2．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
三、解答题
17．将方程3x-2y=25变形为用含y的式子表示x，并分别求出当y=-4，y=7，y=时相应的x的值．
【答案】；当y=-4时，x
=
；当y=7时，x
=13；当y=时，x
=
.
【分析】将y看作已知数，将x看作未知数即可求解；然后再把y的值代入即可求出相应的x的值．
【详解】移项得：3x=25+2y，
系数化为1得，，
当y=-4时，=
；
当y=7时，=13；
当y=时，=
.
【点评】此题考查了解二元一次方程，将y看作已知数，将x看作未知数是解题的关键．
18．已知和是二元一次方程的两个解.
（1）求、的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）y<-3
【解析】
分析：（1）把x与y的两对值代入方程计算求出m与n的值即可；
（2）由方程求出x的表达式，解不等式即可．
详解：（1）把和代入方程得：，解得：；
（2）当时，原方程变为：2x-3y=5，解得：x=．
∵x＜-2，∴＜-2，解得：y＜－3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
【答案】存在;k只能取3，4，5
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．
【详解】解:解方程组得
∵x大于1，y不大于1从而得不等式组
解之得2＜k≤5
又∵k为整数
∴k只能取3，4，5
答：当k为3，4，5时，方程组的解中，x大于1，y不大于1．
【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x＞1，y≤1，则解出x，y关于k的式子，最终求出k的范围，即可知道整数k的值．
20．已知关于、的方程组的解是.
（1）若把换成，换成，得到的关于、的方程组，则这个方程组的解是；
（2）若把换成，换成，得到方程组，则，
所以这个方程组的解是；
（3）根据以上的方法解方程组.
【答案】（1）；（2），
；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得方程组的解是
（2）根据题意可得
，从而得出这个方程组的解．
（3）将解方程组变形为，再根据题意可得
，从而得出这个方程组的解．
【详解】(1)∵关于x、y的方程组的解是，
∴方程组的解是；
(2)由(1)得,以2x与4y为未知数的方程组
的解为，
解得
；
∴方程组的解为；
(3)将解方程组变形为
，
∴以
x与
y为未知数的方程组
的解为，
解得
，
∴方程组的解为
【点评】此题考查解二元一次方程组，掌握运算法则是解题关键
21．甲、乙二人解关于x，y的方程组
甲正确地解出
而乙因把c抄错了，结果解得求出a，b，c的值，并求乙将c抄成了何值？
【答案】乙把c抄成了－11，a的值是4，b的值是5，c的值是?2.
【解析】
【分析】把代入方程组，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解代入中，可得：中即可得到答案．
【详解】把代入方程组，
可得：，
解得：c=?2，
把代入中，
可得：，
可得新的方程组：，
解得：
把代入cx?7y=8中，可得：c=－11.
答：乙把c抄成了－11，a的值是4，b的值是5，c的值是?2.
【点评】本题考查二元一次方程组的解，难度适中，关键是对题中已知条件的正确理解与把握．
22．三个同学同时解一道题：“若方程组的解是求方程组的解”.
三个人各自提出不同的想法：
甲说：“这个题目好像条件不够，不能求出它的解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元的方法来解决呢”？
参考他们的讨论，你认为这个题目应该怎么解？
【答案】见解析，.
【解析】
【分析】按照丙的想法，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解．
【详解】按照丙的想法，将第二个方程组变形为
再由方程组的解是可得解得
所以方程组的解是
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意并能灵活运用是解本题的关键．
23．已知关于x，y的方程是二元一次方程，求m，n的值.
【答案】m，n的值分别是，2
【解析】
【分析】由二元一次方程的定义可得，，且，，求解即得.
【详解】由题意，得，且，，解得：m=-2，n=2，故m，n的值分别是，2.
【点评】本题考查了二元一次方程的概念，准确理解概念得出所需的方程和不等式是求解的关键.
24．已知方程组的解中，x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a﹣3|+|a+2|．
【答案】（1）﹣2＜a≤3；（2）5
【解析】
【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可；
【详解】（1）方程组解得：，
∵x为非正数，y为负数；
∴，
解得：﹣2＜a≤3；
（2）∵﹣2＜a≤3，即a﹣3≤0，a+2＞0，
∴原式＝3﹣a+a+2＝5．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组、解一元一次不等式组、代数式的化简求值，熟练掌握并准确计算是解题的关键.
25．已知关于x的方程有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
【答案】k=26，10，8，-8．
【分析】将原式转化，得到，根据x与k均为整数，即可推出k的值．
【详解】，
，
，k都是整数，
，x都是整数，
，，1或17，
，10，8，．
【点评】本题考查了二元一次不定方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解限制在有限的范围内通过试解即可得到k的值．
26．已知方程组，
王芳看错了方程①中的a，得到的方程组的解为，李明看错了方程（2）中的b，得到的方程组的解为，
求原方程组的解.
【答案】原方程组的解为
【解析】
试题分析：根据没看错的方程和方程的解代入可求的a、b的值，然后还原返程组，根据加减或代入消元法求解即可.
试题解析：由题意得4×5+4b=12，解得b=-2,
4a+5×5=12，解得a=，
代入可得
解得
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专题10：二元一次方程组
一、单选题
1．已知是方程x–ky=3的一个解，那么k的值是（
）
A．1
B．2
C．–2
D．–1
2．已知和都是方程y=ax＋b的解，则a和b的值分别是(　　).
A．a=2，b=3
B．a=－0.5，b=3
C．a=1，b=3
D．a=3，b=0.5
3．方程是二元一次方程，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（
）
A．2
B．
C．1
D．
5．已知关于的方程组，甲看错得到的解为，乙看错了得到的解为，他们分别把错看成的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设方程组的解是，那么，的值分别为　　
A．，3
B．3，
C．2，
D．，2
7．在正整数范围内，方程
x＋4y＝12的解有（
）
A．0
组
B．1
组
C．3
组
D．2组
8．若方程组仅有一组解，则m的取值是（
）
A．m可以取任何实数
B．
C．
D．以上均不对
9．以方程组的解为坐标的点位于（
）
A．x轴的正半轴上
B．x轴的负半轴上
C．y轴的正半轴上
D．y轴的负半轴上
10．某班级为筹备运动会，准备用3650元钱购买两种运动服，其中甲种运动服200元/套，乙种运动服250元/套，在钱用完的条件下，共有购买方案（
）
A．5种
B．3种
C．2种
D．4种
二、填空题
11．方程3x＋y＝10的正整数解是______．
12．在等式3x－2y＝1中，若用含x的代数式表示y，应是________；若用含y的代数式表示x，应是______．
13．对于有理数x，y，定义新运算：x
y＝ax＋by－5，其中a，b为常数．已知1
2＝－9，(－3)
3＝－2，则a－b＝_____．
14．已知是方程组的解，则3a﹣b的算术平方根是_____．
15．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到的结果是，那么A＋B＝_____．
16．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●和★的值为__________．
三、解答题
17．将方程3x-2y=25变形为用含y的式子表示x，并分别求出当y=-4，y=7，y=时相应的x的值．
18．已知和是二元一次方程的两个解.
（1）求、的值；
（2）若，求的取值范围.
19．是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
20．已知关于、的方程组的解是.
（1）若把换成，换成，得到的关于、的方程组，则这个方程组的解是；
（2）若把换成，换成，得到方程组，则，
所以这个方程组的解是；
（3）根据以上的方法解方程组.
21．甲、乙二人解关于x，y的方程组
甲正确地解出
而乙因把c抄错了，结果解得求出a，b，c的值，并求乙将c抄成了何值？
22．三个同学同时解一道题：“若方程组的解是求方程组的解”.
三个人各自提出不同的想法：
甲说：“这个题目好像条件不够，不能求出它的解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元的方法来解决呢”？
参考他们的讨论，你认为这个题目应该怎么解？
23．已知关于x，y的方程是二元一次方程，求m，n的值.
24．已知方程组的解中，x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a﹣3|+|a+2|．
25．已知关于x的方程有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
26．已知方程组，
王芳看错了方程①中的a，得到的方程组的解为，李明看错了方程（2）中的b，得到的方程组的解为，
求原方程组的解.
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