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专题12：二元一次方程组与实际问题
一、单选题
1．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．35
B．45
C．55
D．65
【答案】B
【分析】根据矩形的面积公式计算列方程组计算即可.
【详解】设小矩形的长为a，宽为b，可得方程组：
a+2b=15，a=3b，
可得解：a=9，b=3，
故阴影部分的面积：，
故选B.
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据图形列出方程组是解题的关键.
2．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，根据题意每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱列出二元一次方程组.
【详解】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，
依题意可得
故选：B
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组.
3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组及其应用，首先选取两个量作为未知数，再根据已知条件列出两个方程，再将两个二元一次方程组合起来便构成了二元一次方程组．
4．已知直角坐标系中，点P（x，y）满足，则点P坐标为（
）
A．（2，-3）
B．（-3，-1.5）
C．（-2，-3）
D．（3，-1.5）
【答案】D
【解析】
【分析】先根据非负数的性质，列出x、y的二元一次方程组，并求解即得出x、y的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】∵，
∴，解得：
．
故P点坐标为：(3,).?
故选D．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及偶次方的性质．解题关键是利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
5．把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管(要求两种规格至少有一根)．在不造成浪费的情况下，不同的截法有（
）
A．1种
B．2种
C．3
D．4种
【答案】C
【分析】设截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，根据钢管的总长度为7m，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出结论．
【详解】设截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，
依题意得：2x+y=7，
∴y=7-2x，
又∵x，y均为正整数，
∴
或
或
，
∴共有3种截法．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
6．已知方程组的解x与y互为相反数，则a等于（　　）
A．3
B．﹣3
C．﹣15
D．15
【答案】C
【分析】x与y互为相反数，得y=-x，带入到方程组消去y，得到关于x、a的二元一次方程组即可.
【详解】由x与y互为相反数，得y=-x，
代入方程组，得，
解得：，
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
7．已知|x+y－1|+(x－y+3)2=0，则(x+y)2019的值是（
）
A．22019
B．－1
C．1
D．－22019
【答案】C
【分析】由绝对值和平方的非负性可得，再解方程组代入原式进行计算即可.
【详解】根据题意可得，用①加上②可得，2x+2=0，解得x=-1，则y=2，
故原式=(2-1)2019=1.
故选择C.
【点评】本题结合非负性考查了列和解二元一次方程组.
8．把一张50元的人民币换成10元或5元的人民币，共有??????
A．4种换法
B．5种换法
C．6种换法
D．7种换法
【答案】C
【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．由于10元和5元的数量都是未知量，可设出10元和5元的数量．
本题中等量关系为：10元的总面值＋5元的总面值＝50元．
【详解】设10元的数量为x，5元的数量为y．
则，
解得，，，，，.
所以共有6种换法．
故选C．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
9．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把C写错了解得，那么a、b、c的正确的值应为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】把代入得，由方程组中第二个式子可得：c=-2．用排除法，可以直接解答.
【详解】把代入得：
，
由②得：，
四个选项中行只有A符合条件．
故选择：A.
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，做这类题目时要用代入法或排除法，这样可以提高做题效率．
10．甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax-by=7看成ax-by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
把甲的解代入ax-by=7可得a+b=7，把乙的解代入可得a-2b=1，由它们构成方程组可得，解方程组得，故选B．
二、填空题
11．根据图中提供的信息,可知一个杯子的价格是______.
【答案】8
【解析】
【分析】设一个杯子的价格是x元，根据左图可得一个暖瓶的价格是（43﹣x）元，再根据右图得出等量关系：3个杯子的价格+2个暖瓶的价格＝94元，依此列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】设一个杯子的价格是x元，则一个暖瓶的价格是（43﹣x）元，
依题意列方程，3x+2（43﹣x）＝94，
解得：x＝8．
答：一个杯子的价格是8元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用．解题关键是根据图，得出暖瓶与杯子的价钱之间的数量关系，再根据数量关系的特点，选择合适的方法进行计算．
12．数学课外小组的学生分组外出活动，若每组6人，则余下4人，若每组8人，则少4人，设数学课外小组人数为x人，组成的组数为y组，根据题意可列方程组______．
【答案】
【分析】设数学课外小组人数为x人，组成的组数为y组，根据“若每组6人，则余下4人，若每组8人，则少4人”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】根据题意，可得：
当每组6人时，y组的总人数为6y，由于每组分6人时，还余下4人，可得x=6y+4；
当每组8人时，y组的总人数为8y，由于每组分8人时，有一组少4人，可得x=8y-4；
所以列的方程组为．
故答案为：．
【点评】本题考查根据等量关系列方程，
用不同的形式表示同一个量，然后用等号把两个有等量关系的代数式连接起来，即找出等量关系是列方程的关键．
13．某厂有甲、乙两个车间，若从乙车间调12人到甲车间，则甲车间人数是乙车间人数的3倍；若从甲车间调10人到乙车间，则甲车间比乙车间少4人．甲车间原来有工人_____人，乙车间原来有工人______人．
【答案】48
32
【分析】设甲车间有x名工人,
乙车间有y名工人，根据已知条件列二元一次方程组求解即可.
【详解】解:设甲车间有x名工人,
乙车间有y名工人,
由题意得:解得：
所以甲乙两车间原来各有的48人和32人.
故答案为:甲乙两车间原来各有的48人和32人.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的知识,
二元一次方程的解法的运用,
列方程解应用题的关键要读懂题目的意思,
根据题目给出的条件,
找出合适的等量关系,
列出方程,
再求解.
14．有两个有理数，其和为1，其差为5，则其积为__________.
【答案】
【分析】根据题意，将两有理数分别设为x，y，列出二元一次方程组求得两有理数，取两者之积即可得解.
【详解】设两有理数中较大数为x，较小数为y
依题意得
解得，则,
故答案为：.
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确设未知量，明确等量关系是解决本题的关键.
15．已知与互为补角，且的比大，则的余角等于_______．
【答案】
【分析】利用补角的定义，结合题意中的比大列二元一次方程组，从而求得的度数，然后利用余角的概念求解．
【详解】由题意可得：，
解得，
∴的余角为
故答案为：27°．
【点评】本题考查余角和补角的定义及二元一次方程组的应用，掌握概念，利用题目中的等量关系式正确列方程组求解是解题关键．
16．古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各有钱若干，如果甲得到乙的10个钱，那么甲所有的钱就比乙所剩的多4倍；如果乙得到甲的10个钱，那么两人所有的钱相等，甲原有钱_______个，乙原有钱_________个．
【答案】40
20
【分析】设甲有钱个，乙有钱个，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】设甲有钱个，乙有钱个．
根据题意得，
解得．
故答案为：40；20
【点评】本题考查了列方程组解实际问题，根据题意列出方程组是解题关键．
三、解答题
17．若关于的方程组的解满足，求的取值范围.
【答案】
【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，根据已知不等式求出a的范围即可．
【详解】
①-②得：，
将代入①中得，
由题意得：
解得：
的取值范围为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
18．对于实数、，定义关于“”的一种运算：．例如．
（1）求的值；
（2）若，，求和的值．
【答案】（1）5；（2），．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，列出方程组计算求解即可．
【详解】（1）；
（2）∵，，
∴，
解
得，
∴，．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．阅读下列材料：
将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．也称这个数为“要塞数”．例如：将数1078分解为8和107，107﹣8×2＝91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，就称1078为“要塞数”．
完成下列问题：
（1）若一个三位自然数是“要塞数”，且个位数字和百位数字都是7，则这个三位自然数位　
　；
（2）若一个四位自然数M是“要塞数”，设M的个位数字为x，十位数字为y，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，记F（M）＝|x﹣y|，求F（M）的最大值．
【答案】（1）727或797；（2）4.
【分析】（1）设三位数的十位数是a（0≤a≤9），由这个三位数是“要塞数”，可得70+a-2×7=54+a能被7整除，即可求a；
（2）由已知这个四位数的千位数字是13-y，百位数字是13-x，且4≤x≤9，4≤y≤9，由已知可得100（13-y）+10（13-x）+y-2x=1430-99y-12x能被7整除，分别代入数验证可得x=8，y=4；x=5，y=5；x=6，y=7；x=7，y=9；x=9，y=6，即可求解．
【详解】（1）设三位数的十位数是a（0≤a≤9），
∵个位数字和百位数字都是7，
∴这个三位数是7×100+10a+7
∵这个三位数是“要塞数”，
∴70+a﹣2×7＝56+a能被7整除，
∴a＝2或a＝9，
∴这个三位数是727或797；
（2）由已知这个四位数的千位数字是13﹣y，百位数字是13﹣x，且4≤x≤9，4≤y≤9，
∵四位数是“要塞数”，
∴100（13﹣y）+10（13﹣x）+y﹣2x＝1430﹣99y﹣12x能被7整除，
∴x=8，y=4；x=5，y=5；x=6，y=7；x=7，y=9；x=9，y=6；
∴F（M）＝|x﹣y|的最大值是4．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，能根据已知条件列出正确的代数式并将数进行合理的分解是解答本题的关键．
20．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
21．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
【答案】（1）这个班有男生有24人，女生有26人；（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【分析】（1）由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）分别计算出24名男生和26名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
答：这个班有男生有24人，女生有26人；
（2）男生剪筒底的数量：24×120=2880（个），
女生剪筒身的数量：26×40=1040（个），
因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1，
所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，
设男生应向女生支援a人，
由题意得：120(24-a)=(26+a)×40×2，
解得：a=4，
答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．
22．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是我市的电价标准（每月）．
（1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值
（2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量
阶梯
电量x（单位：度）
电费价格
一档
0＜x≤180
a元/度
二档
180＜x≤350
b元/度
三档
x＞350
0.9元/度
【答案】（1）a=0.6，b=0.7；（2）415度
【分析】（1）根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；
（2）根据题意先判断出小明家所用的电所在的档，再设小明家五月份用电量为m度，根据价格表列出等式，求出m的值即可．
【详解】（1）由题意可得：
解得：a=0.6，b=0.7
（2）若一个月用电量为350度，电费为180×0.6+（350-180）×0.7=227，
∵285.5＞227，
∴小明家7月份用电量超过350度；
设小明家7月份用电量为m度，则有：
180×0.6+（350-180）×0.7+（m-350）×0.9=285.5；
解得：m=415；
∴小明家7月份用电量为415度；
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
23．完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
【答案】（1）m=9；（2）a=3，b=-2
【分析】（1）根据x、y的值相等得到x=y，结合3x+2y=1求出x和y的值，再代入中求出m值；
（2）甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的b写成了相反数，把他解得答案代入方程，求a、b的值．
【详解】（1）∵的解x、y的值相等，
∴x=y，代入3x+2y=1中，
∴，代入中，
则，
解得：m=9；
（2）由题意得：
把代入3x+by=5，
得：9+2b=5，
解得：b=-2，
因为乙将一个方程中的b写成了相反数，
所以把b=2代入方程组得：ax+2y=1，
把代入方程ax+2y=1得：a=3．
【点评】此题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．
24．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．
（1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．
（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？
【答案】（1）甲种型号的空气加湿器每台的进价为200元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为170元；（2）甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台
【分析】（1）设甲种型号的空气加湿器每台的进价为元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为元，根据“购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市本次购进购进甲种型号的空气加湿器台，则购进乙种型号的空气加湿器台，根据总利润每台的利润销售数量（购进数量），即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设甲种型号的空气加湿器每台的进价为元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种型号的空气加湿器每台的进价为200元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为170元．
（2）设该超市本次购进甲种型号的空气加湿器台，则购进乙种型号的空气加湿器台，
依题意得：，
解得：，
（台．
答：该超市本次购进甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．若实数的平方根为方程的一组解．
（1）求的值；
（2）若的小数部分为，求．
【答案】（1）a为4；（2）26
【分析】（1）设a的平方根为m，n，根据平方根的性质及二元一次方程的解的定义列方程组，解方程组求出m、n的值即可得答案；
（2）先估算出的取值范围，进而得出b值，再代入求值即可．
【详解】（1）设a的平方根为m，n，
∵a的平方根是3x+2y=2的一组解，
∴，
解得，
∴a为；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴b=，
∴=26．
【点评】本题考查平方根的性质、无理数的估算及解二元一次方程组，正确估算出的取值范围是解题关键．
26．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则需要长方形铁片与正方形铁片各多少张？
（2）现有长方形铁片2020张，正方形铁片1175张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
【答案】（1）长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）竖式铁容器加工103个，横式铁容器加工536个；（3）25张做长方形铁片可做75片，9张做正方形铁片可做36片，剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，最多可以加工成19个铁盒
【分析】（1）一个竖式长方体铁容器需要4个长方形铁皮和1个正方形铁皮；一个横式长方体铁容器需要3个长方形铁皮和2个正方形铁皮；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得：①两种容器共需长方形铁皮2020张；②两种容器共需正方形铁皮1175张，根据等量关系列出方程组即可；
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得：①长方形铁片的铁板m张+正方形铁片的铁板n张=35张；②长方形铁片的铁片的总数=正方形铁片总数×2，列出方程组，再解即可．
【详解】（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，
则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，
根据题意得，解得：，
答：竖式铁容器加工103个，横式铁容器加工536个；
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，
根据题意得，解得：，
∵在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3=75（片），9张做正方形铁片可做9×4=36（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片75+1=76（片），正方形铁片36+2=38（片），
∴可做铁盒76÷4=19（个）
答：最多可加工成铁盒19个．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
27．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．幻圆是将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上数字之和相同，几条直径上的数字也相同．（注：圆周上的数字之和与直径上的数字之和不相等）如图是一个简单的二阶幻圆模型，根据图形，完成下面问题：
（1）当时，求和的值；
（2）用含的代数式表示．
【答案】（1）；（2）
【分析】根据圆周上数字之和相同，几条直径上的数字也相同，列出方程组求解即可．
【详解】（1）由题意可得：，
化简得：
解得：
（2）由题意可得：，化简得：
①－②得：，即．
【点评】本题考查了有理数的加法，读懂题意，能列出方程组即可．
28．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（?1，2），且||+=0，
（1）求a、b的值；
（2）在y轴上是否存在一点M，使△COM的面积为△ABC面积的，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或
【分析】（1）根据非负数的性质列方程组即可解决问题；
（2）先求出△ABC的面积为5，再根据题意可得出S△COM=?OM?1=，解方程即可解决问题．
【详解】（1）∵||+=0，
∴，
解得：；
（2）存在点M，理由如下：
由（1）得，
∴AB=5，
又点C的坐标为（-1，2），
∴，
∴，
又S△COM=×OM×1=，
∴，
故或．
【点评】本题考查非负数的性质、三角形的面积，坐标与图形性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
29．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?(
本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.
【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．
【详解】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?(
本题的答案不唯一)
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意,得，
解得.
则x+y=4+2.5=6.5(吨).
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
30．我市新建植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为我市市民春游踏青、赏四季花卉、观景的重要旅游景区．若该植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为米，宽为米；B园区为正方形，边长为米．
（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简：
（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加米，宽减少米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米，求此时x、y的值．
（3）在（2）的条件下，若整改后A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：
花的种类
C
D
投入（元/平方米）
13
16
收益（元/平方米）
18
26
求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益－投入）
【答案】（1）；（2）；（3）54000元
【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算、两园区的面积，再相加即可求解；
（2）根据等量关系：整改后区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；列出方程组求出，的值；
（3）进一步得到整改后、两园区的面积之和，再根据净收益收益-投入，列式计算即可求解．
【详解】（1）
（平方米）
答：、两园区的面积之和为平方米；
（2）
（米，
（米，
依题意有，
解得．
（3）（平方米），
（平方米），
（元．
答：整改后、两园区旅游的净收益之和为54000元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，关键是：（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
31．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．
（1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　
　，N＝　
　，L＝　
　．
（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数
①试求a，b的值．（提示：列方程组）
②求当N＝5，L＝14时，S的值．
【答案】（1）7，3，10；（2）①；②11
【分析】（1）将多边形DEFGHI拆分为直角三角形DEF，直角三角形DFI与正方形FGHI可求面积，再数出格点数即可；
（2）①将条件中的S＝2，N＝0，L＝6，以及（1）中所得的数据代入S＝aN+bL﹣1，建立方程组求解；②将N＝5，L＝14代入①中所得的关系式求解．
【详解】（1）观察图形，可得N＝3，L＝10，
故答案为：7，3，10；
（2）①根据题意得：
解得：
②∵S＝N+L﹣1，
∴将N＝5，L＝14代入可得S＝5+14×﹣1＝11．
【点评】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键．
32．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．”其译文是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银子．”
（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？
以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：
解：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：
①+②，得______________，
∴______________．
小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．
（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；
对于实数x，y，定义新运算；，其中a，b是常数．
已知，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）0
【分析】（1）将两式相加，再把结果两边同时除以7，可得结果；
（2）根据和得到，②×2-①可得：，从而可得的结果．
【详解】（1）设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：
，
①+②，得，
∴5，
∴1头牛、1只羊共值5两银子；
（2）∵，
且，
∴，即，
②×2-①可得：，
∴==0．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，理解整体思想的运用．
33．学校准备租用客车外出活动．现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车送330名师生集体外出活动（无空座），最节省的租车费用是多少？
【答案】（1）1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；（2）2960元．
【分析】（1）可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；
（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可．
【详解】（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有
，
解得：．
∴1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；
（2）根据题意，
∵，
∴当全部租用乙种客车11辆，则费用为：（元）；
∵，
∴当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，
费用为：（元）；
∵，
∴当租用甲种客车4辆，乙种客车5辆时，
费用为：（元）；
∵，
当租用甲种客车2辆，乙种客车8辆时，
费用为（元）；
综合上述，则当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，费用最少，费用为2960元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
34．在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
【答案】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米；（2）8人
【分析】（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可；
【详解】（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．
依题意，得：
解之得：
答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米．
（2）设甲工程队最多可以调走m人．
依题意，得：
8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m)
=6140．
解之得：m=8．
答：甲工程队最多可以调走8人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准等量关系列出方程组是解题的关键；
35．已知方程组和有相同的解．
（1）求，的值；
（2）若某三角形的三边长为，，，请求这个三角形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）解方程组求解即可；
（2）根据勾股定理判断三角形为直角三角形，在计算即可；
【详解】（1）解方程组，
得，
把代入第二个方程组得，
解得；
（2）∵，，
∴以，，为边的三角形是直角三角形，．
∴．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的求解，结合勾股定理计算是解题的关键．
36．2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳），为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
【答案】（1）足球的单价为100元，跳绳的单价为20元；（2）共有2种方案：方案一：购进足球18个，跳绳24根；方案二：购进足球21个，跳绳8根；（3）购进足球18个，跳绳24根时，销售获利最多
【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得80a+15b=1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为22.5，对a、b的值进行讨论得两种方案即可；
（3）求出方案一利润和方案二利润，即可得出结论．
【详解】（1）设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，
由题意可得：
解得：，
答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元．
（2）由题意得：80a+15b=1800，（a＞15），
当全买足球时，可买足球的数量为：=22.5，
∴15＜a＜22.5，
当a=16时，b=（舍去）；
当a=17时，b=（舍去）；
当a=18时，b=24；
当a=19时，b=（舍去）；
当a=20时，b=（舍去）；
当a=21时，b=8；
当a=22时，b=（舍去）；
∴有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；
方案二，购进足球21个，跳绳8根；
（3）方案一的销售利润为：（元）
方案二的销售利润为：（元）
∵，
∴购进足球18个，跳绳24根时，销售获利最多．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识；理解题意，列出方程组和方程是解题的关键．
37．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为　
　千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是：　
　小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是：　
　小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+）；（2+）；（3）36.
【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；
（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．
故答案为：2（a+b）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了千米，乙已经走了千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需小时到达B地，乙还需小时到达A地，
所以甲从A到B所用的时间为（2+
）小时，乙从B到A所用的时间为（2+）小时．
故答案为：（2+）；（2+）．
（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝小时．
依题意，得：
，
令x＝a+b，则原方程变形为，
解得：．
答：AB两地的距离为36千米．
【点评】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
38．武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成诚抗疫救灾．某公司筹集了抗疫物资120吨打算运往武汉疫区，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：
(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
运载量（吨/辆）
5
8
10
运费（元/辆）
450
600
700
（1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车
辆．
（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？
【答案】（1）4；（2）甲种车型需8辆，乙种车型需10辆；（3）甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元．
【分析】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案．
【详解】（1）（120-5×8-5×8）÷10=4（辆）．
答：丙型车4辆．
故答案为：4．
（2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得：
?，
解得：．
答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆．
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，由题意得
5a+8b+10（14-a-b）=120，
即a=4，
∵a、b、14-a-b均为正整数，
∴b只能等于5，
∴a=2，
14-a-b=7，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
则需运费450×2+600×5+700×7=8800（元），
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
39．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：
第一次
第二次
甲种货车（辆）
2
5
乙种货车（辆）
3
6
累计运货（吨）
13
28
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？
（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元
【分析】（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，根据总费用每辆车所需费用租用该种车的辆数，即可得出关于，的二元二次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．
（2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，
依题意，得：，
．
，均为非负整数，
为偶数，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．
（3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，
依题意，得：，
解得：，
．
答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．
40．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；
（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）与之间的数量关系为．
【分析】（1）根据非负数的性质和解二元一次方程组求解即可；
（2）设，先根据平移的性质可得，过D作轴于P，再根据三角形ADP的面积得出，从而可得，然后根据线段的和差可得，由此即可得出答案；
（3）设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ，设，由平行线的性质可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）∵，且
∴
解得：
则；
（2）设
∵将线段AB平移得到CD，
∴由平移的性质得
如图1，过D作轴于P
∴
∵
∴
即
解得
∴
∴；
（3）与之间的数量关系为，求解过程如下：
如图2，设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ
∵HD平分，HF平分
∴设
∵AB平移得到CD
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
【点评】本题属于一道较难的综合题，考查了解二元一次方程组、平移的性质、平行线的性质等知识点，较难的是题（3），通过作两条辅助线，构造平行线，从而利用平行线的性质是解题关键．
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精品试卷·第
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专题12：二元一次方程组与实际问题
一、单选题
1．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．35
B．45
C．55
D．65
2．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（）
A．
B．
C．
D．
3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知直角坐标系中，点P（x，y）满足，则点P坐标为（
）
A．（2，-3）
B．（-3，-1.5）
C．（-2，-3）
D．（3，-1.5）
5．把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管(要求两种规格至少有一根)．在不造成浪费的情况下，不同的截法有（
）
A．1种
B．2种
C．3
D．4种
6．已知方程组的解x与y互为相反数，则a等于（　　）
A．3
B．﹣3
C．﹣15
D．15
7．已知|x+y－1|+(x－y+3)2=0，则(x+y)2019的值是（
）
A．22019
B．－1
C．1
D．－22019
8．把一张50元的人民币换成10元或5元的人民币，共有??????
A．4种换法
B．5种换法
C．6种换法
D．7种换法
9．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把C写错了解得，那么a、b、c的正确的值应为
A．
B．
C．
D．
10．甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax-by=7看成ax-by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．根据图中提供的信息,可知一个杯子的价格是______.
12．数学课外小组的学生分组外出活动，若每组6人，则余下4人，若每组8人，则少4人，设数学课外小组人数为x人，组成的组数为y组，根据题意可列方程组______．
13．某厂有甲、乙两个车间，若从乙车间调12人到甲车间，则甲车间人数是乙车间人数的3倍；若从甲车间调10人到乙车间，则甲车间比乙车间少4人．甲车间原来有工人_____人，乙车间原来有工人______人．
14．有两个有理数，其和为1，其差为5，则其积为__________.
15．已知与互为补角，且的比大，则的余角等于_______．
16．古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各有钱若干，如果甲得到乙的10个钱，那么甲所有的钱就比乙所剩的多4倍；如果乙得到甲的10个钱，那么两人所有的钱相等，甲原有钱_______个，乙原有钱_________个．
三、解答题
17．若关于的方程组的解满足，求的取值范围.
18．对于实数、，定义关于“”的一种运算：．例如．
（1）求的值；
（2）若，，求和的值．
19．阅读下列材料：
将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．也称这个数为“要塞数”．例如：将数1078分解为8和107，107﹣8×2＝91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，就称1078为“要塞数”．
完成下列问题：
（1）若一个三位自然数是“要塞数”，且个位数字和百位数字都是7，则这个三位自然数位　
　；
（2）若一个四位自然数M是“要塞数”，设M的个位数字为x，十位数字为y，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，记F（M）＝|x﹣y|，求F（M）的最大值．
20．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
21．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
22．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是我市的电价标准（每月）．
（1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值
（2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量
阶梯
电量x（单位：度）
电费价格
一档
0＜x≤180
a元/度
二档
180＜x≤350
b元/度
三档
x＞350
0.9元/度
23．完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
24．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．
（1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．
（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？
25．若实数的平方根为方程的一组解．
（1）求的值；
（2）若的小数部分为，求．
26．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则需要长方形铁片与正方形铁片各多少张？
（2）现有长方形铁片2020张，正方形铁片1175张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
27．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．幻圆是将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上数字之和相同，几条直径上的数字也相同．（注：圆周上的数字之和与直径上的数字之和不相等）如图是一个简单的二阶幻圆模型，根据图形，完成下面问题：
（1）当时，求和的值；
（2）用含的代数式表示．
28．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（?1，2），且||+=0，
（1）求a、b的值；
（2）在y轴上是否存在一点M，使△COM的面积为△ABC面积的，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
29．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
30．我市新建植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为我市市民春游踏青、赏四季花卉、观景的重要旅游景区．若该植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为米，宽为米；B园区为正方形，边长为米．
（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简：
（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加米，宽减少米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米，求此时x、y的值．
（3）在（2）的条件下，若整改后A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：
花的种类
C
D
投入（元/平方米）
13
16
收益（元/平方米）
18
26
求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益－投入）
31．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．
（1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　
　，N＝　
　，L＝　
　．
（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数
①试求a，b的值．（提示：列方程组）
②求当N＝5，L＝14时，S的值．
32．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．”其译文是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银子．”
（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？
以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：
解：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：
①+②，得______________，
∴______________．
小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．
（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；
对于实数x，y，定义新运算；，其中a，b是常数．
已知，求的值．
33．学校准备租用客车外出活动．现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车送330名师生集体外出活动（无空座），最节省的租车费用是多少？
34．在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
35．已知方程组和有相同的解．
（1）求，的值；
（2）若某三角形的三边长为，，，请求这个三角形的面积．
36．2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳），为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
37．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为　
　千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是：　
　小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是：　
　小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
38．武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成诚抗疫救灾．某公司筹集了抗疫物资120吨打算运往武汉疫区，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：
(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
运载量（吨/辆）
5
8
10
运费（元/辆）
450
600
700
（1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车
辆．
（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？
39．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：
第一次
第二次
甲种货车（辆）
2
5
乙种货车（辆）
3
6
累计运货（吨）
13
28
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？
（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
40．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；
（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系．
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精品试卷·第
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