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专题14：不等式
一、单选题
1．已知，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，即可确定答案．
【详解】A、根据不等式基本性质1两边同时加上3，不等号不发生改变，故本项错误；
B、根据不等式的基本性质2和3，不等式两边同时乘以c，c>0则不改变不等号方向，c<0则改变不等号的方向，因为无法判断c的正负，故本项错误；
C、根据不等式的基本性质2，两边同时乘以，因为>0，则不改变不等号方向，故本项正确；
D、根据不等式的基本性质1，两边加上或减去的必须是同一个数，故本项错误；
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
2．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.
【详解】
6x+15>8x+6
6x-8x>6-15
-2x>-9
x<4.5
因此答案选择B.
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
3．若m＜n，则下列不等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】A．∵m＜n，∴1+m＜1+n，∴1+m＜2+n，正确，不合题意；
B．∵m＜n，∴2﹣m＞2﹣n，故此选项错误，符合题意；
C．∵m＜n，∴3m＜3n，正确，不合题意；
D．∵m＜n，∴，正确，不合题意．
故选B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质．掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．若a＞b，则下列式子正确的是（　　）
A．b+2＞a﹣2
B．﹣2017a＞﹣2017b
C．4﹣a＞4﹣b
D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质
(①不等式的两边都加上或减去同一个数或整式,
不等号的方向不变,②不等式的两边都乘以或除以同一个正数,
不等号的方向不变,③不等式的两边都乘以或除以同一个负数,
不等号的方向改变)逐个判断即可.
【详解】解:A,a>b,a-2＞b-2,无法得出A中结论，故本选项错误;
B.
a>b,
﹣2017a＜﹣2017b,故本选项错误;
C.
a>b,
-a<-b,4-a<4-b,
故本选项错误;
D.
a>b,
>,
故本选项正确;
故选D.
【点评】本题考查了对不等式的性质的应用,
主要考查学生的辨析能力,
是一道比较典型的题目,难度适中.
5．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．ac＜bc
B．a2＜b2
C．a+1＜b+1
D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变可对C进行判断；通过举例子如可a=﹣1，b=0可对B进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变可对D进行判断；由于c的值不确定，若c=0可对A进行判断．
【详解】A、∵a＜b，c的值不确定，∴ac＜bc不一定正确，故此选项错误；
B、当a=﹣1，b=0，a＜b时，a2＜b2不正确，故此选项错误；
C、∵a＜b，∴a+1＜b+1，正确；
D、∵a＜b，∴，故此选项错误，
故选C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
6．用不等式表示图中的解集，其中正确的是(
)
A．x＞－3
B．x＜－3
C．x≥－3
D．x≤－3
【答案】C
【解析】
由数轴知不等式的解为x≥－3，故选C.
7．小颖同学准备用26元买笔和笔记本，已知一支笔2元，一本笔记本3元，他买了5本笔记本，最多还能买多少支笔？设他还能买支笔，则列出的不等式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】设买x支笔，然后根据最多有26元钱列出不等式即可.
【详解】设可买x支笔
则有：2x+3×5≤26，
故选A.
【点评】本题考查的是列一元一次不等式，解此类题目时要注意找出题目中不等关系即为解答本题的关键．
8．如果，那么下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的乘法符号法则作答．
【详解】∵ab＜0，
∴a与b异号，
∴a＜0，b＞0或a＞0，b＜0．
故选D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负．
9．下列说法：①x与3的差不是正数，即；②x是负数，即；③x的平方是非负数，即；④x大于0且不大于2的数，即；其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式，
找出正确的个数，注意和、差、大于、小于等关键描述词.
【详解】①
x－3不是正数，则x－3为负数或0，得x－3≤0，本项正确.
②
x为负数，x＜0显然正确.
③
x2是非负数，则x2为正数或0，得x2≥0，本项正确.
④
显然0＜x≤2，本项正确.
所以正确的有四个，答案选D.
【点评】本题考查了一元一次不等式，关键在于清楚认识到非负数、非正数和0的大小关系，还有不大于、不小于的意思.
10．若a＞b＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣a＞﹣b
B．＞
C．a3＜0
D．a2＞b2
【答案】D
【解析】
A、不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，错误；
B、3＞2＞0，但＜，错误；
C、正数的奇次幂是正数，a3＞0，错误；
D、两个正数，较大的数的平方也大，正确；
故选D.
二、填空题
11．“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____．
【答案】5+2m＜0
【解析】
【分析】根据题意列不等式可得答案.
【详解】解:由题意得：5与m的2倍的和是负数,
可列不等式：5+2m＜0
故答案为：5+2m＜0.
【点评】本题主要考查列不等式，较简单.
12．已
知
a
是
小
于
3
的
整
数
，
且
a
-2
，
那
么
a
的
所
有
可
能
值是_____________．
【答案】2,3,4,5.
【分析】根据实数与绝对值的性质求得a的取值即可求解.
【详解】∵2＜＜3，
∴5＜3
＜6，
∵a
是
小
于
3
的
整
数
∴a≤5，
∵
a
-2
∴2-a≤0，
故2≤a≤5，
故那么a的所有可能值是2，3,4,5.
故填2,3,4,5.
【点评】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是熟知实数与绝对值的性质.
13．一种药品的说明书上写着：“每日用量60~120mg，分4次服用”，一次服用这种药量x(mg)范围为_________．
【答案】15mg＜x＜30
【详解】根据题意，由“每日用量60～120mg，分4次服用”，用60÷4=15（mg/次），120÷4=30（mg/次）得到每天服用这种药的剂量为：15mg≤x≤30mg．
故答案为15≤x≤30.
【点评】本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用60mg时4次每次的剂量；每天服用120mg时4次每次的剂量，然后找到最大值与最小值．
14．若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
【答案】-2
-3
【分析】先求出每个不等式的解集,
再求出不等式组的解集,
即可得出关于a、b的方程,
求出即可.
【详解】由题意得：
解不等式
①
得:
x>1+a
,
解不等式②得:x≤
不等式组的解集为:
1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1,
=1,
解得:a=-2,b=-3
故答案为:
-2,
-3.
【点评】本题主要考查解含参数的不等式组.
15．当=_______时，不等式永远成立．
【答案】6
【分析】将原不等式化为，由不等式恒成立，可知与x无关，则问题可解.
【详解】原不等式化为.
∵不等式恒成立，
∴，解得.
【点评】本题考查了不等式的成立的条件，解答关键是注意由题意可知，不等式恒成立时，未知数系数为0.
16．当x【答案】x2＞ax
【分析】原等式两边都乘负数x即可
【详解】根据题意x＜a＜0，
可由不等式的基本性质3，不等式的两边都乘以x得：x2＞ax.
故答案为x2＞ax.
【点评】此题主要考查了不等式的性质3，解题的关键是利用性质：在不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变，求解时注意不等号方向的改变.
三、解答题
17．若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
【答案】2﹣3x＞2﹣3y
【分析】根据不等式的性质，由x＜y，可得﹣x＞﹣y，再判断出2﹣3x与2﹣3y的大小
【详解】∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴﹣3x＞﹣3y，
∴2﹣3x＞2﹣3y．
【点评】主要考察不等式的基本性质
18．k
取何整数时，方程组中的
x
大于
1
且
y
小于
1?
【答案】
【分析】解出二元一次方程组中x、y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．
【详解】解得：，
由题意得：，
，
，
时，方程组中的x大于1且y小于1.
【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x，y都为正数，则解出x，y关于k的式子，最终求出k的范围，即可知道k的值．
19．若正数、、满足不等式组，试确定、、的大小关系．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质将三个不等式都变为a＋b＋c的取值范围，从而得出a、c的大小关系和b、c的大小关系，从而得出结论．
【详解】
①得
，④
②得
，⑤
③得
，⑥
由④，⑤得
，
所以
同理，由④，⑥得，
所以，，的大小关系为．
【点评】此题考查的是解不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．
20．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题.
（1）完成下列填空：
已知
用“”“或“”填空
_______
_______
（2）一般地，如果那么_______（用“”或“”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性
【答案】（1）>、<；（2）<，理由见解析.
【分析】（1）根据有理数的运算即可得出；
（2）利用（1）的规律判断，利用不等式的基本性质即可证明.
【详解】（1），，故答案为>、<；
（2）结论：，理由如下：
∵，∴，
∵，∴.
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
21．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料
甲种原料
乙种原料
维生素C含量（单位/千克）
500
80
原料价格（元/千克）
16
4
（1）现配制这种饮料9千克，要求至少含有4000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式；
（2）如果还要求甲、乙两种原料的费用不超过70元，试写出x（kg）应满足的另一个不等式．
【答案】（1）500x+80（9﹣x）≥4000；（2）16x+4（9﹣x）≤70．
【分析】（1）所需甲种原料的质量xkg，则所需乙种原料的质量（9-x）kg，根据“至少含有4000单位的维生素C”可得不等式；
（2）所需甲种原料的质量xkg，则所需乙种原料的质量（9-x）kg，根据“甲、乙两种原料的费用不超过70元”列出不等式．
【详解】（1）设所需甲种原料的质量xkg，由题意得：
500x+80（9﹣x）≥4000；
（2）由题意得：16x+4（9﹣x）≤70．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出不等式．
22．已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围.
【答案】a＜－
【解析】
整体分析：
根据－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，可以判断a＜0，由不等式的性质可求解.
解：因为x=-4是不等式ax＞9的一个解，所以a＜0，
所以不等式ax＞9的解集为x＜，
所以-4＜，
解得a＜－.
23．已知：关于x的方程＝m的解为非正数，求m的取值范围．
【答案】.
【分析】本题是于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得m的值．
【详解】方程，
2x+2m-6x+3=6m，
-4x=4m-3，
．
因为它的解为非正数，即x≤0，
∴，
得m≥．
【点评】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
24．小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）
根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．
【答案】③＞①＞②＞④
【解析】
试题分析：利用已知天平得出：①＞②，②+③＞①+④，①+②=③+④，进而比较得出即可．
试题解析：由题意可得：①＞②，②+③＞①+④，①+②=③+④，
因为
①＞②，②+③＞①+④，所以②+③＞①+④＞②+④，所以③＞④；
因为①+②=③+④，所以①﹣③=④﹣②，又②+③＞①+④，
所以②﹣④＞①﹣③＞④﹣②，所以②＞④，所以①＞②＞④；
因为①+②=③+④，所以①﹣④=③﹣②＞0，
所以③＞②；④﹣②＜0，所以①﹣③＜0，所以③＞①；
综上，③＞①＞②＞④．
25．已知，其中a，b，c是常数，且.
（1）当时，求a的范围.
（2）当时，比较b和c的大小.
（3）若当时，成立，则的值是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将代入不等式，即可解出a的范围；
（2）当时，可知，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；
（3）当时，可知，根据不等式的性质可得，即，结合
可知，即可求出的值.
【详解】（1）将代入不等式得
，解得
（2）当时，
不等式两边同除以得
∴
∴
（3）当时，
不等式两边同除以得
∴
又∵
∴
∴
【点评】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
26．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中，，）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数中，，所以就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除的最大的喜马拉雅数记为，能被自然数整除的最小的喜马拉雅数记为．
（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；
（2）求的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）112221．
【解析】
分析：(1)根据喜马拉雅数的定义求出各个数位上的数字之和；(2)根据能被自然数8整除的最小的喜马拉雅数记为的整除的特征，与各数位上的数字的特点求得I(8).
详解：(1)各数位数字之和为：
a＋b＋c＋b＋a＝2a＋2b＋c＝2a＋2b＋(a＋b)＝3(a＋b).
∵a，b是整数，
∴a＋b是整数.
∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除
(2)根据题意得：F(3)＝90909.
I(8)＝＝1263a＋139b－，
∵喜马拉雅数能被8整除，
∴3a＋2b能被8整除.
∵，，，
∴.
∴3a＋2b＝8或16或24.
则I(8)＝21312.
∴F(3)＋I(8)＝90909＋21312＝112221.
【点评】新定义题是历年的热点题，它的实质是一种规定，规定某种运算方式，规定某个概念的特征性质，然后要求按照规定去计算.求值，解决此类问题，关键是要正确理解新定义的运算的意义，本题的头关键是抓住喜马拉雅数的特征．
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精品试卷·第
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专题14：不等式
一、单选题
1．已知，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若m＜n，则下列不等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．若a＞b，则下列式子正确的是（　　）
A．b+2＞a﹣2
B．﹣2017a＞﹣2017b
C．4﹣a＞4﹣b
D．
5．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．ac＜bc
B．a2＜b2
C．a+1＜b+1
D．
6．用不等式表示图中的解集，其中正确的是(
)
A．x＞－3
B．x＜－3
C．x≥－3
D．x≤－3
7．小颖同学准备用26元买笔和笔记本，已知一支笔2元，一本笔记本3元，他买了5本笔记本，最多还能买多少支笔？设他还能买支笔，则列出的不等式为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如果，那么下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．或
9．下列说法：①x与3的差不是正数，即；②x是负数，即；③x的平方是非负数，即；④x大于0且不大于2的数，即；其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．若a＞b＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣a＞﹣b
B．＞
C．a3＜0
D．a2＞b2
二、填空题
11．“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____．
12．已
知
a
是
小
于
3
的
整
数
，
且
a
-2
，
那
么
a
的
所
有
可
能
值是_____________．
13．一种药品的说明书上写着：“每日用量60~120mg，分4次服用”，一次服用这种药量x(mg)范围为_________．
14．若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
15．当=_______时，不等式永远成立．
16．当x三、解答题
17．若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
18．k
取何整数时，方程组中的
x
大于
1
且
y
小于
1?
19．若正数、、满足不等式组，试确定、、的大小关系．
20．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题.
（1）完成下列填空：
已知
用“”“或“”填空
_______
_______
（2）一般地，如果那么_______（用“”或“”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性
21．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料
甲种原料
乙种原料
维生素C含量（单位/千克）
500
80
原料价格（元/千克）
16
4
（1）现配制这种饮料9千克，要求至少含有4000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式；
（2）如果还要求甲、乙两种原料的费用不超过70元，试写出x（kg）应满足的另一个不等式．
22．已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围.
23．已知：关于x的方程＝m的解为非正数，求m的取值范围．
24．小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）
根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．
25．已知，其中a，b，c是常数，且.
（1）当时，求a的范围.
（2）当时，比较b和c的大小.
（3）若当时，成立，则的值是多少？
26．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中，，）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数中，，所以就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除的最大的喜马拉雅数记为，能被自然数整除的最小的喜马拉雅数记为．
（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；
（2）求的值．
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