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专题16：一元一次不等式组
一、单选题
1．七年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（
）
A．8x769(x1)
B．8x739(x1)
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】由于设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，那么可以得到8x+7＜6+9（x-1）和8x+7＞3+9（x-1），由它们组成不等式组即可求出学生人数与种植树木数量．
【详解】∵设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，
而若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，
∴依题意得.
故选C．
【点评】考查了不等式组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出不等式组．弄清如何用x分别表示学生人数与种植树木数量，并且根据题意列出不等式组解决问题．
2．团体购买某公园门票，票价如表，某单位现要组织其市场部和生产部的员工游览该公园．如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元．那么该公司这两个部门的人数之差为（　　）
A．20
B．35
C．30
D．40
【答案】C
【解析】
【分析】根据990不能被13整除，得两个部门人数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组进行求解即可．
【详解】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11
（a+b）=990得：a+b=90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b=1290
②
解①②得：b=150，a=-60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9
（a+b）=990，得
a+b=110
③
由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
得11a+13b=1290
④，
解③④得：a=70人，b=40人
故两个部门的人数之差为70-40=30人，
故选C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用和不等式组的应用，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力．
3．运算程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否<18”为一次程序操作，若输入后程序操作仅一次就停止了，则的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据运算程序，列出算式：，由于运行了一次就停止，所以列出不等式，通过解该不等式得到的取值范围．
【详解】依题意得：，
解得．
故选B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程序转化问题化为不等式，难度一般．
4．如果不等式组
的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）的个数是（　　）
A．5
B．6
C．12
D．4
【答案】B
【分析】首先解不等式组，不等式的解集即可用a,b表示，根据不等式组的整数解仅为1,2,3，即可确定a,b的范围，再确定a,b的整数解，然后得到有序数对的个数.
【详解】，
由得：
,
由②得：
，
不等式组的解集为：，
∵整数解仅为1,2,3
∴0,3＜4
解得：0a3,6＜8，
∴a=1,2,3
b=6，7
∴整数a,b组成是有序数对（a，b）共有（1,6）（1,7）（2,6）（2,7）（3,6）（3,7）即6个
故选B.
【点评】考察不等式组的解集，再利用有限个整数解来解决此题.
5．不等式组有（　　）个整数解．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，即可确定出整数解．
【详解】，
由①得：x＞﹣，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤3，
则整数解为0，1，2，3，共4个，
故选C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的确定方法是解题的关键．
6．已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞﹣2
B．a≥﹣2
C．a＜2
D．a≥2
【答案】C
【分析】分别解这两个不等式，得出解集，既然有解，根据同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则，建立适当的不等式，进行解答．
【详解】由（1）得，由（2）得，故原不等式组的解集为，
不等式组有解，
的取值范围为．
故选．
【点评】解不等式组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则解答．
7．已知和是关于
x
,
y的方程kx
2
y
5
的两组解，且0
k
4则
n
的值可以是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】
【分析】把和分别代入kx
2
y
5，整理得k=12-2n，结合不等式组求解.
【详解】把和分别代入kx
2
y
5，得
-①得
K+2n=12
所以k=12-2n
因为0
k
4
所以012-2n
4
解得4所以n可能是5.
故选C
【点评】考核知识点：不等式组和方程组.用不等式组分析问题是关键.
8．已知实数，同时满足三个条件：①；②；③，那么实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】先把p看成已知数，把①②组成方程组求得x，y的解，根据所给的不等式即可求得实数p的取值范围．
【详解】由已知得：
解得x=3+p，y=2p-1
∵
∴3+p＞2p-1
∴p＜4
故选D．
【点评】主要考查了方程与不等式的综合运用．此类题目一般是给出两个含有字母的二元一次方程和一个关于方程中未知数的不等关系，求方程中所含字母的取值范围．方法是：先根据所给方程联立成方程组，用含字母的代数式表示方程的解，并把解代入不等关系中列成一个关于字目系数的不等式，解不等式可得所求字母的取值范围．
9．已知不等式：①，②，③，④，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（
）
A．①与②
B．②与③
C．③与④
D．①与④
【答案】D
【分析】根据已知不等式，通过观察可知：②③不能构成正整数解2，故①④符合题意，然后解不等式验证即可．
【详解】由已知不等式，通过观察可知：②③不能构成正整数解2，
故
，
解得：1故选D.
【点评】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握运算法则.
10．若不等式组的解
为，则值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于和的方程，题目比较好，综合性比较强．
11．若关于x的不等式mx-
n＞０的解集是，则关于x的不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解不等式mx-
n＞０，根据解集可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式可求得
【详解】解不等式：mx-
n＞０
mx＞n
∵不等式的解集为：
∴m＜0
解得：x＜
∴，∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
将m=5n代入得：
∴x＜
故选；B
【点评】本题考查解含有参数的不等式，解题关键在在系数化为1的过程中，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号.
12．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一元一次不等式(a－1)x＜a＋5成立，则a的取值范围满足的不等式组是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
解不等式2x＜4，可得x＜2，由不等式的解相同，解含a的不等式（a-1）x＜a+5，可知a-1＞0，≥2，即a的取值范围满足的不等式组为.
故选：D.
二、填空题
13．如图，用如图①中的张长方形和张正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.若，用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则_____，_____.
【答案】225，
75.
【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒（30+x）个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解.
【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒（30+x）个，
∵
∴
解得
∵x为整数，∴x=15，
故a==225，
b==75
【点评】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解.
14．不等式组的整数解是__________．
【答案】1，2
【分析】先解此不等式组，再根据不等式组的解集找出符合条件的整数解，即可得出答案.
【详解】
由①式可得：x≥1
由②式可得：x<1+2
x<3
综上，此不等式组的解集为：1≤x<3
∴此不等式组的整数解为：1,2.
【点评】本题主要考查了不等式组的整数解问题，属于基础知识点.
15．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式①，得
;
（Ⅱ）解不等式②，得
；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为
.
【答案】；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）
【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，再根据数轴找出不等式组的公共部分即可
【详解】（Ⅰ）不等式①移项，得x+x>1-6；合并同类项，得x>-5；化系数为1，得x>-3故答案为x>-3
（Ⅱ）不等式②移项，得x-x-3-1；合并同类项，得-2x；化系数为1，得x故答案为x
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）根据数轴上的公共部分可得原不等式组的解集为-3【点评】此题主要考查解一元一次不等式组，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集
16．不等式组的最大整数解为________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【详解】
解不等式①得，x＜1，
解不等式②得，x≥-3，
所以，不等式组的解集为：-3≤x＜1,
故不等式组的最大整数解为0.
故答案为0.
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）、不等式组的整数解等知识点的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集．
17．不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再进一步确定字母的取值范围即可.
【详解】对于，解不等式①得：
，解不等式②得：，
因为原不等式组有解，所以其解集为，
又因为原不等式组恰有两个整数解，所以其整数解应为7，8，
所以实数a应满足，解得.
故答案为.
【点评】本题考查了不等式组的解法和整数解的确定，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，尤其是性质3，即不等式的两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变，这在解不等式时要随时注意.
18．小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的裝修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x，y均为整数，且满足y地面
墙面（含门窗）
房顶
小李
木地板
木质墙面
木质吊顶
小张
地砖
复合材料墙面
乳胶漆
【答案】
【分析】设每平方米木地板a元，木制吊顶b元，地砖m元，乳胶漆n元，则复合材料墙面元，木质墙面元，根据题意列出不等式组，得到，根据“小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元”列式即可求解．
【详解】设每平方米木地板a元，木制吊顶b元，地砖m元，乳胶漆n元，
则复合材料墙面元，木质墙面元，
根据题意可得，
解得，
小李的总花费，
小张的总花费，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
【点评】本题考查不等式组的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
三、解答题
19．解不等式组并写出它的负整数解．
【答案】；这个不等式组的负整数解是
【分析】先分别求出不等式的解集，得到不等式组的解集，由此得到负整数解．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴这个不等式组的解集是，
∴这个不等式组的负整数解是．
【点评】此题考查解不等式组，求不等式组的负整数解，正确解不等式是解题的关键．
20．已知，点A、B在数轴上表示的数如图所示，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧．
（1）求x的取值范围；
（2）若线段，求x的值．
【答案】（1）-3【分析】（1）根据点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，则点A表示的数为负，点B表示的数为正，从而得关于x的不等式组，解不等式组，即可得x的取值范围；
（2）由于点A、B在原点O的两侧，且OA=OB，则点A表示的数与点B表示的数互为相反数，其和为0，则可得方程，解方程即可．
【详解】（1）由题意知，点A表示的数为负数，点B表示的数为正数，则有
解得：
即x的取值范围为：．
（2）由题意知，x-2与2x+6互为相反数，故得：x-2+2x+6=0
解得：
即当时，有OA=OB．
【点评】本题考查了数轴，解不等式组及解方程等知识，关键根据两个点在数轴上的特征得到不等式组或方程．
21．某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立个中型图书馆和个小型图书馆需要万元，建立个中型图书馆和个小型图书馆需要万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过万元，那么有哪几种方案？
【答案】（1）建立每个中型图书馆需要万元，建立每个小型图书馆需要万元；（2）一共有种方案：方案一：中型图书馆个，小型图书馆个；方案二：中型图书馆个，小型图书馆个；方案三：中型图书馆个，小型图书馆个．
【分析】（1）设建立每个中型图书馆万元，建立每个小型图书馆万元，根据建立个中型图书馆和个小型图书馆需要万元，建立个中型图书馆和个小型图书馆需要万元，列方程组求解．
（2）设建立中型图书馆个，根据要建立中型图书馆和小型图书馆共个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过万元，列出不等式组求解．
【详解】（1）设建立每个中型图书馆万元，建立每个小型图书馆万元，
根据题意列方程组：，
解得：，
答：建立每个中型图书馆需要万元，建立每个小型图书馆需要万元；
（2）设建立中型图书馆个，则中型图书馆个，
根据题意得：，
解得：，
∵取正整数，
∴a=5，6，7，
∴10-a=5，4，3，
答：一共有种方案：
方案一：中型图书馆个，小型图书馆个；
方案二：中型图书馆个，小型图书馆个；
方案三：中型图书馆个，小型图书馆个．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组或不等式组求解．
22．抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资．某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元，84消毒液和酒精的进价和售价如下：
84消毒液
酒精
进价（元/瓶）
25
20
售价（元/瓶）
40
28
（1）该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利6100元，则84消毒液和酒精各销售了多少瓶？
（2）随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批84消毒液和酒精，第二次采购仍以原价购进84消毒液和酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的2倍，84消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将84消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4900元，则每瓶酒精最多打几折？
【答案】（1）销售84消毒液300瓶，酒精200瓶；（2）每瓶酒精最多打7.5折．
【分析】（1）设84消毒液和酒精各销售了x，y瓶，根据“销售完这批84消毒液和酒精后共获利6100元”列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设酒精打m折，根据第二次的销售获利不少于4900元，列出不等式，即可得到答案．
【详解】（1）设84消毒液和酒精各销售了x，y瓶，
根据题意得：，解得：，
答：销售84消毒液300瓶，酒精200瓶；
（2）设酒精打m折，
由题意得：，
解得：m≥7.5，
答：每瓶酒精最多打7.5折．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，根据数量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．
23．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．
（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？
（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？
（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？
【答案】（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次
【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购买B类年票，这两种方式何者次数更多即可．
（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A类年票、购买B类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可．
（3）小明选择购买A类年票，说明A类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．
【详解】（1）由于预算限制，小丽不可能买A类年票；若直接购票，可以进中心次；若购买B类年票，可进中心次，所以应该购买
B
类年票．
（2）若直接购买门票，需花费元；若购买A类年票，需花费120元；若购买B类年票，需花费元；所以应该购买B类年票．
（3）设小明每年进拓展中心约x次，根据题意列出不等式组：
，解得，故．
所以小明一年中进入拓展中心不低于30次．
【点评】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．
24．若点的坐标满足．
（1）当，时，求点的坐标；
（2）若点在第二象限，且符合要求的整数只有三个，求的取值范围；
（3）若点为不在轴上的点，且关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
【答案】（1）（-3，0）；（2）0≤b＜1；（3）t＞
【分析】（1）解方程组得，当a=1，b=1时，，即可得出答案；
（2）解方程组得，由点P在第二象限，得x=a-4＜0，a-b＞0，则a＜4，a＞b，由题意得出a=1，2，3，得出0≤b＜1即可；
（3）由（1）得x=a-4，y=a-b，P（a-4，a-b），由题意得出y=a-b≠0，a≠b，由不等式的解集得关于z的方程yz+x+4=0的解为z=，得出b=a，求出a＞0，解不等式即可．
【详解】（1）解方程组得：，
当a=1，b=1时，，
∴点P的坐标为（-3，0）；
（2）若点P在第二象限，则x=a-4＜0，a-b＞0，
∴a＜4，a＞b，
∵符合要求的整数a只有三个，
∴a=1，2，3，
∴0≤b＜1，
即b的取值范围为0≤b＜1；
（3）由（1）得：x=a-4，y=a-b，P（a-4，a-b），
∵点P为不在x轴上的点，
∴y=a-b≠0，
∴a≠b，
∵关于z的不等式yz+x+4＞0的解集为z＜，
yz＞-（x+4），
∴y＜0，则z＜，
∴，
代入得：5a=2b，且a＜b，
∴a＜a，
∴a＞0，
∵at＞b，
∴at＞a，
∴t＞．
【点评】本题是综合题，考查了二元一次方程组的解法、点的坐标特征、一元一次不等式的解法等知识；本题综合性强，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
25．阅读材料：形如的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式；
（3）已知，求的整数值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1），转化为不等式组；
（2）根据方法二的步骤解答即可；
（3）根据方法二的步骤解答，得出，即可得到结论．
【详解】（1），
转化为不等式组；
（2），
不等式的左、中、右同时减去3，得，
同时除以，得；
（3），
不等式的左、中、右同时乘以3，得，
同时加5，得，
的整数值或．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，参照方法二解不等式组是解题的关键，应用的是不等式的性质．
26．为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买条口罩生产线，现有甲、．乙两种型号的口罩生产线．经调查：购买台甲型口罩生产线比购买台乙型口罩生产线多花万元；购买条甲型口罩生产线与购买条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩万只，若每天要求产量不低于万只，预算购买口罩生产线的资金不超过万元，为了节约资金，请你为该公司设计--种最省钱的购买方案．
【答案】（1）甲型口罩生产线每条的价格为10万元，乙型口罩生产线每条的价格为8万元；（2）有三套方案，最省钱的购买方案为：购买甲型3条、乙型7条
【分析】（1）分别设甲、乙两种生产线的单价为x万元和y万元，由题意可列出二元一次方程组，再求解即可；
（2）设购买甲型口罩生产线条，进而乙型口罩生产线条，再由题意列出一元一次不等式组求解即可．
【详解】设甲型口罩生产线每条的价格为万元，乙型口罩生产线每条的价格为万元，
根据题意得：
解得
答：甲型口罩生产线每条的价格为万元，乙型口罩生产线每条的价格为万元．
设购买甲型口罩生产线条，则购买乙型口罩生产线条，
根据题意得：
解得
取整数
该厂有种购买方案，
设购买口罩生产线总费为万元，
则
由一次函数的性质可知，随着的增大而增大，
当时，取得最小值，此时
最省钱的购买方案为：购买甲型条、乙型条．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意分别列出方程和不等式是解题关键．
27．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．
（1）当时，
平方厘米；当时，
平方厘米；
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；
（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．
【答案】（1）1；
（2）
（3）
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据题意列出不等式组故可求解；
（3）分Q点在AB上、BC上和CD上分别列出方程即可求解．
【详解】（1）当时，=1平方厘米；
当时，=平方厘米；
故答案为；；
（2）解：根据题意，得
解得，
故的取值范围为；
（3）当Q点在AB上时，依题意可得
解得；
当Q点在BC上时，依题意可得
解得＞6，不符合题意；
当Q点在AB上时，依题意可得或
解得或；
∴值为．
【点评】此题主要考查不等式组与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程或不等式组进行求解．
28．关于的二元一次方程组（是常数），．
（1）当时，求c的值．
（2）当时，求满足的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析．
【分析】（1）由题意，得，解得代入已知式可得，代入即可求得；
（2）当时，方程为，即x+3y=5，根据方程和解的范围即可求得；
（3）由题意，得，x、y均为正整数，则，a是正整数，则y-2是负整数，从而求得y=1，把y=1代入①得，ax=1，即可求得a=1，此时方程的正整数解是x=1，y=1．
【详解】（1），
，
，
将代入上式得，
解得，
．
（2）当时，，
原方程为，
即，
∴，
又∵，
，，．
（3），
，
整理得，
两边同时除以a得，
整理得，
是正整数，
，
，
，
即，
是正整数，
，
代入方程得，
则，
是正整数，a是正整数，
．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．
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专题16：一元一次不等式组
一、单选题
1．七年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（
）
A．8x769(x1)
B．8x739(x1)
C．
D．
2．团体购买某公园门票，票价如表，某单位现要组织其市场部和生产部的员工游览该公园．如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元．那么该公司这两个部门的人数之差为（　　）
A．20
B．35
C．30
D．40
3．运算程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否<18”为一次程序操作，若输入后程序操作仅一次就停止了，则的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如果不等式组
的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）的个数是（　　）
A．5
B．6
C．12
D．4
5．不等式组有（　　）个整数解．
A．2
B．3
C．4
D．5
6．已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞﹣2
B．a≥﹣2
C．a＜2
D．a≥2
7．已知和是关于
x
,
y的方程kx
2
y
5
的两组解，且0
k
4则
n
的值可以是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．已知实数，同时满足三个条件：①；②；③，那么实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知不等式：①，②，③，④，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（
）
A．①与②
B．②与③
C．③与④
D．①与④
10．若不等式组的解
为，则值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．若关于x的不等式mx-
n＞０的解集是，则关于x的不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
12．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一元一次不等式(a－1)x＜a＋5成立，则a的取值范围满足的不等式组是(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如图，用如图①中的张长方形和张正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.若，用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则_____，_____.
14．不等式组的整数解是__________．
15．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式①，得
;
（Ⅱ）解不等式②，得
；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为
.
16．不等式组的最大整数解为________．
17．不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围是______.
18．小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的裝修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x，y均为整数，且满足y地面
墙面（含门窗）
房顶
小李
木地板
木质墙面
木质吊顶
小张
地砖
复合材料墙面
乳胶漆
三、解答题
19．解不等式组并写出它的负整数解．
20．已知，点A、B在数轴上表示的数如图所示，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧．
（1）求x的取值范围；
（2）若线段，求x的值．
21．某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立个中型图书馆和个小型图书馆需要万元，建立个中型图书馆和个小型图书馆需要万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过万元，那么有哪几种方案？
22．抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资．某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元，84消毒液和酒精的进价和售价如下：
84消毒液
酒精
进价（元/瓶）
25
20
售价（元/瓶）
40
28
（1）该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利6100元，则84消毒液和酒精各销售了多少瓶？
（2）随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批84消毒液和酒精，第二次采购仍以原价购进84消毒液和酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的2倍，84消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将84消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4900元，则每瓶酒精最多打几折？
23．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．
（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？
（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？
（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？
24．若点的坐标满足．
（1）当，时，求点的坐标；
（2）若点在第二象限，且符合要求的整数只有三个，求的取值范围；
（3）若点为不在轴上的点，且关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
25．阅读材料：形如的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式；
（3）已知，求的整数值．
26．为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买条口罩生产线，现有甲、．乙两种型号的口罩生产线．经调查：购买台甲型口罩生产线比购买台乙型口罩生产线多花万元；购买条甲型口罩生产线与购买条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩万只，若每天要求产量不低于万只，预算购买口罩生产线的资金不超过万元，为了节约资金，请你为该公司设计--种最省钱的购买方案．
27．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．
（1）当时，
平方厘米；当时，
平方厘米；
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；
（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．
28．关于的二元一次方程组（是常数），．
（1）当时，求c的值．
（2）当时，求满足的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
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