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专题24：三角形的外角
一、单选题
1．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（
）
A．40°
B．45°
C．15°
D．10°
【答案】D
【分析】先根据∠CDE=40°,得出∠CED=50°,再根据DE∥AF,即可得到∠CAF=50°,最后根据∠BAC=60°,即可得出∠BAF的大小．
【详解】由图可得，∠CDE=40°，∠C=90°，
∴∠CED=50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°﹣50°=10°，
故选D．
【点评】本题考察了三角形内角和定理，平行线的性质，题目中隐含条件是直尺的两条边平行，注意审题，不要漏掉有用信息是解决数学问题的关键．
2．如图所示，，，，则的度数是（
）
A．150°
B．135°
C．130°
D．140°
【答案】A
【解析】
【分析】延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图，延长∠1的边与直线b相交，
∵a∥b，
∴∠4=180°?∠1=180°?120°=60°，
由三角形的外角性质，可得
∠3=90°+∠4=90°+60°=150°，
故选A.
【点评】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线.
3．如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1+∠2+∠3=（???
）
A．180°?????????????????????B．360°??????????????C．540°??????????????????
D．无法确定
【答案】B
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠1=∠BAC+∠BCA，∠2=∠ABC+∠BAC,∠3=∠ACB+∠ABC,所以∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+∠BCA+∠ABC）,进而利用三角形的内角和定理求解．
【详解】解:∵∠1=∠BAC+∠BCA,∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠ABC
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,
∴∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+∠BCA+∠ABC）,
又∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
（三角形内角和定理）,
∴∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.
故选B．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,实际上证明了三角形的外角和是360°,解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角和内角的关系．
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（　　）
A．44°
B．60°
C．67°
D．70°
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和先求出∠B的度数，再根据折叠前后两三角形全等可知∠B=∠CED，∠BDC＝∠EDC，再求出∠BDE的度数即可求出∠BDC的度数.
【详解】∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°
∴∠B＝90°－∠A＝65°
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝65°，∠BDC＝∠EDC
∴∠ADE＝∠CED－∠A＝40°
∴∠BDC＝(180°－∠ADE)＝70°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和，外角的计算及折叠的相关综合应用，熟练掌握三角形内角和的相关计算，三角形外角的计算及折叠的相关性质是解决本题的关键.
5．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝120°，第二次拐角∠C＝140°．为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为(
)
A．130°
B．140°
C．150°
D．160°
【答案】D
【解析】
【分析】先延长BC，ED交于点F，根据平行线的性质，得出∠F=∠B=120°，再根据∠BCD=140°，可得∠DCF=40°，根据∠CDE=∠F+∠DCF进行计算即可．
【详解】
如图，延长BC，ED交于点F，
∵AB∥EF，
∴∠F=∠B=120°，
∵∠BCD=140°，
∴∠DCF=40°，
∴∠CDE=∠F+∠DCF=120°+40°=160°，
故选D.
【点评】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
6．如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C等于（　　）
A．60°
B．35°
C．25°
D．20°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出∠CBE=∠E=60°，再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可．
【详解】∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠E=60°，
∵∠A=35°，∠C+∠A=∠CBE，
∴∠C=∠CBE﹣∠C=60°﹣35°=25°，
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.
7．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．
【详解】∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，
∴∠A2B2O＝α，
同理∠A3B3O＝×α＝α，
∠A4B4O＝α，
∴∠AnBnO＝α，
∴∠A10B10O＝，
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
8．若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（　　　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据比例设三个外角分别为2k、3k、3k，然后根据三角形的外角和等于360°列出方程，然后求解即可．
【详解】设三个外角分别为2k、3k、3k，
则2k+3k+3k=360°，
解得k=45°，
所以，三个外角分别为90°，135°，135°，
所以，三个内角分别为90°，45°，45°，
所以，这个三角形为等腰直角三角形．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的外角和定理，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质.
二、填空题
9．如图，是三角形ABC的不同三个外角，则___________．
【答案】360°
【分析】根据三角形外角和为360°，即可求得．
【详解】∵是三角形ABC的不同三个外角
∴
故答案为：360°
【点评】掌握三角形外角和为360°是解题的关键．
10．如图，直线，，，那么的度数为___________度.
【答案】60
【解析】
【分析】如图利用平行线的性质求出∠4，再根据三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】∵l1∥l2，
∴∠1＋∠4＝180°，
∵∠1＝110°，
∴∠4＝70°，
∵∠2＝∠3＋∠4，∠2＝130°，
∴∠3＝130°?70°＝60°，
故答案为60．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______
【答案】360°
【解析】
【分析】如图，由∠1是△ABG的外角，可得∠1=∠A+∠B，同理∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，再由∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，根据三角形的外角和即可求得答案.
【详解】如图，∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1=∠A+∠B，
∵∠2是△EFH的外角，
∴∠2=∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠3=∠C+∠D，
∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为360°.
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角和，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.
12．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠AFC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有_____________．
【答案】①②③④
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°?（∠DAC＋∠ACD）
＝180°?（∠EAC＋∠ACF）
＝180°?（∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）
＝180°?（180°+∠ABC）
＝90°?∠ABC
＝90°—∠ABD，∴③正确；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正确，
故答案为①②③④.
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力，有一定的难度．
13．如图，直线平移后得到直线，若，则______.
【答案】110°.
【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【详解】延长直线,如图：
∵直线a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5=180°?∠1=180°?70°=110°，
∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，
∴∠2?∠3=∠5=110°，
故答案为110°.
【点评】此题考查平移的性质，解题关键在于作辅助线.
14．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边，若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__°若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝________°
【答案】76
6
【分析】（1）由
A1A2⊥AO，
∠AOB＝7°，
可得∠2＝
83°，由
∠1＝∠2
得∠1＝
83°，从而求出∠AA1A2＝14°，即可求出
∠A＝76°；
（2）根据题意可知光线原路返回，最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍.....n倍.，得出
2∠1＝180°－14°×n
，根据外角的性质，可得∠A＝∠1－7°＝83°－7°×n，当n＝11时，∠A＝6°，即可求出∠A的最小值
.
【详解】（1）A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，
∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，
∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°；
（2）当MN⊥OA时，光线沿原路返回，
∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，
∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，
∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝90°－3×7°，
∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，
由以上规律可知，∠A＝90°－2n?7°，
当n＝6时，∠A取得最小值，最小度数为6°，
故答案为：76，6．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．
三、解答题
15．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
(1)若∠A=58?，求：∠E的度数．
(2)猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
【答案】(1)
∠E的度数290；(2)∠A与∠E的关系是∠E
=∠A，理由详见解析.
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，然后整理即可得到∠A=2∠E，再求解即可；
（2）根据（1）的求解解答．
【详解】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得：∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E．
∵∠A=58°，∴∠E=29°．
（2）∠E
=∠A．理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得：∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E，∴∠E
=∠A．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
16．已知直线，的顶点与分别在直线与上，，设，．
（1）如图①，当点落在的上方时，与相交于点，求证：；
（2）如图②．当点落在直线的下方时，与交于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由三角形的外角性质得出，由平行线的性质得出，得出，即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质得出，由平行线的性质得出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：是的一个外角，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
是的一个外角，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
17．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E=∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2∠G=∠ABE+∠CDE
【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠EBD+∠EDB=180°-（∠ABE+∠CDE），进而得出∠DBF+∠BDF=90°-
（∠ABE+∠CDE），最后用三角形的内角和即可得出结论；
（3）先由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH=∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH=∠CDE，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°，
理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°，
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF=90°-（∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°-（∠ABE+∠CDE）]=90°+（∠ABE+∠CDE），
即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°；
（3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：如图3，
由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE=2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP=2∠GDP，
∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG），
∴∠GDP-∠DBG=∠BED=（∠ABE+∠CDE）
∴∠G=∠GDP-∠DBG=（∠ABE+∠CDE），
∴2∠G=∠ABE+∠CDE．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，判断出∠BED=∠EDP-∠DBE是解本题的关键．
18.如图，∠ECF＝90°，线段
AB
的端点分别在
CE
和
CF
上，BD
平分∠CBA，并与∠CAB
的外角平分线
AG
所在的直线交于一点
D．
（1）∠D
与∠C
有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）
（2）点
A
在射线
CE
上运动，（不与点
C
重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理整理即可得出答案；
（2）根据（1）中结论即可推理得出答案．
【详解】（1）∠C＝2∠D
即：∠D＝45°．
∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA．
∵∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠BAC+∠ABC＝90°，即180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得出∠GAB﹣∠DBA＝45°，∴∠D∠C＝45°；
（2）当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立．
∵∠CAB+∠ABC＝∠C＝90°，不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的，整理这个式子：∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA，得：180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得：∠GAB﹣∠DBA＝45度，恒定不变，即：∠D＝45°的结论不变，∴∠C＝2∠D恒成立．
【点评】本题考查了角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理，比较综合，难度较大．
19．（1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，，求的度数.
（2）如图，四边形中，设，，为四边形的内角与外角
的平分线所在直线相交而形成的锐角.
①如图②，若，求的度数.（用、的代数式表示）
②如图③，若，请在图③中画出，并求得
.（用、的代数式表示）
【答案】（1）∠P=20°
（2）①②
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，可等量代换证明；
（2）①延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的解题可得到规律；
②由上面的结论直接写出解答即可.
【详解】（1）∵BP
平分∠ABC，CP
平分∠ACD
∴∠ABC=2∠PBC
,∠ACD=2∠PCD
∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠P+∠PBC
∴2∠PCD=∠A+2∠PBC
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+2∠PBC
∴∠P=
∴∠P=20°
（2）①延长BA、CD交于点F，由（1）知∠P=
∴=
②
20．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．
(1)当∠A为70°时，∠A1＝
°；
(2)如图2，∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4，请写出∠A与∠A4的数量关系
；
(3)如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，试求∠Q与∠A1的数量关系．
【答案】(1)35°；（2）∠A=16∠A4；（3）∠Q+∠A1=180°.
【详解】试题分析：(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质填空即可；
(2)根据题意可知∠A=2n∠An，所以求∠A与∠A6的关系，把n换成4计算即可；
(3)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出表示出∠Q=180°-∠A与∠A1=∠A即可得出结论
试题解析：(1)
35°．
（2）∠A=16∠A4；
（3）∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=∠BAC，
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-∠BAC，
∴∠Q+∠A1=180°．
考点：1.角平分线.
2.三角形内角和定理；3.三角形的外角性质．
21．已知，在四边形ABCD中，．
（1）求证：．
（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
【答案】（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；
（2）DE⊥BF
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=
∠ADC，∠EBG=
∠MBC
∴∠EDC=∠EBG
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG
∴∠EGB=∠C=90°
∴DE⊥BF
（3）DE∥BF
连接BD
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=
∠NDC，∠FBC=
∠MBC
∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°
∵∠C=90°
∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°
∴DE∥BF．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键．
22．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E
，F在BC上，且满足∠FOC
=∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（1）求∠AOB及∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值
【答案】（1）60°，30°；（2）不变，1：2
【分析】（1）由于BC∥OA，∠B=120°，易求∠AOB，而OE、OC都是角平分线，从而可求∠COE；
（2）利用BC∥OA，可知∠AOC=∠BCO，又因为∠AOC=∠COF，所以就有∠FCO=∠FOC，即∠BFO=2∠FCO=2∠OCB，那么∠OCB：∠OFB=1：2．
【详解】（1）证明：
∵CB∥OA
∴∠BOA+∠B=180°
∴∠BOA=60°
∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC
=∠BOF+∠F0A
=（∠BOF+∠FOA）
=×60°
=30°，
故∠AOB=60°，∠EOC=30°．
（2）不变
∵CB∥OA
∴∠OCB=∠COA，
∵∠FOC=∠AOC
∴∠FCO=∠FOC，
∴∠OFB=∠FCO+∠FOC=2∠FCO，
∴∠FCO:∠OFB=1：2
故∠OCB:∠OFB=1：2．
【点评】本题考察了平行线的性质，角平分线的性质，和三角形外角的性质，三角形一个外角等于不相邻的两个内角和，判断出∠OFB是的一个外角是本题的关键．
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专题24：三角形的外角
一、单选题
1．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（
）
A．40°
B．45°
C．15°
D．10°
2．如图所示，，，，则的度数是（
）
A．150°
B．135°
C．130°
D．140°
3．如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1+∠2+∠3=（???
）
A．180°??????????????????????????????????
B．360°??????????????????????????????????
C．540°??????????????????????????????????
D．无法确定
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（　　）
A．44°
B．60°
C．67°
D．70°
5．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝120°，第二次拐角∠C＝140°．为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为(
)
A．130°
B．140°
C．150°
D．160°
6．如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C等于（　　）
A．60°
B．35°
C．25°
D．20°
7．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（　　　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
二、填空题
9．如图，是三角形ABC的不同三个外角，则___________．
10．如图，直线，，，那么的度数为___________度.
11．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______
12．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠AFC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有_____________．
13．如图，直线平移后得到直线，若，则______.
14．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边，若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__°若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝________°
三、解答题
15．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
(1)若∠A=58?，求：∠E的度数．
(2)猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
16．已知直线，的顶点与分别在直线与上，，设，．
（1）如图①，当点落在的上方时，与相交于点，求证：；
（2）如图②．当点落在直线的下方时，与交于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
17．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E=∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
18．
如图，∠ECF＝90°，线段
AB
的端点分别在
CE
和
CF
上，BD
平分∠CBA，并与∠CAB
的外角平分线
AG
所在的直线交于一点
D．
（1）∠D
与∠C
有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）
（2）点
A
在射线
CE
上运动，（不与点
C
重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．
19．（1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，，求的度数.
（2）如图，四边形中，设，，为四边形的内角与外角
的平分线所在直线相交而形成的锐角.
①如图②，若，求的度数.（用、的代数式表示）
②如图③，若，请在图③中画出，并求得
.（用、的代数式表示）
20．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．
(1)当∠A为70°时，∠A1＝
°；
(2)如图2，∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4，请写出∠A与∠A4的数量关系
；
(3)如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，试求∠Q与∠A1的数量关系．
21．已知，在四边形ABCD中，．
（1）求证：．
（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
22．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E
，F在BC上，且满足∠FOC
=∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（1）求∠AOB及∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值
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