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专题26：多边形的内角和
一、单选题
1．下列命题中：
①长为的线段沿某一方向平移后，平移后线段的长为；
②三角形的高在三角形内部；
③六边形的内角和是外角和的两倍；
④平行于同一直线的两直线平行；
⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等，真命题个数有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用平移的性质、三角形高的定义、多边形的外角与内角、平行线的性质分别判断出正确答案的个数，即可得出答案.
【详解】
①：平移不改变图形的形状和大小，故选项①错误；
②：直角三角形的高在三角形的边上，钝角三角形的高在三角形的外面，故选项②错误；
③：六边形的外角和360°，六边形的内角和720°，故选项③正确；
④：平行于同一条直线的两条直线平行，故选项④正确；
⑤：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故选项⑤错误.
因此正确的个数有两个，答案选择A.
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平移的性质、三角形的高的定义、多边形的外角与内角、平行线的性质等知识，难度不大.
2．正六边形的每个内角度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出正六边形的一个外角,即可求出内角.
【详解】正六边形的外角和是360°,
∴正六边形的外角是60°,
∴内角是180°-60°=120°,
故选C.
【点评】本题考查了正多边形的外角和与内角,属于简单题,熟悉多边形的外角和是360°是解题关键.
3．如图，在六边形中，，分别平分，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，由①和②即可求出结果.
【详解】在六边形A
BCDEF中，
∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝(6-2)×180°＝720°①，
CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，
∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，
∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，
∴2(∠P+∠PCD+∠PDE)＝360°，
即2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，
①-②得:∠A+∠B+∠E+∠F-2∠P＝360°，
即α-2∠P＝360°，
∴∠P=α-180°，
故选:A.
【点评】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理;熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键.
4．正多边形的内角和为540°，则该多边形的每个外角的度数为（
）
A．36°
B．72°
C．108°
D．360°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据内角和的度数求出正多边形的边数，再根据外角和度数进行求解.
【详解】设这个正多边形的边数为x，
则（x-2）×180°=540°，解得x=5，
所以每个外角的度数为360°÷5=72°，
故选B.
【点评】此题主要考查多边形的内角和公式，解题的关键是熟知多边形的内角和与外角和公式.
5．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
A．正三角形，正方形
B．正方形，正六边形
C．正五边形，正六边形
D．正六边形，正八边形
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案.
【详解】∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°
又∵60°×3+90°×2=360°
∴能够组合是正三角形，正方形
【点评】本题考查平面密铺的知识，注意掌握几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
6．多边形的内角中，锐角的个数最多有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．
【详解】因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，多边形的内角与外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角，内角中就最多有3个锐角．故选C．
【点评】本题考查了多边形的内角问题．由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑．
7．如图，三角形纸片ABC中，∠A=80?，∠B=60?，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30?，则∠β的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠C=40°，再由根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°-∠C）+∠A+∠B=360°，代入即可求得∠β的度数
【详解】∵∠A=80°，∠B=60°，
∴∠C=40°，
根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°-∠C）+∠A+∠B=360°，
∵∠α=30°，
∴30°+∠β+180°-40°+80°+60°=360°，
解得∠β=50°．
故选C.
【点评】本题考查三角形的内角和定理及四边形内角和定理的应用，熟知四边形的内角和是360°是解决问题的关键．
8．如图，小林从P点向西直走12m后，向左转，转动的角度为α，再走12m，如此重复，小林共走了108m回到点P，则α=（
）
A．40
o
B．50
o
C．80
o
D．不存在
【答案】A
【详解】试题解析：∵108÷12=9，
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个9边形，
∴α=360°÷9=40°．
故选A．
二、填空题
9．如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1
=
50°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为______．
【答案】410°．
【分析】先求∠1的邻补角，再求五边形的内角和，再求差即可．
【详解】由邻补角定义得∠AED=180°-∠1=180°-50°=130°
因为五边形的内角和是：180°×（5-2）=540°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D=540°-130°=410°．
故答案为410°．
【点评】本题考核知识点：多边形内角和，邻补角．解题关键点：求出五边形内角和及∠1的邻补角．
10．正八边形的半径为，则此正八边形的面积为____.
【答案】.
【分析】连结AE，CG，AG，OH构造出三角形，求出四边形AOGH的面积，即可求出正八变形的面积.
【详解】
解：如图示：连接AE，CG，AG，OH，
AE与CG相交于O点，AG与OH相交于K点，
∴，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴正八边形的面积=
故答案为
【点评】本题考查的是正多边形的性质和外接圆，求出四边形AOGH的面积，即可求出正八变形的面积.
11．如图，若四边形各内角的平分线相交得到四边形，则的度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的内角和等于和角平分线的定义表示出，，再根据四边形的内角和等于计算即可得解．
【详解】由题意得，
，
所以，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，主要利用了四边形的内角和等于，注意整体思想的利用是解题的关键．
12．下列命题：①顺次连接四条线段所得的图形叫做四边形；②三角形的三个内角可以都是锐角；③四边形的四个内角可以都是锐角；④三角形的角平分线都是射线；⑤四边形中有一组对角是直角，则另一组对角必互补，其中正确的有________．(填序号)
【答案】②⑤
【解析】
【分析】根据四边形的定义、三角形的内角、四边形的内角和、三角形的角平分线的定义等逐一进行分析判断即可得答案.
【详解】①在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形，故①错误；
②三角形的三个内角可以都是锐角，如锐角三角形的三个内角都是锐角，故说法正确；
③四边形的四个内角不能都是锐角，否则与四边形内角和定理矛盾，故说法错误；
④三角形的角平分线都是线段，故说法错误；
⑤四边形中有一组对角是直角，则另一组对角必互补，故说法正确，
所以正确的有两个，
故答案为②⑤．
【点评】本题考查了多边形的定义、四边形的内角和、三角形的内角和等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
13．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)
【答案】1＋
【解析】
【分析】把正八边形的四条不相邻的边延长，得到的四边形就是满足条件的正方形，则三角形BDE是等腰直角三角形；正方形的边长等于正八边形的边长1加上DB的2倍，根据三角函数求得DE的长即可求解．
【详解】∵△BDE是等腰直角三角形，BE=1．
∴BD=BE?=．
∴正方形的边长等于AB+2BD=1+．
故答案为1＋
【点睛】正确作出满足条件的正方形，理解所作正方形与已知正八边形之间的关系是解题的关键．
14．一个多边形截去一个角后其内角和为9000°，那么这个多边形的边数为________．
【答案】51或52或53
【解析】
试题解析：设新多边形的边数是n，则（n-2）?180°=9000°，
解得n=52，
∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，
∴原多边形的边数是51或52或53．
故答案是：51或52或53．
三、解答题
15．已知一个n边形，它的内角和等于，求这个n边形的边数．
【答案】十二边形．
【分析】这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理即可列方程求解．
【详解】这个多边形是边形，根据题意得：，
解得：．
故这个多边形是十二边形．
【点评】解题的关键是读懂题意，根据多边形的内角和：180°（n-2），正确列方程求解．
16．如图，小亮从点处出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处.
（1）小亮走出的这个边形的每个内角是多少度？这个边形的内角和是多少度？
（2）小亮走出的这个边形的周长是多少米？
【答案】（1）这个边形的每个内角为，这个边形的内角和为3960度；（2）小亮走出这个边形的周长为120米.
【分析】（1）这个n边形每个内角度数为180°﹣15°＝165°；根据多边形外角和360°，用360除以15求出边数，再利用内角和公式即可求解；
（2）周长为边数乘以边长．
【详解】
（1）这个边形的每个内角为.
∵多边形的外角和为，
∴，解得：，
∴这个边形的内角和为3960度.
（2）（米），所以小亮走出这个边形的周长为120米.
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过多边形外角和求解边数，再利用多边形内角和公式求解度数．
17．（1）如图，四边形ABCD中，，，，则________.
（2）对于任意的凹四边形ABCD，猜想，，与的大小关系，并证明.
（3）一个零件的形状如图所示，按规定，应等于，与应分别是和，工人检验，就断定这个零件不合格，请你运用上述结论，说明零件不合格的理由.
【答案】（1）；（2），见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）延长AD交BC于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ADC；
（2）连接BD并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ADC.
（3）延长AD交BC于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ADC，然后即可判断．
【详解】（1）延长AD交BC于E，
∵∠A=30°,∠B=60°，
∴∠AEC=∠A+∠B=30°+60°=90°，
∵∠C=20°，
∴∠ADC=∠C+∠AEC=20°+90°=110°.
（2）.证明：连接BD并延长，如图所示.
在中，，在中，，，即.
（3）延长AD交BC于E，
∵∠A=40°,∠B=70°，
∴∠AEC=∠A+∠B=40°+70°=110°，
∵∠C=25°，
∴∠ADC=∠C+∠AEC=25°+110°=135°.
又∵∠ADC=140°，
∴这个零件不合格.
【点评】此题考查多边形内角与外角了，三角形的外角性质，解题关键在于作辅助线.
18．（1）如图①，射线AD，BE，CF构成，，，量出，，，的度数，并计算的度数.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和.
（2）类似地，量出图②中，，，的度数，计算的度数.
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
【答案】（1）；(2）；（3）任意多边形的外角和都是.
【分析】（1）经过测量可计算得到∠1+∠2+∠3=360°，发现当三角形变化时这个值不变；
（2）经过测量可计算得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，发现当四边形变化时这个值不变．由此可猜想得多边形的外角和为360°．
【详解】经测量得到∠1=120°，∠2=120°，∠3=120°
∠1+∠2+∠3=360°，
发现：三角形的外角和为360°；
如图①：∠1=150°，∠2=150°，∠3=60°
∠1+∠2+∠3=360°
（2）经测量得到∠1=120°，∠2=120°∠3=30°，∠4=90°
∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
如图②：∠1=70°，∠2=120°，∠3=60°，∠4=110°
∠1+∠2+∠3+∠4=360°
发现：四边形的外角和为360°；
（3）猜想：多边形的外角和为360°．
【点评】本题考查角的计算，根据所得出的结果对外角和进行猜想是解题关键.
19．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC与DE平行吗？请说明理由．
【答案】AC∥DE,理由见解析.
【解析】
【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再根据∠1=∠2=∠3=∠4=36°，从而求出∠CAD=108°-72°=36°，即可得出结论.
【详解】AC∥DE
理由：∵五边形ABCDE的内角和=540°，且每个内角都相等．
∴∠B=∠BAE=∠E=108°．
∵∠1=∠2=∠3=∠4．
∴∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°
∴∠CAD=108°－36°×2=36°
∴∠CAD=∠4
∴AC∥DE
【点评】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠1=∠2=∠3=∠4=36°，和正五边形的每个内角是108度．
20．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影
新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．
新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．
将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．
【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17．??
【解析】
【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】如图所示：
设新多边形的边数为n，
则，
解得，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
21．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
【答案】n=12．
【解析】
试题分析:因为是正多边形,所以外角相等,根据∠BPC=120°,利用三角形内角和可求出正多边形的外角,再利用多边形外角等于360°,即可求出正多边形的边数.
试题解析:∵PB=PC,∠BPC=120°,
∴∠PBC=∠PCB=（180°﹣∠BPC）=30°,
即正n边形的一个外角为30°,
∴n==12．
22．某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1
560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
【答案】这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
【解析】
试题分析：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，根据多边形的内角和公式可得(n-2)·180°+α=1
560°，然后根据多边形每个内角的取值范围0°＜α＜180°列不等式，即可求出多边形的边数，进而求出这个内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有：
(n-2)·180°+α=1
560°.
∴α=1
560°-(n-2)·180°.
显然：0°＜α＜180°，
∴0°＜1
560°-(n-2)·180°＜180°.解得9∴n=10.
∴α=1
560°-(10-2)·180°=120°.
答：这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
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专题26：多边形的内角和
一、单选题
1．下列命题中：
①长为的线段沿某一方向平移后，平移后线段的长为；
②三角形的高在三角形内部；
③六边形的内角和是外角和的两倍；
④平行于同一直线的两直线平行；
⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等，真命题个数有（
）
A．
B．
C．
D．
2．正六边形的每个内角度数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在六边形中，，分别平分，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．正多边形的内角和为540°，则该多边形的每个外角的度数为（
）
A．36°
B．72°
C．108°
D．360°
5．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
A．正三角形，正方形
B．正方形，正六边形
C．正五边形，正六边形
D．正六边形，正八边形
6．多边形的内角中，锐角的个数最多有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，三角形纸片ABC中，∠A=80?，∠B=60?，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30?，则∠β的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，小林从P点向西直走12m后，向左转，转动的角度为α，再走12m，如此重复，小林共走了108m回到点P，则α=（
）
A．40
o
B．50
o
C．80
o
D．不存在
二、填空题
9．如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1
=
50°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为______．
10．正八边形的半径为，则此正八边形的面积为____.
11．如图，若四边形各内角的平分线相交得到四边形，则的度数为__________．
12．下列命题：①顺次连接四条线段所得的图形叫做四边形；②三角形的三个内角可以都是锐角；③四边形的四个内角可以都是锐角；④三角形的角平分线都是射线；⑤四边形中有一组对角是直角，则另一组对角必互补，其中正确的有________．(填序号)
13．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)
14．一个多边形截去一个角后其内角和为9000°，那么这个多边形的边数为________．
三、解答题
15．已知一个n边形，它的内角和等于，求这个n边形的边数．
16．如图，小亮从点处出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处.
（1）小亮走出的这个边形的每个内角是多少度？这个边形的内角和是多少度？
（2）小亮走出的这个边形的周长是多少米？
17．（1）如图，四边形ABCD中，，，，则________.
（2）对于任意的凹四边形ABCD，猜想，，与的大小关系，并证明.
（3）一个零件的形状如图所示，按规定，应等于，与应分别是和，工人检验，就断定这个零件不合格，请你运用上述结论，说明零件不合格的理由.
18．（1）如图①，射线AD，BE，CF构成，，，量出，，，的度数，并计算的度数.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和.
（2）类似地，量出图②中，，，的度数，计算的度数.
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
19．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC与DE平行吗？请说明理由．
20．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影
新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．
新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．
将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．
21．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
22．某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1
560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
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