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专题29：角的平分线的性质
一、单选题
1．如图所示，和一条定长线段，在内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使，点H为垂足；（2）过点N作；（3）作的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（
）
A．平行线之间的距离处处相等
B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
2．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是(　　)
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC
D．∠BOC＝∠AOB
5．某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（
）
A．仅有一处
B．有四处
C．有三处
D．有无数处
6．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，在中，，平分，且，．则的面积为（
）
A．7
B．4
C．11
D．14
8．作的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在的内部相交于一点，则这个适当的长度（
）
A．大于
B．等于
C．小于
D．以上都不对
9．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为(　　)
A．8
B．6
C．5
D．4
10．如图所示，在中，P、Q分别是BC、AC上的点，作，，垂足分别是R、S．若，，下列结论：①；②AP平分；③；④其中正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．①②④
D．①②③④
11．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线?
?
?
A．互相垂直
B．互相平行
C．相交或平行
D．不相等
13．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．如图，已知于点，平分，平移恰好到，连接，则下列结论：①；②；③平分平分；④．其中正确的结论个数是（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
15．已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则以下结论①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；正确的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
16．如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
17．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
18．如图，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有___________；
反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．
19．如图，在中，，AD平分．若，，则点D到AB的距离为___________．
20．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.
由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．
21．如图所示，在中，，平分，于，，则________．
22．如图，BD，CE分别是△ABC两个外角的角平分线，DE过点A且DE∥BC．若DE＝14，BC＝7，则△ABC的周长为____．
三、解答题
23．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．(证明注明理由)
24．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
25．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠BAD，求证：AE⊥DE.
26．如图所示，点D在的AB边上，且．
（1）作的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系．
27．
已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
28．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
29．小明在学习过程中，对一个问题做如下探究：
（1）（问题回顾）已知：如图（1），在中，，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F.求证：.
（2）（变式思考）如图（2），在中，，CD是AB边上的高.若的外角的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由.
（3）（探究延伸）如图（3），在中，AB上存在一点D，得，平分线AE交CD于点F.的外角所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断与的关系，并说明理由.
30．如图①，在等腰直角中，，，，的平分线交于点.
（1）求证：.
（2）如图②，若的外角平分线以及的平分线交于点，（1）中结论是否仍成立？写出结论，并说明理由.
31．已知：如图，求作：内一点，使，且点到两边的距离相等.（要求正确画出图形，保留作图痕迹，并简单写出作法）
32．直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．
（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求证：．
（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．
33．如图，，，分别是，，边上的点，，．
（1）请说明的理由；
（2）若平分，，判断与的位置关系，并说明理由．
34．如图①，在中，，的平分线交于点，的邻补角的平分线交的延长线于点，连接交于点，求的度数.
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精品试卷·第
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页
（共
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专题29：角的平分线的性质
一、单选题
1．如图所示，和一条定长线段，在内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使，点H为垂足；（2）过点N作；（3）作的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（
）
A．平行线之间的距离处处相等
B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【答案】B
【分析】题目要求满足两个条件，其一是到OA，OB的距离相等，作角平分线，根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上，可得出答案．
【详解】根据角平分线的性质，（3）的依据是到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是角平分线的性质，熟记性质内容是解此题的关键．
2．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据平分得出，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠DFG，
∵FG平分∠DEF，
∴∠EFG＝∠DFG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵∠BEF＝70°，
∴∠AGF＝∠EFG＝（180°﹣70°）＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线及角平分线的性质是解答此题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可证明△ACD≌△AED，从而得到AE=AC，继而求出AE
【详解】∵AD平分∠CAB交BC于点D
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠AED=∠C=90°
∵AD=AD
∴△ACD≌△AED．（AAS）
∴AE=AC=BC=7
故本题答案应为：D
【点评】角平分线的性质和三角形全等的判定是本题的考点，证明△ACD≌△AED是解题的关键.
4．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是(　　)
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC
D．∠BOC＝∠AOB
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义分析出角之间的倍分关系进行判断．
【详解】当OC是∠AOB的平分线时，∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC，，所以A、C、D选项能判断OC是∠AOB的平分线.
∠AOB=∠AOC+∠BOC只能说明射线OC在∠AOB内，不一定是角平分线．
故选B．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义．正确表述角之间的倍分关系是解题的关键．
5．某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（
）
A．仅有一处
B．有四处
C．有三处
D．有无数处
【答案】A
【分析】利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有1个，外角平分线的交点有3个，又要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建，所以只有三个内角平分线的交点符合要求．
【详解】∵砂石场到三条公路的距离相等，
∴该点应该是三个角的角平分线的交点，满足条件的点有：
三角形内部：三个内角平分线交点1个；
三角形外部：三个外角角平分线3个，
∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建，
∴满足条件的只有1个，即为三个内角的角平分线的交点．
故选A．
【点评】本题考查了学生对角平分线的性质的理解和掌握．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理．
6．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，由题意易得OE=1，然后根据角平分线的性质定理可求解．
【详解】过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，如图所示：
∵OC平分∠ACB，
∴OE=OF，
∵的面积是，AC=3，
∴，
∴OF=OE=1；
故选A．
【点评】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
7．如图，在中，，平分，且，．则的面积为（
）
A．7
B．4
C．11
D．14
【答案】A
【分析】过点D作于E，
因为平分，由角平分线的性质求得DE=DC=2，根根据三角形面积公式不难求出的面积．
【详解】如图，过点D作于E，
∵平分，
∴，
∵，，
，
故选A．
【点评】本题考察了角平分线的性质，三角形的面积，利用角平分线的性质是解题的关键．
8．作的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在的内部相交于一点，则这个适当的长度（
）
A．大于
B．等于
C．小于
D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据作已知角的角平分线的方法即可判断．
【详解】因为分别以C，D为圆心画弧时，要保证两弧在的内部交于一点，所以半径应大于，
故选：A．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
9．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为(　　)
A．8
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【分析】根据平行线定理判定，再有垂线段最短性质，作出辅助线，最后由角平分线性质解题即可．
【详解】
，
根据垂线段最短的原则，得，当时,
取最小值，如图，
和分别平分和
故选：D．
【点评】本题考查平行线定理、垂线段最短性质、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．如图所示，在中，P、Q分别是BC、AC上的点，作，，垂足分别是R、S．若，，下列结论：①；②AP平分；③；④其中正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，先证AP是的角平分线，再证，再利用内错角相等两直线平行即可得出正确答案．
【详解】∵，，
∴AP是的角平分线
∴
∴，①②正确；
∵
∴
∴，④正确；
BC只是过点P，并没有固定，③不成立．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，熟记性质内容和判定定理是解此题的关键．
11．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故选：C
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
12．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线?
?
?
A．互相垂直
B．互相平行
C．相交或平行
D．不相等
【答案】A
【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解．
【详解】如图，
∵∠APE＝∠CQE，
∴AB∥CD，
∴∠BPQ＋∠DQP＝180°，
∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP，
∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP，
∴∠MPQ＋∠NQP＝90°，
∴∠POQ＝90°，
即PM⊥QN，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键．
13．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
14．如图，已知于点，平分，平移恰好到，连接，则下列结论：①；②；③平分平分；④．其中正确的结论个数是（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【分析】根据平行线的判定和性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直的判定和性质、平角的定义、直角三角形两锐角互余等进行推理即可得解．
【详解】∵
∴，故说法①正确；
∵平移恰好到
∴，
∴
∵
∴
∴，故说法②正确；
∵
∴
∵，
∴
∴在四边形中，，故说法④正确；
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴平分
∵
∴
∴平分
同理，平分，故说法③正确．
故选：D
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直的判定和性质、平角的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，属于中档题型，体现了逻辑推理的核心素养．
15．已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则以下结论①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；正确的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】D
【分析】已知△ABC和△CDE都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，即可求得∠ACD＝60°，所以∠ACE＝∠BCD＝120°，再利用SAS即可判定△ACE≌△BCD，由全等三角形的性质可得AE＝BD，所以①正确；由△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠CAE＝∠CBD，再利用ASA证明△ACN≌△BCM，由全等三角形的性质可得CN＝CM，又因∠MCN＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形即可判定△CMN为等边三角形，所以②④正确；由三角形外角的性质可得∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，因为∠CAE＝∠CBD，即可得∠CBD＋∠AEC＝60°，从而求得∠BOE＝120°，所以③正确；由△ACE≌△BCD，可得△ACE的面积与△BCD的面积相等，BD=AE，根据三角形的面积公式可得△ACE边AE上的高与△BCD边BD上的高相等，即可得点C到OB、OE的距离相等，
根据角平分线的判定定理可得点C在∠BOE的平分线上，即OC平分∠BOE，所以⑤正确.
【详解】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACE＝∠BCD＝120°，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；故①正确；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴CN＝CM，
而∠MCN＝60°，
∴△CMN为等边三角形；故②④正确；
∵∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，
而∠CAE＝∠CBD，
∴∠CBD＋∠AEC＝60°，
∴∠BOE＝120°；故③正确；
∵△ACE≌△BCD，
∴△ACE的面积与△BCD的面积相等，
∵BD=AE,
∴△ACE边AE上的高与△BCD边BD上的高相等，
即点C到OB、OE的距离相等，
∴点C在∠BOE的平分线上，
即OC平分∠BOE，故⑤正确.
综上，正确的结论为①②③④⑤，共5个.
故选D.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及角平分线的判定定理的运用，会综合运用相关的判定与定理是解决问题的关键．
16．如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点E作于M，于N，于H，如图，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可．
【详解】过点E作于M，于N，于H，如图，
，，
，
平分，
，
平分，
，
，
平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分．
二、填空题
17．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
【答案】3
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
18．如图，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有___________；
反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．
【答案】PM=PN
PM⊥OA，PN⊥OB
【分析】依据角平分线的定理和逆定理可知．
【详解】OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，
反之
PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，
OP平分∠AOB
故答案为：PM=PN；PM⊥OA，PN⊥OB
【点评】本题考查角平分线性质及其逆定理、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．如图，在中，，AD平分．若，，则点D到AB的距离为___________．
【答案】3
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD=3．
【详解】∵BC=10，BD=7，
∴CD=3．
∵∠C=90°
，AD平分∠BAC
．
由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．
20．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.
由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．
【答案】SSS
【解析】
解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD．以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP．在△OCP和△ODP中，∵OC=OD，OP=OP，CP=DP，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故答案为SSS．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．如图所示，在中，，平分，于，，则________．
【答案】
【分析】由角平分线的性质定理，得到CD=DE，然后等量代换即可得到答案．
【详解】∵在中，，
∴DC⊥AC，
∵平分，，
∴CD=DE，
∴；
故答案为：8cm；
【点评】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，正确得到CD=DE．
22．如图，BD，CE分别是△ABC两个外角的角平分线，DE过点A且DE∥BC．若DE＝14，BC＝7，则△ABC的周长为____．
【答案】21
【解析】
【分析】有角平分线的定义和平行线的性质可证明AB＝AD,AE＝AC,则可求得△ABC的周长.
【详解】
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠DBF
∴DE∥BC,
∴∠ADB＝∠DBF
∴∠ADB＝∠ABD,
∴
AD＝AB
同理可得AE＝AC
∴AB＋AC＝DA＋AE＝DE=14
∴BC＝7,
∴AB＋AC＋BC＝14＋7＝21,
即△ABC的周长为21.
因此，本题正确答案是21.
【点评】熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是本题关键.
三、解答题
23．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．(证明注明理由)
【答案】见解析
【分析】要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证．
【详解】证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵AC∥DE，
∴∠1=∠3；
∵DC∥EF，
∴∠3=∠4；
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠5；
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．
【点评】本题考查了角平分线的定义及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）AM⊥DM，证明见解析．
【分析】（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可；
（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC=180°，结合已知求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案．
【详解】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明如下：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB//DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DM．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．
25．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠BAD，求证：AE⊥DE.
【答案】见解析
【分析】过点E作EF⊥AD于点F，由角平分线的性质可知EF=BE，由于E是BC的中点，所以CE=EB，所以EF=CE，再由角平分线的判定定理可知点E在∠CDA的平分线上，然后根据平行线的判定证出CD∥AB，从而证出∠BAD＋∠CDA=180°，结合角平分线的定义求出∠EAD＋∠EDA=90°，从而得出∠AED=90°，即可证出结论．
【详解】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B=90°，AE平分∠BAD，
∴EF=BE，∠EAD=∠BAD
∵E是BC的中点，
∴CE=EB，
∴EF=CE，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠CDA的平分线上，
∴∠EDA=∠CDA
∵∠B=∠C=90°
∴∠B＋∠C=90°
∴CD∥AB
∴∠BAD＋∠CDA=180°
∴∠EAD＋∠EDA=∠BAD＋∠CDA
=（∠BAD＋∠CDA）
=90°
∴∠AED=90°
∴AE⊥DE．
【点评】本题考查角平分线性质及判定、平行线的判定及性质和直角三角形的判定，熟练掌握角平分线性质及判定、平行线的判定及性质和直角三角形的判定是解题的关键．
26．如图所示，点D在的AB边上，且．
（1）作的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系．
【答案】（1）详见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义和三角形的内角和定理可得，结合已知条件即可得出，从而得出，最后根据同位角相等，两直线平行即可得正．
【详解】（1）以D为圆心，任意长度为半径作弧，分别交DB、DC于G、H，分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径作弧，两弧交于一点M，连接DM并延长交BC于点E，如图所示DE即为所求．
（2），理由如下
∵DE平分，
∴．
∵，（三角形内角和为），
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
【点评】此题考查的是作角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理和平行线的判定，掌握用尺规作图作角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理和同位角相等，两直线平行是解决此题的关键．
27．
已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点评】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
28．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
【答案】证明见解析
【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL可知RT△BED≌RT△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
【详解】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，
∴RT△BED≌RT△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．
【点评】本题考查直角三角形的全等与角平分线的判定，灵活运用HL定理及角平分线的判定定理是证题关键．
29．小明在学习过程中，对一个问题做如下探究：
（1）（问题回顾）已知：如图（1），在中，，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F.求证：.
（2）（变式思考）如图（2），在中，，CD是AB边上的高.若的外角的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由.
（3）（探究延伸）如图（3），在中，AB上存在一点D，得，平分线AE交CD于点F.的外角所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断与的关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；
（2）根据角平分线的性质和直角三角形的性质可得到结果；
（3）由题可知，与（1）（2）的方法相同；
【详解】（1）证明：，CD是高，
，
.
∵AE是角平线，.
，
.
（2）.理由如下：
∵AF为的平分线，
.
∵CD为边AB上高，
.
又，
．
（3）.理由如下：
∵C，A，G三点共线，AE，AN分别为的平分线，
.
.
，，，，
．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角性质，利用角平分线的性质是解题的关键．
30．如图①，在等腰直角中，，，，的平分线交于点.
（1）求证：.
（2）如图②，若的外角平分线以及的平分线交于点，（1）中结论是否仍成立？写出结论，并说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）第（1）小题中结论不成立，理由详见解析
【解析】
【分析】（1）在上截取，连接，证得，再根据等腰三角形的性质即可求证；
（2）延长至点，使，连接，证得，得到，故结论不成立.
【详解】（1）如图①，在上截取，连接，
∵PB平分∠CBA，
∴∠PBC=∠PBG，
∴，
∴.
又，
∴.
∴.
∴.
（2）第（1）小题中结论不成立.理由如下：
如图②，延长至点，使，连接.
∴.
∵，
∴，.
∴，，.
故∠ACG=∠CBP=112.5°，
∴.
∴.
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质,角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明全等三角形.
31．已知：如图，求作：内一点，使，且点到两边的距离相等.（要求正确画出图形，保留作图痕迹，并简单写出作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠ABC两边于点M，N,分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP．分别以B,C,为圆心，以大于BC的长为半径画弧，得到弧的两个交点，连接交点即为垂直平分线，与角平分线的交点即为点P．
【详解】如图，点P即为所求．
【点评】此题考查角平分线的性质与作法，线段垂直平分线的性质和作法，熟练掌握相关性质是解题关键．
32．直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．
（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求证：．
（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）不成立，．
【分析】（1）根据各线段之间的长度，先猜想AD＋BE＝AB；
（2）在AB上截取AG＝AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出AD＝AG．同理可证BG＝BE，即AD＋BE＝AB；
（3）画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：①当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时；②点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时；得到AD，BE，AB之间的关系．
【详解】（1）如图，过点C作于点F．
平分，BC平分，
，．
，，
，
，
，
．
，
．
在△与中，，
，
．
同理可得．
，
；
（2）成立．证明：如图，在AB上截取，连接CG．
平分，
．
在与中，，
，
．
，
．
，BC平分，
，
，
，即．
，
，．
在与中，，
，
，
，
；
（3）不成立．当点D在射线AP上，点E在射线BQ的反向延长线上时，如图（3），；
延长BC交AM于F，
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB，
∴△CDF≌△CEB（AAS），
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD-DF=AF=AB，
∴；
当点D在射线AP的反向延长线上，点E在射线BQ上时，如图，，
∵AC和BC分别为∠FAB和∠ABE的角平分线，
∴∠FAC=∠BAC，∠ABC=∠EBC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴∠ABC=∠AFC，
在△AFC和△ABC中，
∴△AFC≌△ABC，
∴AF=AB，FC=BC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴在△DFC和△EBC中，
∴△DFC≌△EBC，
∴DF=BE，
∴DF-AD=BE-AD=AF=AB，
即．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
33．如图，，，分别是，，边上的点，，．
（1）请说明的理由；
（2）若平分，，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）CD⊥EG，理由见解析
【分析】（1）先证明AB∥EG，得到∠B＝∠EGC，再证出∠3＝∠EGC即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质及DE∥BC，
得到∠B＝∠ADE＝∠EDC，推出2∠2＝180°，得到CD⊥AB，即可得到结论.
【详解】（1）∵∠1+∠2＝180°∠1＝∠DFG，
∴∠1+∠DFG＝180°，
∴AB∥EG，
∴∠B＝∠EGC，
又∵∠B＝∠3，
∴∠3＝∠EGC，
∴DE∥BC；
（2）CD⊥EG.
理由是：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝∠EDC，
又∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴2∠2＝180°，
∴∠2=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AB∥EG，
∴CD⊥EG.
【点评】此题考查了平行线的判定及性质，角平分线的性质，垂直的定义，正确掌握各知识点并运用于推理论证得到结论是解题的关键.
34．如图①，在中，，的平分线交于点，的邻补角的平分线交的延长线于点，连接交于点，求的度数.
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，于点，于点.证得；又过点作于点，于点，于点.证得；再根据得到。
【详解】过点作于点，于点，于点.
，，
.
，
.
.
.
又过点作于点，于点，于点.
.
，
.
.
.
，
：
.
而，
.
【点评】本题主要考查了三角形角平分线的性质和判定定理的应用，本题综合性强，添加恰当的辅助线是本题解题的关键。
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