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专题30：三角形与全等三角形综合提升
一、单选题
1．下列说法错误的是（
）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
2．如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（
）
A．3cm
B．5cm
C．14cm
D．13cm
3．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连结，下列说法中不正确的有（
）
A．
B．和面积相等
C．
D．
4．下列尺规作图，能判断是的边上的高是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，已知，平分，若，则的度数为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（
）
A．12
B．16
C．20
D．16或20
7．如图，已知D、E分别是边AB，BC上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
8．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（
）
（1）这两个三角形一定全等；
（2）这两个三角形不一定全等；
（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；
（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
9．如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（
）
A．100
B．80
C．60
D．50
10．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
13．如图，等边中，、分别为、边上的点，、，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF．
则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
15．已知：如图①，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE=6cm，AB=8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的函数关系图象如图②，则下列结论正确的有（　　　）
①a=7；②b=10；③当t=3s时△PCD为等腰三角形；④当t=10s时，y=12cm2
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在、的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得、分别落在、的位置．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
17．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则相应的3个内角度数之比为；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤一个五边形最多有3个内角是直角；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
18．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE=BE；④AB＋BC＝2AE．其中正确结论的序号是（
）
A．只有①②③
B．只有②③
C．只有①②④
D．只有①④
20．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，
依此类推，则S5的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
21．如图所示，在ΔABC中，
AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF，
AH=DF，
AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．
22．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，连接，则的周长为______．
23．如图，
直线是四边形的对称轴，若，有下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论有__．
24．已知，，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC落在直线MN上，线段DE落在直线PQ上，其中，，CO平分，EO平分，两条角平分线相交与点O，则________．
25．如图，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为__________．
26．如图，已知，、分别平分和且度，则______度．
27．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则长方形内空白部分的面积之和是________．
28．如图，在Rt中，，，，平分，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为______．
29．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．
30．如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为_____
三、解答题
31．如图，在中，，，平分，平分，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：平分（已知），
．
同理可得　　．
　　，
（等式的性质）
　　．
　　．
32．如图所示，在中，，N是上任一点（不与点A，B重合），过点N作交所在直线于点M．
（1）若，求的度数．
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，求的度数．
（3）综合（1）（2），你发现了什么规律？试证明之．
（4）若将（1）中的改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？（直接写出结论）
33．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？
34．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．
（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
35．你见过如图所示的风筝吗？开始制作时，，，后来为了加固，又过点加了一根竹棒，分别交，于点，，且，你认为，相等吗？请说明理由．
36．如图，，于点，与相交于点，若，求的度数．
37．在中，．
（1）如图1，点在线段上，，求的度数；
（2）点在线段上（不与点重合），，点Q关于直线的对称点为M，连接．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
38．在四边形中，，为边上的点．
（1）连接，，；
①如图，若，求证：；
②如图，若，求证：平分；
（2）如图，是的平分线上的点，连接，，若，，，求的长．
39．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
40．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角，且，求的值．
41．如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．
（1）若BE＝4，CE＝，求AD的长；
（2）如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BE＝BC时，请直接写出的值．
42．如图，已知，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点P是射线EB上一点(与点E不重合)．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H．
（1）若∠BEF=64°，求∠FNH的度数；
（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．
43．线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．
（1）若点P在线段AD上，如图1，
①依题意补全图1；
②判断AM与DN的位置关系，并证明；
（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．
44．在菱形中，点为边的中点，，垂足为点，
垂足为点．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，如图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若菱形的面积为，菱形的周长为，四边形的面积为
，线段的长为
．
45．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：___；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．
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精品试卷·第
2
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专题30：三角形与全等三角形综合提升
一、单选题
1．下列说法错误的是（
）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
【答案】D
【分析】根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】解:、是线段的垂直平分线上的点，
，．故正确，不符合题意；
、若，
在的垂直平分线上．
同理在的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．故正确，不符合题意；
、若，则点在线段的垂直平分线上，故正确，不符合题意；
、若，则点在线段的垂直平分线上．但过点的直线有无数条，不能确定过点的直线是线段的垂直平分线．故错误，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．
2．如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（
）
A．3cm
B．5cm
C．14cm
D．13cm
【答案】B
【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，根据SAS得出，得出AB=CM=4cm，再根据三角形的三边关系得出AC的范围，从而得出结论；
【详解】延长AD至M使DM=AD，连接CM，
∵是的边上的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠CDM,
∴，
∴MC=AB=5cm，AD=DM=4cm，
在中，3＜AC＜13，
故选：B
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC长度的取值范围是解题的关键．
3．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连结，下列说法中不正确的有（
）
A．
B．和面积相等
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，不能得出CE=AE全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF//CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断和面积相等．
【详解】∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故D选项正确，不符合题意；
∴CE=BF，∠F=∠CED，不能得出CE=AE，故A说法错误，符合题意，
∴BF//CE，故C正确，不符合题意；
∵BD=CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故B正确，不符合题意；
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
4．下列尺规作图，能判断是的边上的高是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．
【详解】A.
所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；
B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；
C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；
D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．
5．如图，已知，平分，若，则的度数为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平行线性质，证得，从而得；根据角平分线性质，计算得，再根据三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵
∴
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴
故选：A．
【点评】本题考查了平行线、角平分线、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、三角形内角和的性质，从而完成求解．
6．等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（
）
A．12
B．16
C．20
D．16或20
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断.
【详解】解∵等腰三角形的两条边长分别为8和4
∴第三边为8或4，
又∵当第三遍长为4时
两边之和等于第三边即4+4=8不符合构成三角形的定义
故第三边的长为8
故周长为20，
故选C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的周长，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
7．如图，已知D、E分别是边AB，BC上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】S△ADF?S△CEF＝S△ABE?S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【详解】∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，
∵S△ABE?S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）?（S2＋S四边形BEFD）＝S1?S2＝3-2=1，
故选D．
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．
8．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（
）
（1）这两个三角形一定全等；
（2）这两个三角形不一定全等；
（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；
（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
【答案】B
【分析】画出图形，分别满足两边及一个锐角对应相等，两边与一个钝角对应相等，从而可得结论．
【详解】如图，两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足，
但是不能判定三角形的全等．
当时，
与不全等，
只有当相等的角是钝角时，这两个三角形全等．
当时，
此时完全重合的两个三角形全等，
则说法正确的只有（2）（4）．
故选：．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定，掌握利用图形理解三角形的判定方法是解题的关键．
9．如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（
）
A．100
B．80
C．60
D．50
【答案】A
【分析】首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．
【详解】∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠A=∠DEC，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=60m，
∵BC=160m，
∴BE=100m，
∴小华走的时间是100÷1=100（s），
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．
10．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】∵是的一条角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
A.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意；
B.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
C.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
11．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
12．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由角平分线的定义可以得到，，设，假设，，通过角的等量代换可得到，代入的值即可．
【详解】∵平分，平分
∴，
设
∵
∴可以假设，
∴
∵
∴
∴
设，则
∴
∴
∵
∴
故答案选：C
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键．
13．如图，等边中，、分别为、边上的点，、，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】A
【分析】①正确．根据证明三角形全等即可．②正确．证明，即可．③正确．证明，即可．④正确．过点作于，于，于，想办法证明，即可．⑤正确．由题意，，因为，推出，又因为，由此可得结论．
【详解】是等边三角形，
，，
在和中，
，
，故①正确，
，
，
，
，
，
，
、的平分线交于边上的点，
，，
，
，故②正确，
平分，平分，
同法可得，
，
，
，故③正确，
过点作于，于，于，
平分，平分，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，故④正确，
，
，
，
，
，故⑤正确，
故选：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF．
则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】由题意易得，根据全等三角形的性质可进行分析排除．
【详解】∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC，∠FAC=∠FAB+∠BAC，
∠BAG=∠FAC，AB=AF，AC=AG，，
BG=FC，∠AGB=∠ACF，故①正确；
∠AGC=∠AGB+∠BGC，∠GCF=∠ACF+∠GCA，∠GCA=∠AGC，
∠BGC+∠FCG=∠AGC-∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，
BG⊥CF，故②正确；
∠FAE+∠BAD=90°，AD⊥BC，
∠BAD+∠ABD=90°，∠FAE=∠ABD，故③正确；
如图，设GH与FC交于H点，连接EH，由①②③易得∠FHE=∠EHF，所以EF=EH，
即EF=EH=EG，故④正确；
故选D．
【点评】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
15．已知：如图①，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE=6cm，AB=8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的函数关系图象如图②，则下列结论正确的有（　　　）
①a=7；②b=10；③当t=3s时△PCD为等腰三角形；④当t=10s时，y=12cm2
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据点P运动的速度，可以确定某时刻点P的具体位置，再结合△BPC的面积与时间t函数关系的图象，可以得到问题的解答．
【详解】当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t=5时，△BPC面积最大为40，∴BE=5×2=10．
∵?BC?AB=40，∴BC=10．
则ED=10﹣6=4．当P点从E点到D点时，所用时间为4÷2=2s，∴a=5+2=7．
故①正确；
P点运动完整个过程需要时间t=（10+4+8）÷2=11s，即b=11，②错误；
当t=3时，BP=AE=6，
又BC=BE=10，∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），∴△BPC≌△EAB，∴CP=AB=8，∴CP=CD=8，∴△PCD是等腰三角形，故③正确；
当t=10时，P点运动的路程为10×2=20cm，此时PC=22﹣20=2，
△BPC面积为10×2=10cm2，④错误，∴正确的结论有①③．
故选：B．
【点评】本题考查矩形性质与函数图象的综合应用，正确理解函数图象各点意义、综合应用等腰三角形和平行线的性质是解题关键．
16．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在、的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得、分别落在、的位置．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据折叠和平行的性质得出∠EFB=∠GEF，再利用三角形的外角和平行的性质得出∠FGD1=∠G2FC，最后利用∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°计算即可
【详解】∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴
∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故选：A
【点评】本题考查折叠的性质、平行线的判定、三角形的外角，灵活进行角的转换是解题的关键
17．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则相应的3个内角度数之比为；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤一个五边形最多有3个内角是直角；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】B
【分析】①根据三角形的外角和定理及内角和定理分别求出各对应角的度数即可解答；②根据三角形的内角和定理解答即可；③根据平移的性质解答即可；④根据多边形的内角和定理解答即可；⑤由五边形的内角和为540°及多边形的每个内角不等于解答；⑥由角平分线的性质及三角形内角和定理解答即可
．
【详解】①错误，设三角形的
3
个外角的度数分别为，，，
∴，解得
个外角的度数分别为，，，
其对应的内角分别为、、，
个内角度数之比为；
②错误，
设，则，，，解得，
；
③错误，
根据平移的性质可知，
在图形的平移中，
连接对应点的线段互相平行或在一条直线上；
④正确，多边形的内角和为，边数每增加一条，
这个多边形的内角和就增加；
⑤正确，五边形的内角和为，假设有四个角为直角，
则另外一个角的度数为，故有四个直角不成立，一个五边形最多有
3
个内角是直角；
⑥错误，
两条平行直线被第三条直线所截，
同旁内角的角平分线互相垂直
．
综上所述：错误的个数为4个．
故选：B．
【点评】此题比较复杂，
涉及到多边形及三角形的内角和定理，
平行线的性质，
涉及面较广，
但难易适中
．
18．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算．
【详解】（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）
∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
∴∠P=90°+∠A；
故（1）的结论正确；
（2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）
∠P=∠PCE-∠PBC
∴2∠P=∠A
故（2）的结论是错误．
（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠FBC+∠ECB）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+180°）
=90°-∠A．
故（3）的结论正确．
正确的为：（1）（3）．
故选C
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE=BE；④AB＋BC＝2AE．其中正确结论的序号是（
）
A．只有①②③
B．只有②③
C．只有①②④
D．只有①④
【答案】A
【分析】适当做辅助线，构建三角形.延长CF并交BA延长线于H
①证明△ABE≌△ACH，得到BE=CH，又可证CH=2CF，故可得BE＝2CF
②若要得到AD＝DF，则需要证明△ADF为等腰直角三角形，需要证明∠DAF为45°即可
③过E作交AF于点M，证明△EMF为等腰直角三角形，
④过E作于点N，证明，得到，即可证明④错误.
【详解】①延长BA、CF，交于点H，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
②由①知，F为CH中点，又为直角三角形
故
∴
∵
∴
∵
∴
又BF为的平分线
∴
∴
∴
在中，
∴
③过E作交AF于点M，由②知，CA为∠DAF的平分线
∴
△EMF为等腰直角三角形
∴
∴
④过E作于点N，可知
在中，
∴
即,而
∴
故
∴,故④错误，本题答案选A.
【点评】本题主要考查三角形辅助线的作法，要考虑题目的含义适当的作辅助线构建全等三角形.本题属于拔高题，熟练作辅助线证全等是本题解题的关键所在.
20．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，
依此类推，则S5的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图1，连接OC,由、分别将边BC、AC2等份，,所以,即,根据等底同高的两个三角形的面积相等可得
所以，即可求得，所以；
如图2，连接OC,OD1，OE2,由图（1）的方法可得
,
所以
,
同样的方法可求得,以此类推可得.故选D.
【点评】本题是规律探究题，主要考查等底同高的两个三角形的面积相等；能从图中观察，并能适当添加辅助线是解题的关键..
二、填空题
21．如图所示，在ΔABC中，
AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF，
AH=DF，
AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．
【答案】
【分析】由“HL”可证Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的数量关系可求解．
【详解】在Rt△ABH和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），
∴∠EDF=∠BAH，
∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，
∴∠B=∠DAH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
设∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，
∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，
∴∠ACB=90°-∠CAH
=3y，
∵∠DAC+n∠ACB=90°，
∴x+3ny=90°，
∴3n=2，
∴n=，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，连接，则的周长为______．
【答案】15
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，故可得出△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC，由此即可得出结论．
【详解】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=9+6=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
23．如图，
直线是四边形的对称轴，若，有下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论有__．
【答案】②③④
【分析】根据轴对称的性质得到直线垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得，，由于AB=CD，则，于是可判断四边形为菱形，然后根据菱形的性质对4个结论进行判断．
【详解】证明：∵直线是四边形的对称轴，
直线垂直平分，
，，
，
，
四边形为菱形，
，，，所以②③④正确
．
故答案为②③④．
【点评】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．也考查了菱形的判定与性质．
24．已知，，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC落在直线MN上，线段DE落在直线PQ上，其中，，CO平分，EO平分，两条角平分线相交与点O，则________．
【答案】52.5
【分析】延长CO交PQ于点F，根据∠COE=∠CFE+∠OEF，结合平行线的性质，角的平分线的定义计算；
【详解】延长CO交PQ于点F，则∠COE=∠CFE+∠OEF，
∵，，CO平分，EO平分，
∴∠BCF=30°，∠OEF=22.5°，
∵，
∴∠BCF=∠CFE，
∴∠COE=30°+22.5°=52.5°，
故答案为：52.5°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，三角形外角定理，延长构造三角形外角，活用平行线的性质是解题的关键．
25．如图，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为__________．
【答案】①②④
【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确．④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．③利用②的结论得出∠FGD=∠FEB，从而证明错误的．②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【详解】∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，故①正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，即∠BEF=（∠BAF+∠C），故④正确；
∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠FGD=∠CBE+∠C=∠ABE+∠C，故③错误，
∵∠ABD=90°-∠BAC，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，∠CBD=90°-∠C，
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，
∵∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，
∴∠F=（∠BAC-∠C）；故②正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
26．如图，已知，、分别平分和且度，则______度．
【答案】60
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根据角平分线的定义可得∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，然后整理得到∠BEC=∠BAC，过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE平分∠CAH，然后列式计算即可得解．
【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC），
∴∠BEC=∠BAC，
∵∠BEC=30°，
∴∠BAC=60°，
过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴EF=EH，EF=EG，
∴EF=EG=EH，
∴AE平分∠CAH，
∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
27．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则长方形内空白部分的面积之和是________．
【答案】60
【分析】根据勾股定理求出AB,求出△ACB△BOG
，△MHG△GOB，求出AC=
OB=
HG
=
4，BC=
OG
=
MH=3，分别求出长方形FHNR，正方形BCDE，正方形ACQP，正方形ABGM的面积，即可求出答案．
【详解】如图，在Rt△ABC中，BC=
3，AC=
4
，
则根据勾股定理得到AB=，
延长CB交FH于O，
∵四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，
∴BG=AB=GM，∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB=
90°，BC//DE，
∴∠BOG=∠F=
90°，
∴∠CAB+∠ABC=
90°，
∠ABC+∠GBO=
180°-
90°=
90°，
∴∠CAB=∠GBO，
在△ACB和△BOG中，
∴△ACB△BOG(AAS)，
∴AC=
OB=
4，OG=
BC=
3，
同理可证△MHG△GOB，
∴MH
=
OG=3，HG=OB=
4，
∴FR=4
+3+4=
11，FH=3+3+4=
10，
∴
；
故答案为：60．
【点评】本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出长方形HFRN的边长．
28．如图，在Rt中，，，，平分，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为______．
【答案】12
【分析】在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE．过点A作AH⊥BC于H．证明FE＝FE′，推出AF＋FE＝AF＋FE′，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE．过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，
∴AH＝AC＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠FBE′，
∵BE＝BE′，BF＝BF，
∴△FBE≌△FBE′（SAS），
∴FE＝FE′，
∴AF＋FE＝AF＋FE′，
根据垂线段最短可知，当A，F，E共线且与AH重合时，AF＋FE的值最小，最小值＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查轴对称?最短问题，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
29．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．
【答案】
【分析】如图（见解析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得．
【详解】如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，
设，则，
，
，
是的平分线，
，
，
是的平分线，，，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．
30．如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为_____
【答案】8
【分析】连接OP，过点O作OHNM交NM的延长线于H，首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明是等腰直角三角形，当OP最小时，的面积最小．
【详解】如图所示，连接OP，过点O作OHNM交NM的延长线于H，
∵，且MN=7，,∴OH=4，
∵点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称点为，
∴，，，
∵∠AOB＝45°，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当最小时，的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴的面积的最小值＝，
故答案为：8．
【点评】本题主要考察了角平分线的应用及垂线段最短的公理，解题的关键在于证明是等腰直角三角形，找到OP的最小值．
三、解答题
31．如图，在中，，，平分，平分，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：平分（已知），
．
同理可得　　．
　　，
（等式的性质）
　　．
　　．
【答案】，三角形内角和定理，，．
【分析】先根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCB的值，然后根据三角形内角和求解即可．
【详解】平分（已知），
．
同理可得．
（三角形内角和定理），
（等式的性质）
．
．
故答案为：，三角形内角和定理，，．
【点评】本题考查了三角形的角平分线，以及三角形的内角和，根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCB的值是解答本题的关键．
32．如图所示，在中，，N是上任一点（不与点A，B重合），过点N作交所在直线于点M．
（1）若，求的度数．
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，求的度数．
（3）综合（1）（2），你发现了什么规律？试证明之．
（4）若将（1）中的改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？（直接写出结论）
【答案】（1）15°；（2）34°；（3），证明见解析；（4）成立
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和可求得∠NMB；
（2）方法同（1）；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可找到∠A与∠NMB之间的关系，可证明结论；
（4）结合（3）的证明，可知仍然成立，证明方法同（3）．
【详解】（1），
，
，
，
，
；
（2）当时，同理有；
（3）规律：，证明如下：
，
，
，
，
，
；
（4）当为钝角或直角时，仍然有．
若∠A为钝角，如图，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=90°-=，
同理，当∠A为锐角，依然成立．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角及三角形内角和为180°是解题的关键．
33．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？
【答案】应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．
【分析】先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得千米，最后根据线段的和差可得．
【详解】由题意得：，千米，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
千米，千米，
千米，
千米，
答：应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．
【点评】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
34．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．
（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD
【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90?即可；
（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90?即可；
（3）BD交AC于点H，AO于M，可证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90?即可．
【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD，
证明：延长BD交AC于点E．
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠COA=∠BOD=90?，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠ADE=∠BDO，
∴∠AED=∠BOD=90?，
∴AC⊥BD；
（2）存在，
证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠DOC=BOA=90?，
∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AGF=∠BGO，
∴∠AFG=∠BOG=90?，
∴AC⊥BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．
证明：BD交AC于点H，AO于M，
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠DOC=BOA=90?，
∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AMH=∠BMO，
∴∠AHM=∠BOH=90?，
∴AC⊥BD．
【点评】本题考查三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键．
35．你见过如图所示的风筝吗？开始制作时，，，后来为了加固，又过点加了一根竹棒，分别交，于点，，且，你认为，相等吗？请说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】连接BC，首先证明△ABC≌△DCB可得∠A=∠D，然后再证明△ABO≌△DCO可得AO=DO，最后证明△AEO≌△DFO可得EO=FO．
【详解】；理由如下：
连接，如图
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
36．如图，，于点，与相交于点，若，求的度数．
【答案】110°
【分析】根据，求得的度数，利用对顶角相等得到∠GBE的度数，再根据平行线的性质求出的度数．
【详解】于，
是直角三角形，
，
，
，
，
即．
【点评】此题考查直角三角形两锐角互余，对顶角相等，两直线平行同旁内角互补的性质，正确理解平行线的性质得到解题的思路是解题的关键．
37．在中，．
（1）如图1，点在线段上，，求的度数；
（2）点在线段上（不与点重合），，点Q关于直线的对称点为M，连接．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2）①见解析；②，证明见解析
【分析】（1）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以得解；
（2）①根据轴对称的意义和性质可以作出图形；
②连结MC，然后根据轴对称的性质和直角等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质可以得到解答．
【详解】（1）∵在中，，
.
是的一个外角，
.
，
.
，
．
（2）①如图，由题意可得补全图如下：
②，理由如下：
如上图，连接.
，
.
，
.
.
.
.
∵点Q关于直线的对称点为M，
.
，
∴△ABP≌△ACM，
∴BP=CM，
.
在中，，
.
，
.
在中，，
，
【点评】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握直角等腰三角形和三角形的性质、轴对称的意义和性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用是解题关键．
38．在四边形中，，为边上的点．
（1）连接，，；
①如图，若，求证：；
②如图，若，求证：平分；
（2）如图，是的平分线上的点，连接，，若，，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【分析】（1）①根据条件得出，即可求证；
②延长交的延长线于点，得出再证明即可；
（2）解法1：过点分别作，，得到，由，，得到，设，求得，在和中，由勾股定理即可求得的长．
解法2：在上截取，得出，过作，根据，即可求得的长．
【详解】（1）①证明：，
，，
，
在和中
，，，
，
．
②证明：延长交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解法1：如图，过点分别作，，分别交及的延长线于点，．
平分，
，
又，，
，
在和中
，，，
，
，，
在和中
，，，
，
设，
，，
，，
，
，
，
，
在和中
，，，
．
解法2：如图，在上截取，
，，
，
在和中
，，，
，
，
，
，
过作，垂足为，
，
，
在和中
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题．
39．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
【答案】（1）；（2）见详解．
【分析】（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；
（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．
【详解】（1）如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED=，
∴三角形BDE是等腰直角三角形，，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵，
∴，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，
∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．
40．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角，且，求的值．
【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）【观察猜想】根据正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可证明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根据E是AN的中点，即可证明CM=2BE，根据等边对等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90?即可证明CM⊥BE．
（2）【探究证明】延长BE至F使EF=
BE，连接AF，先证明△AEF≌△NEB，再证明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，进而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可证明EB⊥CM；
（3）[拓展延伸]
由a=45°得到∠ABE=
15°，由前面可得∠BMC=
30°，过C作CG⊥MB于G，设CG为m，则BC=m，MG=m，所以MB=
BN=m-m，最后求得的值．
【详解】解:【观察猜想】(1)CM
=2BE
；CM⊥BE；如图1所示
图1
∵正方形ABCD，
∴AB=CB，
∵等腰三角形BMN，
∴BM=BN，
∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，
∴∠BAN=∠BCM，
又∵E是AN的中点，
∴BE=AE=NE=AN，
∴CM=2BE，
∵BE=AE，
∴∠BAN=∠ABE，
∴∠ABE=∠BCM，
∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90?
∴∠BPM=90?
∴CM⊥BE．
【探究证明】
(2)CM
=
2BE，CM
⊥
BE仍然成立．
如图2所示，延长BE至F使EF=
BE，连接AF，
∵AE=
EN，∠AEF=∠NEB，EF=
BE，
∴△AEF≌△NEB
∴AF=
BN，∠F=∠EBN，
∴AF//BN，AF=
BM，
∴∠FAB+∠ABN
=
180°，
∵
∠MBN=
∠ABC=
90°，
∴∠NBC+∠ABN=
90°，
∴∠NBA+∠FAD=
90°，
∴∠CBN=
∠FAD
∴∠FAB=∠MBC，
∵AB=BC，
∴△FAB≌MBC，
∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，
∵∠ABF+∠FBC=90°
∴∠BCM+∠EBC=90°，
∴EB⊥CM；
[拓展延伸]
(3)由a=45°得
∠MBA=∠ABN=
45°，
∵∠NBE=
2∠ABE，
∴
∠ABE=
15°，
由前面可得∠MCB=∠ABE=
15°，∠MBC=
135°，
∴∠BMC=
180°-15°-135°=30°，
如图3所示，过C作CG⊥MB于G，
图3
设CG为m
则BC=m，MG=m
，所以MB=
BN=m-m，
∴．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题．
41．如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．
（1）若BE＝4，CE＝，求AD的长；
（2）如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BE＝BC时，请直接写出的值．
【答案】（1）5；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题意可先证得△ABE为等腰直角三角形，从而求出AB，AE，然后在△CED中运用勾股定理求出ED的长度，最终得到AD的长度；
（2）作HR⊥BC于点R，ET⊥BC于点T，首先证明CE=CH，再证明△CRH≌△ETC，推出HR=CT=DE，从而得出结论；
（3）在（2）的基础之上，作GM⊥AD于M点，GN⊥CD于N点，设AB=AE=m，则BE=BC=m，推出DE=AD-AE=m-m，BH=DE=2m-m，再求出DG即可得出结论．
【详解】（1）∵在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=45°，△ABE为等腰直角三角形，
则，即：，
由矩形性质可得：，
在Rt△CED中，，
∴AD=AE+ED=4+1=5；
（2）如图所示，作HR⊥BC于点R，ET⊥BC于点T，
由题意可得四边形ABTE为正方形，
∴∠EBT=∠BET=45°，
∵EF=EC，ET⊥FC，
∴FT=TC，∠FET=∠CET，∠EFC=∠ECF，
∵CG⊥EF，
∴∠CGF=∠ETC=90°，
∴∠CFG+∠FCG=90°，∠CET+∠ECT=90°，
∴∠GCF=∠CET，
∵∠CEH=∠CET+∠BET=45°+∠CET，
∠CHB=∠CBH+∠HCB=45°+∠HCB，
∴∠CEH=∠CHE，
∴CE=CH，
∵HR⊥BC，
∴∠CRH=∠ETC=90°，
在△CRH和△ETC中，
∴△CRH≌△ETC（AAS），
∴HR=CT，
由题意可知，△BRH为等腰直角三角形，四边形ETCD为矩形，
∴HR=CT=DE，
∴；
（3）如图所示，在（2）的条件下，作GM⊥AD于M点，GN⊥CD于N点，
设AB=AE=m，则BE=BC=m，
∴DE=AD-AE=m-m，
∴BH=DE=2m-m，
当BE=BC时，∠CEH
=∠BCE=（180°-∠EBC）÷2=67.5°，
由（2）可知，∠CEH=∠CHE=∠BCE=45°+∠BCH=67.5°，
∴∠BCH=22.5°，∠ECH=45°，
∵CG⊥EG，
∴GC=GE，
∵∠MGN=∠EGC=90°，
∴∠MGE=∠NGC，
在△GME和△GNC中，
∴△GME≌△GNC（AAS），
∴GM=GN，
∵GM⊥AD，GN⊥CD，
∴GD平分∠ADC，
∴∠CDG=45°，
结合（1）可得∠DCH=67.5°，
∴∠CGD=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴DG=DC=m，
∴．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，正确构造辅助线证明三角形全等是解题关键．
42．如图，已知，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点P是射线EB上一点(与点E不重合)．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H．
（1）若∠BEF=64°，求∠FNH的度数；
（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）32°；（2），理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得出，代入求出的度数，根据角平分线的定义得出，，求出，根据垂直的定义得出，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得出，代入求出的度数，根据角平分线的定义得出，，求出，根据垂直的定义得出，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】（1），
，
，
，
、分别平分和，
，，
，
，
，
；
（2），
证明：设，
，
，
，
，
、分别平分和，
，，
，
，
，
，
即．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，求解过程类似．
43．线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．
（1）若点P在线段AD上，如图1，
①依题意补全图1；
②判断AM与DN的位置关系，并证明；
（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①图见解析；②，证明见解析；（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，．
【分析】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作和的平分线即可；
②先根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得；
（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，．理由：先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据对顶角相等可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得证．
【详解】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作和的平分线，如图1所示：
②，证明如下：
∵AM平分，DN平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，，证明如下：
如图2，设DN交BA延长线于点F，延长MA交DN于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵AM平分，DN平分，
∴，，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键．
44．在菱形中，点为边的中点，，垂足为点，
垂足为点．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，如图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若菱形的面积为，菱形的周长为，四边形的面积为
，线段的长为
．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）78，或
【分析】（1）如图①中，如图1中，过点作于．证明可得结论．
（2）如图②中，结论：．如图③中，结论：．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）根据菱形的周长求出菱形的边长，利用菱形的面积公式求出菱形的高，再利用勾股定理求出，利用（2）中结论解决问题即可．
【详解】（1）如图①中，如图1中，过点作于．
四边形是菱形，
，，，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
（2）如图②中，结论：．
理由：过点作于．
同法可证，，，
．
如图③中，结论：．
理由：过点作于．
同法可证，，，
．
（3）菱形的周长为52，
，
菱形的面积，，
，
，
，
四边形的面积．
，
，
，
如图②中，，
如图③，
故答案为78，或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
45．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：___；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】（1）见详解；（2）DE=ADBE；证明见详解；（3）DE=BEAD，证明见详解．
【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同．
【详解】（1）证明：如下图：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）证明：在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CECD=ADBE；
（3）DE=BEAD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
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精品试卷·第
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