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专题05：平方根
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A．＝±3
B．（﹣a3）2＝a6
C．a6÷a3＝a2
D．（x+y）2＝x2+y2
2．16的平方根是（　　）
A．±2
B．±4
C．4
D．±8
3．估算的运算结果应在（　　）
A．3到4之间
B．4到5之间
C．5到6之间
D．6到7之间
4．比较4，，的大小，正确的是（　　）
A．4＜＜
B．4＜＜
C．＜4＜
D．＜＜4
5．方程x2﹣5＝0的实数解为（
）
A．
B．
C．
D．±5
6．已知是整数，当取最小值时，的值是(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
7．若，，且，则的值为(　　)
A．
B．
C．5
D．
8．若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（　　）
A．1
B．3
C．4
D．9
9．的算术平方根是（　　）
A．
B．﹣
C．
D．±
10．已知，为实数，且＋
(＋
2)2＝0,则yx的立方根是（
）
A．-2
B．-8
C．
D．±2
二、填空题
11．的倒数是________；的绝对值是________；的平方根是________．
12．已知，则（a﹣b）2＝_____．
13．若+|b﹣2|＝0，则（a+b）2020的值为______．
14．一个正数的两个平方根分别为3﹣a和2a+1，则这个正数是_____．
15．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是_____.
16．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝_____．
三、解答题
17．先化简，再求值：2（3x3﹣y2）﹣（3y2+x3），其中x＝﹣1，
18．已知实数a+b的平方根是±4，实数a的立方根是﹣2，求a+b的平方根．
19．实数.在数轴上的位置如图所示，请化简：
.
20．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
21．请你观察下列等式，再回答问题．
;
(1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式，并加以验证．
22．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
23．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000
m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420
m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1
m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
24．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．
25．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
26．已知关于x、y的方程组的解都小于1，若关于a的不等式组恰好有三个整数解；
⑴
分别求出m与n的取值范围；
⑵请化简：。
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精品试卷·第
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专题05：平方根
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A．＝±3
B．（﹣a3）2＝a6
C．a6÷a3＝a2
D．（x+y）2＝x2+y2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正数的算术平方根是正数，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，和的平方等于平方和加积的二倍，可得答案.
【详解】9的算术平方根是3，故A错误；
B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键.
2．16的平方根是（　　）
A．±2
B．±4
C．4
D．±8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的定义求解即可求得答案.
【详解】=16
16的平方根是4.
故选B.
【点评】主题主要考查平方根的定义.
3．估算的运算结果应在（　　）
A．3到4之间
B．4到5之间
C．5到6之间
D．6到7之间
【答案】C
【分析】先估算出的大小,然后求得的大小即可.
【详解】解:9<15<16,
3<<4，5＜＜6，
故选C.
【点评】本题考查了估算无理数的大小:利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算.
4．比较4，，的大小，正确的是（　　）
A．4＜＜
B．4＜＜
C．＜4＜
D．＜＜4
【答案】C
【解析】
【分析】根据4=＜且4=＞进行比较
【详解】易得：4=＜且4=＞，
所以＜4＜
故选C.
【点评】本题主要考查开平方开立方运算。
5．方程x2﹣5＝0的实数解为（
）
A．
B．
C．
D．±5
【答案】C
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【详解】∵x2﹣5＝0，
∴x2＝5，
则x＝，
故选：C．
【点评】本题考查解方程，熟练掌握计算法则是解题关键.
6．已知是整数，当取最小值时，的值是(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论．
【详解】∵，∴，
且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5，
故选A．
【点评】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
7．若，，且，则的值为(　　)
A．
B．
C．5
D．
【答案】A
【分析】首先根据平方根的定义求出a、b的值，再由ab＜0，可知a、b异号，由此即可求出a-b的值．
【详解】∵a2=4，b2=9，
∴a=±2，b=±3，
而ab＜0，
∴①当a＞0时，b＜0，即当a=2时，b=-3，a-b=5；
②a＜0时，b＞0，即a=-2时，b=3，a-b=-5．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8．若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（　　）
A．1
B．3
C．4
D．9
【答案】D
【分析】依据平方根的性质列方出求解即可．
【详解】∵一个正数的平方根是2a-1和-a+2，
∴2a-1-a+2=0．
解得：a=-1．
∴2a-1=-3．
∴这个正数是9．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，依据平方根的性质列出关于a的方程是解题的关键．
9．的算术平方根是（　　）
A．
B．﹣
C．
D．±
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【详解】的算术平方根是：．
故选C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．
10．已知，为实数，且＋
(＋
2)2＝0,则yx的立方根是（
）
A．-2
B．-8
C．
D．±2
【答案】A
【解析】
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】根据题意得，x-3=0，y+2=0，
解得x=3，y=-2，
所以yx=（-2）3=-8．
-8的立方根为-2，
故选A．
【点评】本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
二、填空题
11．的倒数是________；的绝对值是________；的平方根是________．
【答案】
【解析】
此题考查倒数、绝对值、平方根
－3的倒数是，－6的绝对值是，4的平方根是
答案，6，
12．已知，则（a﹣b）2＝_____．
【答案】25
【分析】根据算术平方根和平方的非负性可得a、b的值，再代入求解即可．
【详解】∵，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3．
∴（a﹣b）2＝（2+3）2＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了代数式的运算问题，掌握算术平方根和平方的非负性是解题的关键．
13．若+|b﹣2|＝0，则（a+b）2020的值为______．
【答案】1
【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．
【详解】∵
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣3，b＝2；
因此a+b＝﹣3+2＝﹣1．
则（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性及乘方，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性及乘方是解题的关键．
14．一个正数的两个平方根分别为3﹣a和2a+1，则这个正数是_____．
【答案】49
【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数．
【详解】根据题意得3﹣a+2a+1=0，
解得：a=﹣4，
∴这个正数为（3﹣a）2=72=49，
故答案为49．
【点评】本题考查了平方根的性质，熟知一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键.
15．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是_____.
【答案】
【解析】
【分析】观察数阵中每个平方根下数字的规律特征，依据规律推断所求数字.
【详解】观察可知，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的平方根，而每一行的个数依次为2、4、6、8、10…则归纳可知，第7行最后一个数是，则第7行倒数第二个数是.
【点评】本题考查观察与归纳，要善于发现数列的规律性特征.
16．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝_____．
【答案】1或5．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，
则x﹣y＝1或5．
故答案为1或5．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
17．先化简，再求值：2（3x3﹣y2）﹣（3y2+x3），其中x＝﹣1，
【答案】-15
【解析】
【分析】本题应对代数式进行去括号，合并同类项，将代数式化为最简式，然后把x、y的值代入即可．
【详解】原式＝6x3﹣2y2﹣3y2﹣x3＝5x3﹣5y2，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣5﹣10＝﹣15．
【点评】本题考查整式的化简，熟练掌握计算法则是解题关键.
18．已知实数a+b的平方根是±4，实数a的立方根是﹣2，求a+b的平方根．
【答案】±6．
【分析】利用平方根及立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算求出平方根即可．
【详解】∵实数a+b的平方根是±4，实数a的立方根是﹣2，
∴a+b＝16，a＝﹣8，
解得a＝﹣24，b＝40，
∴a+b＝×（﹣24）+40＝36，
∴a+b的平方根为±6．
【点评】此题考查平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则和列出方程.
19．实数.在数轴上的位置如图所示，请化简：
.
【答案】
【分析】根据a、b在数轴的位置可知a、b的大小关系，进而根据绝对值和二次根式的性质化简即可.
【详解】由图知a＜0＜b，且|a|＜|b|，
则原式=b﹣a+a﹣（a+b）
=b﹣a+a﹣a﹣b
=﹣a．
【点评】本题考查绝对值和二次根式的性质，负数的绝对值是它的相反数，熟练掌握绝对值的性质是解题关键.
20．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【答案】±3
【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点评】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
21．请你观察下列等式，再回答问题．
;
(1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式，并加以验证．
【答案】（1），验证见解析；（2），验证见解析.
【分析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；
（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
【详解】（1），验证略.
（2）.验证如下：
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算是平方根的概念.
22．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
【答案】（1）a=5，b=2，c=3
；（2）±4.
【分析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b-1=16，
∴a=5，b=2，
∵c是的整数部分，
∴c=3，
（2）∵a=5,b=2,c=3,
∴3a-b+c=16，
3a-b+c的平方根是±4．
【点评】考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
23．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000
m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420
m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1
m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【答案】能按规定在这块空地上建一个篮球场．
【分析】先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.
【详解】设篮球场的宽为x
m，则长为x
m，根据题意，得
x·x=420，即x2=225，
∵x为正数，
∴x==15，
∴篮球场的长为28米，
∵
(28+2)2=900<1000，
∴能按规定在这块空地上建一个篮球场．
24．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．
【答案】a+2b－c的平方根为.
【详解】试题分析：先根据算术平方根及平方根的定义得出关于的方程组，求出的值，再估算出的取值范围求出c的值，代入所求代数式进行计算即可．
试题解析：∵2a?1的算术平方根是3，3a+b?1的平方根是±4，
∴
解得
∵9<13<16，
∴
∴的整数部分是3，即c=3，
∴原式
6的平方根是
25．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
【答案】（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.
【详解】（1）∵，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案为：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OB=8，
由运动知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴，
，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x轴平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【点评】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.
26．已知关于x、y的方程组的解都小于1，若关于a的不等式组恰好有三个整数解；
⑴
分别求出m与n的取值范围；
⑵请化简：。
【答案】（1）（2）2m-2n-6
【解析】
【分析】(1)解关于x、y的不等式组，得﹣3＜m＜1
.同理可以得出﹣5≤a≤.
由于原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，解得-4≤n＜﹣.
(2)由m、n的取值范围得出m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0，从而化简得出最后结果.
【详解】（1），
①+②得：2x=m+1，即x=＜1；
①﹣②得：4y=1﹣m，即y=＜1，
解得：﹣3＜m＜1；
由a+2≥1得a≥﹣5，
2n-3a≥1得a≤.
所以﹣5≤a≤.
原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，
解得-4≤n＜﹣.
（2）∵﹣3＜m＜1，
∴m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0
原式=m+3﹣(1-m)-(2n+8)=2m-2n-6．
【点评】本题是考查解不等式组、绝对值的化简、算术平方根的化简、相反数的综合性题目,是中考常出现的题型.理解关于a的方程组恰好有三个整数解是解决本题的关键.
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