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专题06：立方根
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（
）
A．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
C．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是0
D．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数定是0
2．若，则x和y的关系是(　　)．
A．x＝y＝0
B．x和y互为相反数
C．x和y相等
D．不能确定
3．若，则的值是（
）
A．1
B．-3
C．1或-3
D．-1或3
4．下列各式中,正确的是(
)
A．=±4
B．±=4
C．
D．
5．在实数范围内，下列判断正确的是（
）
A．若，则m=n
B．若，则a＞b
C．若，则a=b
D．若，则a=b
6．小雪在作业本上做了四道题目：①＝﹣3；②±＝4；③＝9；④＝-6，她做对了的题目有（　　）
A．1道
B．2道
C．3道
D．4道
7．已知，且，则的值为（　　　）
A．
B．
C．1
D．1或
8．有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（
）
A．10
B．10（-1）
C．100
D．-1
9．下列计算正确的是（
）
A．=﹣4
B．=±4
C．=﹣4
D．=﹣4
二、解答题
10．如图所示的圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3）
（1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？
（2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗）
11．已知某正数的两个平方根是和，的立方根为－2，求的算术平方根．
12．已知（2m﹣1）2＝9，（n+1）3＝27．求出2m+n的算术平方根．
13．已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求的值．
14．已知2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．
15．求下列各代数式的值．
（1）已知当时，代数式值为18，求代数式的值．
（2）已知是有理数，且满足：的立方根是的平方是25，求的值．
（3）已知多项式，，中不含有项和项，求的值．
16．已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根，求的值.
17．本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
运算
求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．
求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．
表示方法
正数的平方根可以表示为“”
一个数的立方根可以表示为“”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
　　　　．
（2）探究性质：
①的四次方根是　　　　；②的四次方根是　　　　；
③的四次方根是　　　　；④的四次方根是　　　　；
⑤的四次方根是　　　　；⑥　　　　（填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
　　　　；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　　　　．
（拓展应用）
（1）　　　　；
（2）　　　　；
（3）比较大小：　　　　．
18．已知一个正数的平方根是和，求的立方根．
19．已知2x﹣1的平方根是±7，5x+y﹣1的立方根是5，求x2y的平方根．
20．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：______．
三、填空题
21．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______.
22．﹣64的立方根与的平方根之和是_____．
23．若为最大的负整数，则a的值应为_______
24．计算下列各式的值：.?观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=____.
25．如果是的算术平方根，那么的立方根为________．
26．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是_____．
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2
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（共
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专题06：立方根
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（
）
A．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
C．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是0
D．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数定是0
【答案】B
【分析】根据平方、平方根、算术平方根、立方根的定义，思考特殊值，即可求出答案.
【详解】A、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0或1，故A是假命题；
B、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
C、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0或1，故C是假命题；
D、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0、1、-1，故D是假命题.
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
2．若，则x和y的关系是(　　)．
A．x＝y＝0
B．x和y互为相反数
C．x和y相等
D．不能确定
【答案】B
【解析】
分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可．
详解：
∵,
∴,
∴x=-y，
即x、y互为相反数，
故选B．
点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y．
3．若，则的值是（
）
A．1
B．-3
C．1或-3
D．-1或3
【答案】C
【分析】根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a，b的值，再代入求解即可．
【详解】
，
当时，；
∴当时，．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a，b的值是解此题的关键．
4．下列各式中,正确的是(
)
A．=±4
B．±=4
C．
D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
5．在实数范围内，下列判断正确的是（
）
A．若，则m=n
B．若，则a＞b
C．若，则a=b
D．若，则a=b
【答案】D
【分析】根据实数的基本性质，逐个分析即可.
【详解】A、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；
B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；
C、两个数可能互为相反数，如a=-3，b=3，故选项错误；
D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．
故选:D．
【点评】考核知识点：实数的性质.理解算术平方根和立方根性质是关键.
6．小雪在作业本上做了四道题目：①＝﹣3；②±＝4；③＝9；④＝-6，她做对了的题目有（　　）
A．1道
B．2道
C．3道
D．4道
【答案】A
【解析】
【分析】依据立方根、平方根算术平方根的定义求解即可
【详解】①=-3,故①正确;②±=±4,故②错误;
=3，故③错误;④=6,故④错误。
故选:A.
【点评】此题考查立方根，算术平方根和平方根，掌握运算法则是解题关键
7．已知，且，则的值为（　　　）
A．
B．
C．1
D．1或
【答案】C
【分析】根据平方根的定义及立方根的定义求出，利用法确定a=4，b=-3，代入a+b计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴a=4，b=-3，
∴a+b=4-3=1，
故选：C．
【点评】此题考查平方根的定义及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的加减法，正确理解平方根的定义及立方根的定义求出a及b的值是解题的关键．
8．有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（
）
A．10
B．10（-1）
C．100
D．-1
【答案】B
【解析】
由于计算器显示结果的位数有限，要想在原来显示的结果的右端再多显示一位数字，则应该设法去掉左端的数字“1”.
对于整数部分不为零的数，计算器不显示位于左端的零.
于是，先将原来显示的结果左端的数字“1”化为零，即计算.
为了使该结果的整数部分不为零，再将该结果的小数点向右移动一位，即计算.
这样，位于原来显示的结果左端的数字消失了，空出的一位由原来显示结果右端数字“7”的后一位数字填补，从而实现了题目的要求.
根据以上分析，为了满足要求，应该在这个计算器中计算的值.
故本题应选B.
【点评】本题综合考查了计算器的使用以及小数的相关知识.
本题解题的关键在于理解计算器显示数字的特点和规律.
本题的一个难点在于如何构造满足题目要求的算式.
解题过程中要注意，只将原结果的左端数字化为零并不一定会让这个数字消失.
只有当整数部分不为零时，左端的零才不显示.
另外，对于本题而言，将结果的小数点向右移动是为了使该结果的整数部分不为零，要充分理解这一原理.
9．下列计算正确的是（
）
A．=﹣4
B．=±4
C．=﹣4
D．=﹣4
【答案】D
【解析】
试题分析：根据二次根式的意义，可知被开方数为非负数，因此A不正确；根据算术平方根是平方根中带正号的，故B不正确；根据二次根式的性质
可知=4，故C不正确；根据立方根的意义可知=-4，故D正确.
故选D
二、解答题
10．如图所示的圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3）
（1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？
（2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗）
【答案】（1）这个圆柱形容器的底面直径为6分米；（2）制作这个圆柱形容器需要铁皮108平方分米．
【解析】
【分析】(1)这个圆柱形容器的高为x分米,根据圆柱形容器的体积列方程求解即可;
(2)由圆柱的表面计算公式求解可得答案.
【详解】（1）设这个圆柱形容器的高为x分米，则它的底面直径是2x分米，依题意得
，
解得x=3，
∴2x=6，
答：这个圆柱形容器的底面直径为6分米；
（2）2π×32+2π×3×3=108（平方分米）．
答：制作这个圆柱形容器需要铁皮108平方分米．
【点评】本题主要考查圆柱的体积、表面积计算公式，及方程的应用.
11．已知某正数的两个平方根是和，的立方根为－2，求的算术平方根．
【答案】3
【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据算术平方根的定义求出a+b的算术平方根．
【详解】由题意得，，，
解得：，，
∴，
∴的算术平方根是3.
【点评】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．
12．已知（2m﹣1）2＝9，（n+1）3＝27．求出2m+n的算术平方根．
【答案】0或．
【分析】第一个方程依据平方根的定义求解即可；第二个方程依据立方根的定义可求得n+1=3，然后再解方程即可；最后分别代入计算即可．
【详解】（2m-1）2=9，
2m-1=±=±3，
2m-1=3或2m-1=-3，
∴m=-1或m=2，
（n+1）3=27，
n+1=3，
∴n=2，
当m=-1，n=2时，2m+n=-2+2=0，
∴2m+n的算术平方根是0；
当m=2，n=2时，2m+n=4+2=6，
∴2m+n的算术平方根是；
故2m+n的算术平方根是0或．
【点评】此题考查了立方根与平方根的定义，此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，不要丢解．
13．已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求的值．
【答案】（1）a＝±2，b＝16，c＝2，d＝512；（2）6或2
【分析】（1）结合题意，根据乘方、算数平方根、立方根的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算数平方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵a2＝4，
∴a＝±2
，
∴b＝16
∵c3＝8，
∴c＝2
，
∴d＝512；
（2）当a＝2时，
当a＝-2时，
∴的值为6或2．
【点评】本题考查了乘方、算数平方根、立方根、有理数混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握乘方、算数平方根、立方根的性质，从而完成求解．
14．已知2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．
【答案】±9
【分析】根据立方根与算术平方根的定义得到5x＋y＋2＝27，2x＋3＝25，则可计算出x＝11，y＝﹣30，然后计算x﹣2y＋10后利用平方根的定义求解．
【详解】因为2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，
∴
解得：，
∴x﹣2y＋10＝81，
∴x﹣2y＋10的平方根为：．
【点评】本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
15．求下列各代数式的值．
（1）已知当时，代数式值为18，求代数式的值．
（2）已知是有理数，且满足：的立方根是的平方是25，求的值．
（3）已知多项式，，中不含有项和项，求的值．
【答案】（1）32；（2）54或74；（3）1．
【分析】（1）观察已知条件与未知条件的关系，将代入代数式推出的值，再将整体代入即得；
（2）根据立方根和平方根的定义即得、的值，再代入即得；
（3）先化简，再根据不含项和项得出对应项的系数为0．
【详解】（1）当时
∵代数式值为18
∴
∴
∴
（2）∵的立方根是，的平方是25
∴，
当时
当时
综上所述：当时，；当时，
∴的值为54或74．
（3）∵，
∴
∵中不含有项和项
∴，
∴，
∴
【点评】本题是代数式化简求值题型，考查了解一元一次方程、合并同类项、立方根定义、平方根定义及整体思想，解题关键是应用整体法求解二元一次方程，多项式不含某一项的深层次含义是化简多项式后这一项的系数为0．
16．已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根，求的值.
【答案】3.
【解析】
【分析】由平方根和立方根的概念求解可得．
【详解】由题意知，
，
.
.
【点评】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的概念．
17．本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
运算
求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．
求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．
表示方法
正数的平方根可以表示为“”
一个数的立方根可以表示为“”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
　　　　．
（2）探究性质：
①的四次方根是　　　　；②的四次方根是　　　　；
③的四次方根是　　　　；④的四次方根是　　　　；
⑤的四次方根是　　　　；⑥　　　　（填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
　　　　；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　　　　．
（拓展应用）
（1）　　　　；
（2）　　　　；
（3）比较大小：　　　　．
【答案】【类比探索】（1）依次为：±1，±2，±3；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2）①；②；③；④；⑤；⑥没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等．【拓展应用】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）先计算填表，在类比平方根，立方根的定义，即可给四次方根下定义；
（2）根据四次方根的定义求解，类比平方根，立方根的的性质即可得到四次方根的性质特征；
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，利用四次方根的定义求解，再计算并比较两个数的四次方，进而得出答案．
【详解】（1）类比平方根，立方根的定义，当时，当时，当时，所以填表如下：
结合上述表格,类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于，那么这个数叫做的四次方根，这就是说，如果，那么叫做
的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
①的四次方根是；②的四次方根是；③的四次方根是；④的四次方根是；⑤的四次方根是；⑥没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】
根据四次方根的定义计算得：
（1）；
（2）
（3），，，
【点评】本题考查了方根的定义，类比平方根，立方根的定义和性质，学习四次方根，解题关键是在求四次方根时，注意正数的四次方根有2个，它们互为相反数．
18．已知一个正数的平方根是和，求的立方根．
【答案】的立方根为
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得a的值，继而可得b的值,最后求解即可．
【详解】∵正数b的平方根是和
∴
∴
∴
∴
而的立方根为
故的立方根为
【点评】本题考查了平方根和立方根的知识，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
19．已知2x﹣1的平方根是±7，5x+y﹣1的立方根是5，求x2y的平方根．
【答案】x2y的平方根±25．
【分析】由已知条件得到2x﹣1＝49，5x+y﹣1＝125，计算得到x、y，代入x2y求得值为625，即可得到该数的平方根.
【详解】∵2x﹣1的平方根为±7，5x+y﹣1的立方根是5，
∴2x﹣1＝49，5x+y﹣1＝125．
解得：x＝25，y＝1．
∴x2y＝252×1＝625，
∴x2y的平方根±25．
【点评】此题考查平方根、立方根的应用，根据平方根和立方根的定义列得方程求出x、y是解题的关键，最后求的是x2y的平方根而不是x2y，这是易错点.
20．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：______．
【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）．
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可；
（2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】（1）第一步：，，，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是2，，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：∵
，，，
∴，
∴能确定85184的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是4，，
∴能确定85184的立方根的个位数是4．
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
而，则，可得，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，
即．
故答案为：44．
【点评】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
三、填空题
21．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______.
【答案】0
【解析】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
22．﹣64的立方根与的平方根之和是_____．
【答案】－2或－6
【详解】∵-64的立方根是-4，=4，
∵4的平方根是±2，
∵-4+2=-2，-4+（-2）=-6，
∴-64的立方根与的平方根之和是-2或-6．
故答案为：-2或-6．
【点评】本题考查立方根；平方根．
23．若为最大的负整数，则a的值应为_______
【答案】±5
【解析】
【分析】根据原式的值为最大的负整数-1得=-1；然后利用立方根的定义求出a的值即可.
【详解】由题意可得：=-1
即9-2|a|=-1
解得：a=±5.
【点评】本题只要根据立方根的定义即可作答，关键是知道最大的负整数是几；
24．计算下列各式的值：.?观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=____.
【答案】102019
【解析】
【分析】先求出已知算式的结果，根据求出的结果得出规律，根据规律得出答案即可．
【详解】∵
=
=
=
=10，
同理
=100，
=1000，
=10000，
∴=100…0（共2019个0）
=102019，
故答案为：102019．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，能根据已知算式得出规律是解题的关键，题目是一道比较好的题目，有一点的难度．
25．如果是的算术平方根，那么的立方根为________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求出x,再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解:∵42=16,
∴16的算术平方根是4,
即x-4=4,
∴x=8,
∴x+1=8+1=9,
9的立方根是,故答案为:．
【点评】本题考查了算术平方根和立方根的定义,解决本题的关键是要熟练掌握算术平方根和立方根的定义．
26．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是_____．
【答案】0或1
【分析】设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a．
【详解】设这个数为a，由题意知，
=（a≥0），
解得a=1或0，
【点评】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点，基础题需要重点掌握，同学们很容易忽略a≥0．
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精品试卷·第
2
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（共
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