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均值不等式
1.(2021·哈尔滨高一检测)下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4
C．a2＋2＋≥4 D．a2＋≥4
2．若a，b∈Z，且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
3．若－4A．有最小值1　　　　　B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
4．已知正数a，b，＋＝1，则3ab的最小值为________．
5．(2021·北京高一检测)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时间x(年数，x∈N*)的关系为y＝－x2＋18x－25，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
6．已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2021·东营高一检测)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．5
2．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
3．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝(　　)
A．28 B．32 C．36 D．40
4．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值是(　　)
A． B．4 C． D．8
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知a，b均为正实数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥3 B．(a＋b)≥4
C．≥a＋b D．≥
6．下列命题中正确的是(　　)
A．y＝x＋(x<0)的最大值是－2
B．y＝的最小值是2
C．y＝2－3x－(x>0)的最大值是2－4
D．y＝有最大值
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2020·哈尔滨高一检测)设a，b为正实数，且＝＋，则a2＋＋的最小值为________．　
8．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．设x>－1，求的最小值．
10．(2021·肥城高一检测)已知m>0，n>0，不等式x2＋mx－12<0的解集为.
(1)求实数m，n的值；
(2)正实数a，b满足na＋2mb＝2，求＋的最小值．
1.(2021·哈尔滨高一检测)下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4
C．a2＋2＋≥4 D．a2＋≥4
分析选D.A. a2＋b2－4ab＝(a－b)2－2ab不一定大于等于零，所以该选项错误；
B．a＋，当a取负数时，显然a＋<0，所以a＋≥4错误，所以该选项错误；
C．a2＋2＋≥2＝2，当且仅当a2＋2＝1时成立，由于取得条件不成立，所以a2＋2＋>2，如a＝0时，a2＋2＋＝<4，所以该选项错误；
D．a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时取等号，所以该选项正确．
2．若a，b∈Z，且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
分析选A.因为a，b∈Z，所以2a>0，2b>0，所以2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b＝0时，等号成立．所以2a＋2b的最小值是2.
3．若－4A．有最小值1　　　　　B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
分析选D.因为－41－x>0，
所以＝
＝－≤－×2＝－1.
当且仅当x＝0时取等号．
所以函数f(x)有最大值－1，无最小值．
4．已知正数a，b，＋＝1，则3ab的最小值为________．
分析因为＋＝1≥2，所以ab≥8，因此3ab≥24，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，取等号．
答案：24
5．(2021·北京高一检测)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时间x(年数，x∈N*)的关系为y＝－x2＋18x－25，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
分析年平均利润＝－x＋18－ ＝－＋18 ≤8.当且仅当x＝5时，等号成立，max＝8，即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元．
答案：5　8
6．已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
分析因为x<3，所以x－3<0，所以3－x>0，
所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝
－＋3，因为＋3－x≥
2＝4(当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号)，所以f(x)≤－4＋3＝－1，
即f(x)的最大值为－1.
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2021·东营高一检测)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．5
分析选B.因为x＋3y＝5xy，x＞0，y＞0，所以＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋×3≥＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，则x＋2y的值为2.
2．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
分析选A.因为a>2，所以a－2>0.
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2<4，即n<4.所以m>n.
3．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝(　　)
A．28 B．32 C．36 D．40
分析选C.4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36.
4．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值是(　　)
A． B．4 C． D．8
分析选C.由题意得，xy＝×2xy≤×＝×＝，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以xy的最大值是.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知a，b均为正实数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥3 B．(a＋b)≥4
C．≥a＋b D．≥
分析选BC.对于A，a＋b＋≥2＋≥2<3，当且仅当a＝b＝时等号同时成立；对于B，
(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号；
对于C，≥≥＝a＋b，当且仅当a＝b时取等号；
对于D，当a＝，b＝时，＝＝，＝，>，
所以<.
6．下列命题中正确的是(　　)
A．y＝x＋(x<0)的最大值是－2
B．y＝的最小值是2
C．y＝2－3x－(x>0)的最大值是2－4
D．y＝有最大值
分析选AC.y＝x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－1时，等号成立．所以A正确；
y＝＝＋>2，取不到最小值2(等号取不到)，所以B错误；
y＝2－3x－(x>0)＝2－≤2－4，当且仅当3x＝时，等号成立，所以C正确；
y＝＝＋≥2＋＝，x＝0时取到，故无最大值，所以D错误．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2020·哈尔滨高一检测)设a，b为正实数，且＝＋，则a2＋＋的最小值为________．　
分析因为＝＋，所以a2＋＋＝＋；所以a2＋＋＝＋≥
2＝4，当且仅当a＝b时等号成立．
答案：4
8．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．
分析因为x>0，y>0且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．
答案：3　2
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．设x>－1，求的最小值．
分析因为x>－1，所以x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有：
＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
所以当x＝1时，函数取得最小值是9.
10．(2021·肥城高一检测)已知m>0，n>0，不等式x2＋mx－12<0的解集为.
(1)求实数m，n的值；
(2)正实数a，b满足na＋2mb＝2，求＋的最小值．
分析(1)由题意可知：－6和n是方程x2＋mx－12＝0的两个根，所以
解得
(2)由题意和(1)可得：2a＋8b＝2，即a＋4b＝1.所以＋＝＝5＋，
因为a>0，b>0，所以>0，>0.
所以＋＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．所以＋的最小值为9.

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