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集合
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。
一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作，读作“A包含于B”，或“B包含于A”。
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”。
一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作，读作“A交B”。
一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作，读作“A并B”。
如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中补集，记作，读作“A在U中的补集”。
1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：集合中元素各表示什么？
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合，若，则实数的值构成的集合为 答： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3．注意下列性质：
（1）集合的所有子集的个数是
（2）若
4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围。
函数
函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
定义 设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个（唯一确定）元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)。于是y=f(x)，x称作y的原象。映射f也可记为：f：A→B， x→f(x).其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f(A)。
注意：
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
集合A和B是有先后顺序的，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。
“有且仅有一个（唯一确定）”意思是：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
区间的概念
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
无穷区间
区间的数轴表示
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数。
函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
（1）若当x1（2）若当x1f(x2)，则说f(x) 在这个区间上是减函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
判断函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2D，且x1作差f(x1)-f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
取值→作差→变形→定号→下结论
设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。
设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。
一、函数的定义域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；
2、偶次方根的被开方数大于等于零；
3、对数的真数大于零；
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
5、三角函数正切函数中；余切函数中；
6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法
三、函数的值域的常用求法：
1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法
四、函数的最值的常用求法：
1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法
五、函数单调性的常用结论：
1、若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数
2、若为增（减）函数，则为减（增）函数
3、若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则（反之不成立）
2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
5、若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
函数y=kx+b（k0）叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R。
一次函数y=kx+b（k0）的图象是直线，以后简写为直线y=kx+b，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
一次函数又叫做线性函数。
函数y=ax2+bx+c（a0）叫做二次函数，它的定义域是R。
函数的应用
基本初等函数
整数指数：
an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。并规定a1=a。n必须是正整数，所以这样的幂叫做正整指数幂。正整指数幂的运算满足如下法则：
分数指数：
正数的分数指数幂的意义
规定：
负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可以定义为：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
有理数指数幂：
运算性质
（1）·；
（2）；
（3）
根式的概念
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．
式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）．
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．
表1 指数函数 对数数函数
定义域

值域

图象



性质 过定点 过定点
减函数 增函数 减函数 增函数












底数越小越接近坐标轴 底数越大越接近坐标轴 底数越小越接近坐标轴 底数越大越接近坐标轴
表2 幂函数









奇函数









偶函数
第一象限性质 减函数 增函数 过定点
以10为底的对数叫做常用对数。
换底公式：
自然对数：以e为底的对数叫做自然对数。
积、商、幂的对数运算法则：
（1）loga(MN)=logaM+logaN
loga(N1 N2 N3…Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+…+logaNk
即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。
（2）loga()=logaM-logaN
即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。
（3）loga=logaM
即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。
幂函数定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，x是自变量，a是常数。
幂函数的性质：
所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x=1）;
在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在(1，+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴。
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，值域是否出现在第二、第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
幂函数的定义域的求法可分五种情况，即：（1）为0；（2）为正整数；（3）为负整数；（4）为正分数；（5）为负分数。
作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象。
幂函数的图象主要分为以下几类：
当=0时，图象是过(1，1)点平行于x轴但抠去(0，1)点的一条“断”直线；
当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限及原点。
当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限及原点。
当为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。
当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。
当>0时，幂函数图象一些性质：
图象都通过点(1，1)，(0，0)；
在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
在第一象限内，>1时，图象是向下凸的；0<<1时，图象是向上凸的。
当<0时，幂函数图象一些性质：
图象都通过点(1，1)；
在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的。
反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。
高中数学必修2知识点
数轴上的基本公式
如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移。位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称向量。
数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。
平面直角坐标系中的基本公式
1、两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，
则。
2、中点公式：设，M(x,y)是线段AB的中点，
直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，；
当时，；
当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程的几种形式
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：（）直线两点，
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：（A，B不全为0）
注意：各式的适用范围
特殊的方程如：
平行于x轴的直线：（b为常数）；
平行于y轴的直线：（a为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；
（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为
（为参数），其中直线不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当，时，
两直线平行的充要条件：；
两直线垂直的充要条件：
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
点到直线距离公式：一点到直线的距离
两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
（7）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解 ；
方程组有无数解与重合
圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
特别的，如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的标准方程就是。
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；
当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有
；
；
（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有
；
；
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含；
当时，为同心圆。
空间直角坐标系
（1）定义：如图，是单位正方体.以A为原点，
分别以OD,OA1,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴、y轴、z轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O叫做坐标原点
2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴.
3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）
空间两点的距离公式：
空间两点的距离公式为

特别地，点到原点O的距离公式为

立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）



（3）柱体、锥体、台体的体积公式


（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=
4、空间点、直线、平面的位置关系
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③ 点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。
（3）求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。
B、证明作出的角即为所求角
C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．
三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a∥α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β＝b
5、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）
6、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
7、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
高一数学必修3公式总结
§1 算法初步
秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。
一般地，一元n次多项式的求值需要经过[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。
对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法
表达式如下：
例题：秦九韶算法计算多项式
答案： 6 ， 6

理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法(algorithm)
1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.
2. 算法的特征：
①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去
②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。
③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度
3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构。
流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。
注意：
1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯。
2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。
3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。
算法结构：
顺序结构， 选择结构， 循环结构
Ⅰ.顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。
Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。
Ⅲ.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。
基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo code），且是使用 BASIC语言编写的，是介自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用 ，也可以用，表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”
Ⅰ. 赋值语句（assignment statement）：用 表示， 如：，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式。
一般格式：“”，有时在伪代码的书写时也可以用“”，但此时的“=”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。
注：
1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“= ”具有计算功能。
如：3=a，b+6=a，都是错误的，而a=3*5–1，a=2a +3都是正确的。
2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。
如：a=b=c=2，a，b，c =2都是错误的，而a=3是正确的。
例题：将x和y的值交换
同样的如果交换三个变量x，y，z的值：
Ⅱ.输入语句（input statement）：Read a，b表示输入的数一次送给a，b
输出语句（out statement）：Print x，y表示一次输出运算结果x，y
注：
1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！
2.Read 语句输入的只能是变量而不是表达式
3.Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用“=”
4.Print语句可以输出常量和表达式的值
5.有多个语句在一行书写时用“；”隔开
例题：当x等于5时，Print“x= ”；x在屏幕上输出的结果是x=5
Ⅲ.条件语句（conditional statement）：
1.行If语句: If A Then B 注：没有 End If
2.块If语句：
注：
①不要忘记结束语句End If ，当有If语句嵌套使用时，有几个If，就必须要有几个End If
②. Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else If 后面也要有End If
③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：
例题：用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法。

或者
注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。
2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数
Ⅳ.循环语句（cycle statement）：
当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N次也是已知次数的循环
当循环次数不确定时用While循环
Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.
说明：
1. While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.
2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写
3. While循环和Do循环可以相互转化
4. Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化
5. 注意临界条件的判定.
高中数学必修4知识点
角的概念
各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域。
弧度制和弧度制与角度制的换算
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角。
6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是。
7、弧度制与角度制的换算公式：
， rad0.01745 rad，
1 rad= 180°= rad
rad= rad
8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，
任意角的三角函数
三角函数的定义
9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则
叫做角的正弦，记作sin，即，
叫做角的余弦，记作cos，即，
叫做角的正切，记作tan，即
还有三个函数：
角的正割：sec=；
角的余割：csc=；
角的余切：cot=；
这就是说，sec，csc，cot分别是的余弦、正弦和正切的倒数。
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆。
角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。
11、三角函数线：，，
12、同角三角函数的基本关系：
；，．
13、三角函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
，．
，．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
角与+（2k+1）(kZ)的三角函数间的关系
(7) cos[+(2k+1)]=-cos
(8) sin[+(2k+1)]=-sin
(9) tan[+(2k+1)]=tan
三角函数的图象与性质
14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：



图象


定义域


值域


最值 当时，；当
时，． 当时，
；当
时，． 既无最大值也无最小值
周期性


奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在
上是增函数；在
上是减函数． 在上是增函数；在
上是减函数． 在
上是增函数．
对称性 对称中心
对称轴 对称中心
对称轴 对称中心
无对称轴
15、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，
平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。零向量与任一向量平行。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连。
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：
①交换律：；
②结合律：；
③．
⑸坐标运算：设，，则
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
⑵坐标运算：设，，则。
设、两点的坐标分别为，，则，。
19、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当时，．
⑵运算律：
①；
②；
③（分配律）．
⑶坐标运算：设，则．
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。
20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线。
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是
23、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则
①．
②当与同向时，；
当与反向时，；
或．
③．
⑶运算律：
①；
②；
③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．，夹角范围是[0，]。
向量的应用
三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中．
高中数学必修5知识点
解三角形
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；
③；
④．
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有
，
，
．
5、余弦定理的推论：，，
6、设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
应用举例
数列
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数叫做数列。
8、数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
19、若等差数列的首项是，公差是，则．
20、通项公式的变形：
①；
②；
③；
④；
⑤．
21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．
22、等差数列的前项和的公式：
①；
②．
23、等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，（其中，）．
24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比。
25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项。
26、若等比数列的首项是，公比是，则。
27、通项公式的变形：
①；
②；
③；
④．
28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．
29、等比数列的前项和的公式：．
30、等比数列的前项和的性质：
①若项数为，则．
②．
③，，成等比数列．
不等式
含有不等号的式子，叫做不等式。
31、 ；
；
．
32、不等式的性质：
①；
②；
③；
④，；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
均值不等式
均值定理 如果，那么，当且仅当a=b时，等号成立。通常称为均值不等式。
对任意两个正实数、，数叫做、的算术平均值，数叫做、的几何平均值。
均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
规律：
（1）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
（2）两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
常用的基本不等式：
①；
②；
③；
④．
极值定理：设、都为正数，则有
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．
⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．
不等式
33、一元二次不等式：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式不等式，叫做一元二次不等式。
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式


二次函数 的图象


一元二次方程 的根 有两个相异实数根
有两个相等实数根 没有实数根
一元二次不等式的解集







35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1，这样的不等式叫做二元一次不等式。
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．
简单线性规划
38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．
①若，，则点在直线的上方．
②若，，则点在直线的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线．
①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．
②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．
40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．
线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
命题
1. 命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，能判断真假的语句叫命题（proposition）。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的四种形式及其相互关系：
若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q”；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性。
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
四种命题的真假性：（真值表）
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有个 至多有（）个
小于 不小于 至多有个 至少有（）个
对所有，成立 存在某，不成立 或 且
对任何，不成立 存在某，成立 且 或
3、充要条件：
① 若A=>B且B推不出A，则A是B的充分非必要条件；
② 若A推不出B且B=>A，则A是B的必要非充分条件
③ 若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件
④ 若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件。
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
4、逻辑联结词：或、且、非；含逻辑联结词的命题真假的判断；
5、全称量词与存在量词；全称命题与存在性命题；命题的否定。
全称命题:,它的否定┓:┓
特称命题:,它的否定┓:┓
圆锥曲线与方程
椭圆
第一定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距，即。 第二定义：平面内与一定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数是椭圆的离心率。即（为到得距离）。
标准方程及其性质：
焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程

图形

焦点坐标 、 、
顶点坐标

范围

对称轴 轴，长轴为；
轴，短轴为。 轴，短轴为；
轴，长轴为。
准线方程

离心率 ，
焦半径 公式： （1）设点为椭圆上一点，分别椭圆的左、右焦点，则，；
（2）设点为椭圆上一点，分别椭圆的下、上焦点，则，；
双曲线
第一定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距，即。 第二定义：平面内与一定点的距离和它到一条定直线的距离的比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线是椭圆的准线，常数是椭圆的离心率。即（为到得距离）。
双曲线的标准方程及其几何性质：
焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程

图形

焦点坐标 、
、
顶点坐标

范围

对称轴 轴，实轴为；
轴，虚轴为。 轴，虚轴为；
轴，实轴为。
准线方程

离心率 ，
渐近线方程

等轴双曲线 1、实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线；
2、等轴双曲线的离心率，两条渐近线方程为
焦半径公式
设点为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则①在右支上时，，；②在左支上时，，；
设点为双曲线上一点，分别为双曲线的上、下焦点，则①在上支上时，，；②在下支上时，，
抛物线
定义（几何条件）：平面上，到定直线与该定直线外一定点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
标准方程



图形



对称轴 轴 轴 轴 轴
顶点坐标



焦点坐标



离心率



准线方程



焦半径公式



范围



焦点弦（以抛物线）为例 设是过焦点的弦，，，则，；
，；
以为直径的圆与准线相切；以为直径的圆与轴相切。

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