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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义三
不等式进阶——一元二次不等式（解析版）
学习目标
1、掌握一元二次不等式的解法
2、了解一元二次不等式与二次函数的关系，领略数形结合的思想
教学内容
进门测试
建议5min
①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围；
②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，求m的范围；
③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围；
④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
课堂导入
建议10min
柯西
柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．
他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．
精讲精练
建议70min
知识点一、一元二次不等式的解法
【知识梳理】
在初中，我们已经学习了一元一次/二次方程、二元/三元一次方程组、分式方程、无理方程、一元一次不等式等，知道了换元法、消元法、配方法、十字相乘法等常见方法。但在高中阶段，我们会通过“三个二次”为突破口，把孤立的方程、不等式和函数结合起来，更深层次的理解数形结合、函数与方程的数学思想。其次会加大对含有字母的方程的求解，学会分类讨论。第三，会学到更多类型的方程与不等式（主要是不等式），从中加深等价转化这一数学思想的理解。
二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：
x－3－2－101234y60－4－6－6－406
(
x
O
－2
3
y
＝
x
2
－
x
－6
y
y
＞
0
y
＞
0
y
＜
0
)由对应值表及函数图象(如图)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y=
x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)
与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解
就是x1＝－2，x2＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次
方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
(
x
y
O
x
1
x
2
x
y
O
x
1
=
x
2
y
x
O
②
③
①
)我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图)，因此，可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
(
（1）
)（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，
方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，
方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，
由图可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．步骤总结如下：
（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)
或ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)．
（2）求出相应的一元二次方程的根．
（3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
对于含参数的不等式应适当分类讨论，大致可以分为三类：根的大小、
二次项系数、
判别式。
【例题精讲】
例1.
解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）；
（5）.
（6）x2＋2x－3≤0；
（7）x－x2＋6＜0；
（8）4x2＋4x＋1≥0；
（9）x2－6x＋9≤0；
（10）－4＋x－x2＜0．
【答案】（1）{x|x＜2或x＞4}；（2）
；（3）
；（4）R
；（5）R
；
（6）-3≤x≤1；（7）{x|x＜-2或x＞3}；（8）R；（9）
；（10）R
例2.求不等式12x2－ax＞a2
(a∈R)的解集．
【解析】∵12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－，x2＝.
①a＞0时，－＜，解集为；
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，－＞，解集为.
例3.设，解关于的不等式．
【解析】当时，因不成立，故原不等式的解集为．
当时，原不等式化为；
当时，解得；
当时，解得或．
例4.解不等式
【解析】，故解集为
【巩固练习】
1.
解不等式组：
【答案】
2.
不等式0≤
x2＋m
x＋5
≤3恰好有一个实数解，则实数的取值范围是
．
【答案】
3.
解关于x的不等式(1－ax)2＜1.
【解析】由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，
当a＝0时，x∈.
当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得，即0＜x＜.
当a＜0时，＜x＜0.
知识点二、一元二次不等式与韦达定理
【知识梳理】
若一元二次方程的两根为、，则满足，
在方程转化为不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）。
【例题精讲】
例1.
不等式的解集为，求与的值．
【答案】，
例2.
已知不等式解集是．求不等式解集．
【答案】
【解析】由题可判断出，是方程的两根，∴，．
又的解集是，说明．
而，，∴．
∴，即，即．
又，∴，∴的解集为．
例3.
已知关于的不等式解集为，其中，
求解集。
【答案】若，解集为；若，则解集为
【巩固练习】
1.
若不等式的解集为，求实数的值.
【答案】
2.
若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解为______.
【答案】(－，1)
3.
关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是(　　)
A．(4,5)
B．(－3，－2)∪(4,5)
C．(4,5]
D．[－3，－2)∪(4,5]
【答案】D【解析】原不等式可能为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，得1则44.
已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，
求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
【解析】原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由适合不等式故得，所以，或.
若，则，
∴，此时不等式的解集是；
若，由，∴，
此时不等式的解集是。
知识点三、恒成立与有解问题
【知识梳理】
一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数的图象与轴的位置关系问题，
若是不等式恒成立，即函数图象恒在轴上方，且与轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
【例题精讲】
例1.
已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(2，＋∞)【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有
整理，得所以所以a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
例2.
已知.
（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（2）如果对，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对一切实数x，f(x)＞0，则△＜0，即-4＜0，∴0＜a＜4；
（2）当x∈〔-3，1〕时，f(x)＞0，对称轴2-a可在区间内，也可在区间外，
∴
或
或
解得-
【巩固练习】
1.
已知关于x的二次不等式:
的解集为R，求a的取值范围.
【答案】【解析】由题意知,要使原不等式的解集为R,必须
即
所以a的取值范围是
2.
不等式有实数解，且对于任意的实数解，求实数m的取值范围
【答案】
3.
已知函数，且，若对于任意实数x恒有，求实数p,q的值.
【答案】p=-3,q=4【解析】
①,
代入①得:
对于一切实数x恒成立,
等价于二次不等式的解集为R
所以:二次项系数大于零且判别式,即即
所以p=-3,q=-2p-2=4
所以当p=-3,q=4时,对于任意实数x恒有
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建议15min
1.
不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是
.
【答案】{x|－≤x≤1}
2．在R上定义运算：x
y＝x(1－y).若不等式(x－a)
(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)
A.－1＜a＜1
B.0＜a＜2
C.－＜a＜
D.－＜a＜
【答案】C
3.不等式的解集是，则等于
.
【答案】-10
4.
若不等式的解是全体实数,则实数的取值范围是
.
【答案】
5.
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）
【解析】原不等式变形为ax2+（a－2）x－2≥0.
①a=0时，x≤－1；
②a≠0时，不等式即为（ax－2）（x+1）≥0，
当a＞0时，x≥或x≤－1；由于－（－1）=，于是当－2＜a＜0时，≤x≤－1；
当a=－2时，x=－1；当a＜－2时，－1≤x≤.
综上，当a=0时，x≤－1；当a＞0时，x≥或x≤－1；当－2＜a＜0时，≤x≤－1；
当a=－2时，x=－1；当a＜－2时，－1≤x≤.
6.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．
在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N
)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中.
（1）求n的值；
（2）要使刹车距离不超过12.6
m，则行驶的最大速度是多少？
【答案】（1）n=6，（2）60
km/h
【解析】(1)依题意得，解得，又n∈N
，所以n＝6.
(2)s＝＋≤12.6?v2＋24v－5
040≤0?－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，
即行驶的最大速度为60
km/h.
7.
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
【解析】（1）当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；当a＜0时，解集为{x|－1＜x＜2}．
（2）由函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n，得f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，我们在初中就学习了二次函数，尝试做下面这道题：
已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a
≥－2，求该函数的最大值与最小值，
并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义三
不等式进阶——一元二次不等式（学生版）
学习目标
1、掌握一元二次不等式的解法
2、了解一元二次不等式与二次函数的关系，领略数形结合的思想
教学内容
进门测试
①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围；
②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，求m的范围；
③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围；
④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围．
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柯西
柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．
他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．
精讲精练
知识点一、一元二次不等式的解法
【知识梳理】
在初中，我们已经学习了一元一次/二次方程、二元/三元一次方程组、分式方程、无理方程、一元一次不等式等，知道了换元法、消元法、配方法、十字相乘法等常见方法。但在高中阶段，我们会通过“三个二次”为突破口，把孤立的方程、不等式和函数结合起来，更深层次的理解数形结合、函数与方程的数学思想。其次会加大对含有字母的方程的求解，学会分类讨论。第三，会学到更多类型的方程与不等式（主要是不等式），从中加深等价转化这一数学思想的理解。
二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：
x－3－2－101234y60－4－6－6－406
(
x
O
－2
3
y
＝
x
2
－
x
－6
y
y
＞
0
y
＞
0
y
＜
0
)由对应值表及函数图象(如图)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y=
x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)
与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解
就是x1＝－2，x2＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次
方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
(
x
y
O
x
1
x
2
x
y
O
x
1
=
x
2
y
x
O
②
③
①
)我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图)，因此，可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
(
（1）
)（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，
方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，
方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，
由图可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．步骤总结如下：
（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)
或ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)．
（2）求出相应的一元二次方程的根．
（3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
对于含参数的不等式应适当分类讨论，大致可以分为三类：根的大小、
二次项系数、
判别式。
【例题精讲】
例1.
解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）；
（5）.
（6）x2＋2x－3≤0；
（7）x－x2＋6＜0；
（8）4x2＋4x＋1≥0；
（9）x2－6x＋9≤0；
（10）－4＋x－x2＜0．
例2.求不等式12x2－ax＞a2
(a∈R)的解集．
例3.设，解关于的不等式．
例4.解不等式
【巩固练习】
1.
解不等式组：
2.
不等式0≤
x2＋m
x＋5
≤3恰好有一个实数解，则实数的取值范围是
．
3.
解关于x的不等式(1－ax)2＜1.
知识点二、一元二次不等式与韦达定理
【知识梳理】
若一元二次方程的两根为、，则满足，
在方程转化为不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）。
【例题精讲】
例1.
不等式的解集为，求与的值．
例2.
已知不等式解集是．求不等式解集．
例3.
已知关于的不等式解集为，其中，
求解集。
【巩固练习】
1.
若不等式的解集为，求实数的值.
2.
若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解为______.
3.
关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是(　　)
A．(4,5)
B．(－3，－2)∪(4,5)
C．(4,5]
D．[－3，－2)∪(4,5]
4.
已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，
求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
知识点三、恒成立与有解问题
【知识梳理】
一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数的图象与轴的位置关系问题，
若是不等式恒成立，即函数图象恒在轴上方，且与轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
【例题精讲】
例1.
已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
例2.
已知.
（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（2）如果对，成立，求实数的取值范围.
【巩固练习】
1.
已知关于x的二次不等式:
的解集为R，求a的取值范围.
2.
不等式有实数解，且对于任意的实数解，求实数m的取值范围
3.
已知函数，且，若对于任意实数x恒有，求实数p,q的值.
当堂检测
1.
不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是
.
2．在R上定义运算：x
y＝x(1－y).若不等式(x－a)
(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)
A.－1＜a＜1
B.0＜a＜2
C.－＜a＜
D.－＜a＜
3.不等式的解集是，则等于
.
4.
若不等式的解是全体实数,则实数的取值范围是
.
5.
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）
6.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．
在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N
)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中.
（1）求n的值；
（2）要使刹车距离不超过12.6
m，则行驶的最大速度是多少？
7.
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，我们在初中就学习了二次函数，尝试做下面这道题：
已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a
≥－2，求该函数的最大值与最小值，
并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

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