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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义二
方程的进阶——根的分布定理（解析版）
学习目标
1、掌握一元二次方程根的分布定理
2、了解一元二次方程与二次函数的关系，领略数形结合的思想
教学内容
进门测试
建议5min
1、设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，
则、的值分别等于
．
2、方程恰有两个正整数根、，则的值是
．．
3、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是
．
4、已知、是方程的两个根，则的值为
．
5、已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程有实数根；
（2）
若此方程的两个实数根、满足：，求的值．
解：1、-1，-3；2、；3、；4、5；5、(1)；(2)
0．
课堂导入
建议10min
数形结合
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
精讲精练
建议70min
知识点一、0分布
【知识梳理】
一元二次方程的根从几何意义上来说就是二次函数与轴交点的横坐标，所以研究的实根的情况，可从函数的图象上进行研究.
若在实数范围内研究方程的实根情况，只需考查与轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由、、的值与符号，从而判断出实根的情况.
分布情况两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合（不讨论）
【例题精讲】
例1.
已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围．
【解析】由
或即为所求的范围．
例2.
若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围．
（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．
【解析】讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．
解1
（1）由题意，得
所以，当时，原方程两实根均为正数；
（2）由题意，得
所以，当时，原方程有一正根一负根．
解2
二次函数的图象是开口向上的抛物线．
（1）如图，由题意，得。
所以，当时，原方程两实根均为正数；
（2）如图，由题意，得．
所以，当时，原方程有一正根一负根．
评注
解2（1）中，条件是必要的．若将此条件改为，得到的二次函数的图象与原图象关于轴对称，此时得到的的值是两根均为负数的解．
【巩固练习】
已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围．
【解析】由即，从而得即为所求的范围．
知识点二、k分布
【知识梳理】
分布情况两根都小于即
两根都大于即
一个根小于，一个大于即
大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合（不讨论）
【例题精讲】
例1.
若关于的方程的一个大于、另一根小于，求实数的取值范围．
【解析】，，．
例2.
若关于的方程的两根均小于，求实数的取值范围．
【解析】，．
例3.已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，
求实数的取值范围．
【解析】由即即为所求的范围．
【巩固练习】
1.
关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则（
）
【解析】设．由，解得．所以选．
2.
实数为何值时，方程的两根都大于
．
【解析】设．由题意，得
．
所以，当时，原方程的两根都大于．
3.
（1）已知：是方程的两个根，且，求的取值范围；
（2）若的两根都小于，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
知识点三、m、n分布
【知识梳理】
分布情况两根有（图象有两种情况，只画了一种）大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合（不讨论）——————
【例题精讲】
例1.
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，
（1）若方程有两根，其中一根满足，另一根满足，求m的范围；
（2）若方程两根满足，求m的范围．
【解析】（1）条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，
画出示意图，得∴
（2）据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
　　
(这里0<－m<1是因为对称轴x＝－m应在区间(0，1)内通过)
例2.
关于x的二次方程的两根满足0，
求实数p的取值范围．
【答案】3例3.
二次函数
的图像与轴的两个交点满足，
且分居轴的两侧，求实数的取值范围．
【解析】设，
由题意，得．
所以，所求的取值范围是
例4.
若二次函数y=的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
【答案】
【巩固练习】
1.
关于的方程的两根分别满足，，求的取值范围．
【解析】设，由题意，得
2.
二次方程的两个根与，当且时，实数的取值范围是
．
【答案】
3.
关于的实系数方程的一根在区间上，另一根在区间上，
则的最大值为
．
【答案】9
知识点四、综合
【知识梳理】
根的分布还有一种情况：两根，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）时，；
（2）时，
【例题精讲】
例1.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：
（1）方程x2-ax+a-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程ax2+3x+4=0的根都小于1；
（3）方程x2-2(a+4)x+2a2+5a+3=0的两个根都在内；
（4）方程7x2-（a+13）x+2a-1=0的一个根在内，另一个根在内．
【答案】（1）a>-3；(2)例2.已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．
【解析】解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，
设根为，则或，得
解法二：由题知或，得
解法三：当函数与非负轴没有交点时，
则或，得或
∴函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为
【巩固练习】
已知方程有一个根小于，其余三个根都大于，求的取值范围．
【解析】分析
设，原方程可化为，因而原四个根是互为相反数的两对根．
解
设，原方程可化为。由题意，此方程的两个根都是正根，
且一根大于1，另一根小于1．
设
，则．
所以，当时，原方程的四个根中，有一个根小于，其余三个根都大于．
当堂检测
建议15min
1．二次函数y=
x2-4x-(k-8)与x轴至多有一个交点，则k
的取值范围是_____．
【答案】（-，4
]
2.已知方程x2-k
x+2=0在区间（0，3）中有且只有一解，则实数k的取值范围是______．
【答案】k>或k=
3．①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围；
②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，求m的范围；
③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围；
④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
4．如果二次函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围．
【解析】∵f(0)＝1>0
（1）当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意
（2）当m>0时，则解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}
5．设二次函数f(x)=
x2+x+a(a>0)若f(m)<0，试判断函数f(x)在（m，m+1）内零点的个数．
【答案】1个零点
6．已知二次函数f(x)=(a，b为常数)且满足条件：f(-x+5)=f(x-3)，f(x)=x有等根．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m，n使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值，
如果不存在说明理由．
【难度】★★【答案】(1)f(x)=；(2)存在，m=-4，n=0．
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，我们在初中学习了二次函数和一元一次不等式，那我们是否能够借助二次函数的图像来解一元二次不等式x2－x－6＜0呢？2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义二
方程的进阶——根的分布定理（学生版）
学习目标
1、掌握一元二次方程根的分布定理
2、了解一元二次方程与二次函数的关系，领略数形结合的思想
教学内容
进门测试
1、设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，
则、的值分别等于
．
2、方程恰有两个正整数根、，则的值是
．．
3、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是
．
4、已知、是方程的两个根，则的值为
．
5、已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程有实数根；
（2）
若此方程的两个实数根、满足：，求的值．
课堂导入
数形结合
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
精讲精练
知识点一、0分布
【知识梳理】
一元二次方程的根从几何意义上来说就是二次函数与轴交点的横坐标，所以研究的实根的情况，可从函数的图象上进行研究.
若在实数范围内研究方程的实根情况，只需考查与轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由、、的值与符号，从而判断出实根的情况.
分布情况两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合（不讨论）
【例题精讲】
例1.
已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围．
例2.
若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围．
（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．
【巩固练习】
已知一元二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围．
知识点二、k分布
【知识梳理】
分布情况两根都小于即
两根都大于即
一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合（不讨论）
【例题精讲】
例1.
若关于的方程的一个大于、另一根小于，求实数的取值范围．
例2.
若关于的方程的两根均小于，求实数的取值范围．
例3.已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，
求实数的取值范围．
【巩固练习】
1.
关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则（
）
2.
实数为何值时，方程的两根都大于
．
3.
（1）已知：是方程的两个根，且，求的取值范围；
（2）若的两根都小于，求的取值范围．
知识点三、m、n分布
【知识梳理】
分布情况两根有（图象有两种情况，只画了一种）大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合（不讨论）——————
【例题精讲】
例1.
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，
（1）若方程有两根，其中一根满足，另一根满足，求m的范围；
（2）若方程两根满足，求m的范围．
例2.
关于x的二次方程的两根满足0，
求实数p的取值范围．
例3.
二次函数
的图像与轴的两个交点满足，
且分居轴的两侧，求实数的取值范围．
例4.
若二次函数y=的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
【巩固练习】
1.
关于的方程的两根分别满足，，求的取值范围．
2.
二次方程的两个根与，当且时，实数的取值范围是
．
3.
关于的实系数方程的一根在区间上，另一根在区间上，
则的最大值为
．
知识点四、综合
【知识梳理】
根的分布还有一种情况：两根，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）时，；
（2）时，
【例题精讲】
例1.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：
（1）方程x2-ax+a-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程ax2+3x+4=0的根都小于1；
（3）方程x2-2(a+4)x+2a2+5a+3=0的两个根都在内；
（4）方程7x2-（a+13）x+2a-1=0的一个根在内，另一个根在内．
例2.已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．
【巩固练习】
已知方程有一个根小于，其余三个根都大于，求的取值范围．
当堂检测
1．二次函数y=
x2-4x-(k-8)与x轴至多有一个交点，则k
的取值范围是_____．
2.已知方程x2-k
x+2=0在区间（0，3）中有且只有一解，则实数k的取值范围是______．
3．①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围；
②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，求m的范围；
③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围；
④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围．
4．如果二次函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围．
5．设二次函数f(x)=
x2+x+a(a>0)若f(m)<0，试判断函数f(x)在（m，m+1）内零点的个数．
6．已知二次函数f(x)=(a，b为常数)且满足条件：f(-x+5)=f(x-3)，f(x)=x有等根．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m，n使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值，
如果不存在说明理由．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，我们在初中学习了二次函数和一元一次不等式，那我们是否能够借助二次函数的图像来解一元二次不等式x2－x－6＜0呢？

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