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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义四
函数的进阶——二次函数的最值（学生版）
学习目标
掌握二次函数的最值的解法
教学内容
进门测试
1、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）
2、行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．
在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N
)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中.
（1）求n的值；
（2）要使刹车距离不超过12.6
m，则行驶的最大速度是多少？
课堂导入
笛卡尔与直角坐标系
据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何，
他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。举一个例子来说，我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹，如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是代数和几何就这样合为一家人了。
精讲精练
知识点一、二次函数的最值——轴定区间定
【知识梳理】
二次函数在高中数学中占有十分重要的地位，内容相比初中更为具体，解题思路更为抽象，更着重于与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，同时它也是高一第一学期集合部分内容的一个解决问题的主要思路，因此，拓展学习二次函数是初高衔接一个必不可少的部分．
二次函数的最值问题，核心是对函数对称轴与给定x范围的相对位置关系的讨论．
一般分为：对称轴在取值范围的左边，中间，右边三种情况．
设，求在时的最大值与最小值．
分析：将配方，得对称轴方程，
当时，抛物线开口向上，若，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若或，当时，抛物线开口向上，此时函数在范围内y随着x的增大而增大，或者y随着x的增大而减小，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．
当时，同上，作图可得结论，对二次函数的最值结合函数图象总结如下：
当时
当时
【例题精讲】
例1.求下列函数的最大值或最小值．
（1）；
（2）．
例2.当时，求函数的最大值和最小值．
例3.当时，求函数的取值范围．
【巩固练习】
已知二次函数满足条件及.
（1）求；（2）求在时的最大值和最小值.
知识点二、二次函数的最值——轴定区间动、轴动区间定
【例题精讲】
例1.
已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a
≥－2，求该函数的最大值与最小值，
并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
例2.当时，求函数的最小值(其中为常数)．
例3.当时，求函数的最大值（其中为常数）．
例4.求函数在上的最大值．
【巩固练习】
已知函数，在时的最大值为，求的值．
知识点三、综合问题
【例题精讲】
例1.
已知，求的最小值．
例2.已知函数在时的最大值为4，求实数a的值．
例3.设a为实数，函数，求f(x)的最小值．
【巩固练习】
已知二次函数在时的最大值为3，求实数a的值．
当堂检测
1.
已知二次函数的图像经过点，当时，函数的最小值为，则函数的解析式为______．
2.
将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，
正方形的周长应为______．
3.
若，且，则的取值范围为______．
4.
函数在2x3上有最大值5及最小值2，求a，b的值．
5.
已知y=
x2+2ax+1a在0x1上最大值是2，求实数a的值．
6.
已知函数在区间上有最小值3，求的值．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
1919年，英国数学家伯特纳德·罗素提出的一个非常有名的逻辑悖论：即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义四
函数的进阶——二次函数的最值（解析版）
学习目标
掌握二次函数的最值的解法
教学内容
进门测试
建议5min
1、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）
【解析】原不等式变形为ax2+（a－2）x－2≥0.
①a=0时，x≤－1；
②a≠0时，不等式即为（ax－2）（x+1）≥0，
当a＞0时，x≥或x≤－1；由于－（－1）=，于是当－2＜a＜0时，≤x≤－1；
当a=－2时，x=－1；当a＜－2时，－1≤x≤.
综上，当a=0时，x≤－1；当a＞0时，x≥或x≤－1；当－2＜a＜0时，≤x≤－1；
当a=－2时，x=－1；当a＜－2时，－1≤x≤.
2、行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．
在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N
)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中.
（1）求n的值；
（2）要使刹车距离不超过12.6
m，则行驶的最大速度是多少？
【答案】（1）n=6，（2）60
km/h
【解析】(1)依题意得，解得，又n∈N
，所以n＝6.
(2)s＝＋≤12.6?v2＋24v－5
040≤0?－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，
即行驶的最大速度为60
km/h.
课堂导入
建议10min
笛卡尔与直角坐标系
据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何，
他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。举一个例子来说，我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹，如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是代数和几何就这样合为一家人了。
精讲精练
建议70min
知识点一、二次函数的最值——轴定区间定
【知识梳理】
二次函数在高中数学中占有十分重要的地位，内容相比初中更为具体，解题思路更为抽象，更着重于与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，同时它也是高一第一学期集合部分内容的一个解决问题的主要思路，因此，拓展学习二次函数是初高衔接一个必不可少的部分．
二次函数的最值问题，核心是对函数对称轴与给定x范围的相对位置关系的讨论．
一般分为：对称轴在取值范围的左边，中间，右边三种情况．
设，求在时的最大值与最小值．
分析：将配方，得对称轴方程，
当时，抛物线开口向上，若，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若或，当时，抛物线开口向上，此时函数在范围内y随着x的增大而增大，或者y随着x的增大而减小，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．
当时，同上，作图可得结论，对二次函数的最值结合函数图象总结如下：
当时
当时
【例题精讲】
例1.求下列函数的最大值或最小值．
（1）；
（2）．
【解析】分析：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，
所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，
即函数有最小值．因为=，所以当时，函数
有最小值是．（2）因为二次函数中的二次项系数-1＜0，所以抛物线有最高点，即有最大值．因为=，
所以当时，函数有最大值．
例2.当时，求函数的最大值和最小值．
【解析】作出函数的图象．当时，，当时，．
说明：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．
那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
例3.当时，求函数的取值范围．
【解析】作出函数在内的图象．可以看出：当时，，
无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．
【巩固练习】
已知二次函数满足条件及.
（1）求；（2）求在时的最大值和最小值.
【难度】★★【答案】（1）设，由，可知
∵
故由得，
因而，
所以；
（2）
∵
，所以当时，的最小值为
当时，的最大值为.
知识点二、二次函数的最值——轴定区间动、轴动区间定
【例题精讲】
例1.
已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a
≥－2，求该函数的最大值与最小值，
并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
【解析】分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，
所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，
函数取最小值y＝a2；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，
函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
例2.当时，求函数的最小值(其中为常数)．
【解析】分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数的对称轴为．画出其草图．
(1)
当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2)
当对称轴在所给范围之间．即时：当时，；
(3)
当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．
综上所述：
例3.当时，求函数的最大值（其中为常数）．
【解析】分析：二次函数开口向下，对称轴方程为，对称轴随的变化而变化，
所以需要比较对称轴与范围的相对位置。
解：函数的对称轴方程为，画出其草图：
(1)
当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2)
当对称轴在所给范围之间．即时：
当时，；
(3)
当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．
综上所述：．
例4.求函数在上的最大值．
【解析】函数图象的对称轴方程为，应分，，
即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知（2）；由图可知
（3）
时；由图可知
；即
【巩固练习】
已知函数，在时的最大值为，求的值．
【解析】，对称轴为，
（1）当，即时，，得或（舍去）．
（2）当，即时，函数在单调递增，
由，得．
（3）当，即时，函数在单调递减，
由，得（舍去）．综上可得：的值为或．
知识点三、综合问题
【例题精讲】
例1.
已知，求的最小值．
【解析】将代入u中，得
，即时，
②，即时，所以
例2.已知函数在时的最大值为4，求实数a的值．
【解析】（1）若，不合题意．
（2）若则，由，得
（3）若时，则，由，得
综上知或．
例3.设a为实数，函数，求f(x)的最小值．
【解析】（1）当时，
①若，则；②若，则．
（2）当时，
①若，则；②若，则．
综上所述，当时，；当时，；
当时，．
【巩固练习】
已知二次函数在时的最大值为3，求实数a的值．
【解析】分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪．若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明．
解：（1）令，得，此时抛物线开口向下，对称轴为，
且故不合题意；
（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间右端点距离对称轴远些，故符合题意；
（3）若，得，经检验，符合题意．综上，或
评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法．
当堂检测
建议15min
1.
已知二次函数的图像经过点，当时，函数的最小值为，则函数的解析式为______．
【答案】
2.
将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，
正方形的周长应为______．
【答案】
3.
若，且，则的取值范围为______．
【答案】
4.
函数在2x3上有最大值5及最小值2，求a，b的值．
【解析】对称轴方程为
（1）当时，有时取最大值，时取最小值，则
得
（2）当时，有时取最大值，时取最小值，则
得
经检验均符合题意，所以或
5.
已知y=
x2+2ax+1a在0x1上最大值是2，求实数a的值．
【答案】
6.
已知函数在区间上有最小值3，求的值．
【答案】或
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
1919年，英国数学家伯特纳德·罗素提出的一个非常有名的逻辑悖论：即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．

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