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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义五
集合的概念与集合间的基本关系（解析版）
学习目标
1、通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系
2、针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合
3、在具体情境中，了解全集与空集的含义
4、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
教学内容
进门测试
建议5min
1、函数在2x3上有最大值5及最小值2，求a，b的值．
【解析】对称轴方程为
（1）当时，有时取最大值，时取最小值，则
得
（2）当时，有时取最大值，时取最小值，则
得
经检验均符合题意，所以或
2、设a为实数，函数，求f(x)的最小值．
【解析】（1）当时，
①若，则；②若，则．
（2）当时，
①若，则；②若，则．
综上所述，当时，；当时，；
当时，．
课堂导入
建议10min
集合论简介
集合论是德国著名数学家康托尔(George
Cantor，1845－1918)于19世纪末创立的．
十七世纪数学中出现了一门新的分支——微积分．在之后的一至二百年中，这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础．十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．
集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦．在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．今天，我们可以说绝对的严格已经达到了．”
然而这种自得的情绪并没能持续多久．不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界，这就是1902年罗素得出的罗素悖论．罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.
现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.
这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中，这就是数学史上的第三次数学危机．
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去．1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统．原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现，这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论．与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论，公理化集合论是对朴素集合论的严格处理，它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机．
公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等，而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时一些著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．
德国伟大的数学家希尔伯特（David
Hilbert，1862－1943）称康托尔的集合论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．英国数学家和哲学家罗素（Bertrand
Russell，1872－1970）把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．前苏联著名的数学家科尔莫戈洛夫(Andrey
Nikolaevich
Kolmogorov，1903－1987)说，“康托尔的不朽功绩，在于他敢向无穷大冒险迈进．”还有如：它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一等等．
精讲精练
建议70min
知识点一、集合及其表示法（Sets
and
Their
Expressions）
【知识梳理】
在现实生活和数学中，我们经常要把一些确定的对象作为一个整体来考察研究．例如：
（1）某校高一（1）班的全体学生；
（2）中国运动员在历届夏、冬季奥运会上取得的所有金牌；
（3）1~100之间的所有质数；
（4）不等式2x－3>0的解的全体；
（5）所有的平行四边形；
（6）平面上到两个定点的距离相等的点的全体．
我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合(set)，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素(element)．
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关．
我们把含有有限个元素的集合称为有限集(finite
set)，含有无限个元素的集合称为无限集(infinite
set)．
为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty
set)，记作．例如，方程x2+1=0的实数解组成的集合就是空集．
集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、……，元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、……．
如果a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于(belong
to)A”；
如果a不是集合A的元素，就记作aA，读作“a不属于(not
belong
to)A”．
数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：
全体自然数组成的集合，即自然数集(natural
numbers
set)，记作N；不包括零的自然数组成的集合，
即正整数集，记作N
；全体整数组成的集合，即整数集（set
of
integer），记作Z；全体有理数组成的集合，即有理数集（rational
numbers
set），记作Q；全体实数组成的集合，即实数集（set
of
real
numbers），记作R．
我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z+、Z－、Q+、Q－、R+、R－．
集合的表示方法通常有两种，即列举法和描述法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．如：{1，3，5，7，9}，{x2，3x－2，x+7y3，x2－4y2}．
在大括号内，先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中的元素的公共属性，即A={x
|
x满足性质P}，这种表示集合的方法称为描述法．如：不等式2x－3>0的解集可表示为
{x
|
x－3>2}，函数y=x+1图像上的点组成的集合可表示为{(x,
y)
|
y=x+1}．
【例题精讲】
例1、用适当的方法表示下列集合：
（1）30的所有正因数组成的集合A；
（2）被5除余3的自然数全体组成的集合B；
（3）
二次函数y=x2+2x－3图像上的所有点组成的集合C．
解：（1）用列举法表示：A={1,2,3,5,6,10,15,30}；
（2）用描述法表示：B={x
|
x=5n+3,
nN}；
（3）用描述法表示：C={(x,
y)
|
y=x2+2x－3}．
例2、A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，
试证明：（1）任意奇数都是A的元素；（2）偶数4k－2(kZ)不属于A．
证明：设A={x
|
x=a2－b2，a、bZ}，设任意奇数x=2k+1,kZ，则x=k2+2k+1－k2=(k+1)2－k2A；
反证：假设任意偶数x=4k－2,kZ属于A，则设x=a2－b2，a、bZ，
于是有2(2k－1)=(a+b)(a－b)，…①
在上述①式中，等号右边的a
+b与a－b同奇同偶，则x或为奇数，或为4的整数倍；
而等号左边是2与一个奇数的积，则x不能被4整除，由此产生矛盾．
所以，原假设不成立，即“偶数4k－2(kZ)不属于A”得证．
例3、若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．
解：当时，方程只有一个根，则符合题意；
当时，则关于的方程是一元二次方程，由于集合A中至多有一个元素，
则一元二次方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以＝，解得．
综上所得，实数的取值范围是．
例4、设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，
，1，2，3，则求满足关系式的的个数．
解：由于
，则
．
只有，符合所给关系式，则的个数为2．
例5、已知是由实数构成的集合，且满足1）；2）若，则．
如果，中至少含有多少个元素？说明理由．
解：若中只有1个元素则
（无解），若中只有2个元素则S
（无解），
而符合条件，则中至少含有3个元素．
【巩固练习】
1．用描述法表示下列集合：
（1）；
（2）．
解：（1）、（2）．
2．用列举法表示下列集合：
（1）{是20的正约数}；
（2）．
解：（1）、（2）解不等式得：．
3．设三元素的集合也可表示为，求的值．
解：由已知有，故有．
4．已知全集，求集合．
解：由已知=1，2，3，6，则，2，3，4，故．
5．给定三元集合，求实数的取值范围．
解：由集合元素的互异性知，1，2，，．故实数的取值范围是
6．若集合中只有一个元素，求．
解：当时，方程只有一个根，则以符合题意．
当时，则关于的方程是一元二次方程，由于集合中只有一个元素，
则一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解得．
综上所得，，1．
7．若集合，其中，且，若．求中元素之和．
解：由已知及集合元素的互异性知，则．
由于
，，则
（舍）或，则
中元素之和为0．
8．若实数为常数，且，则__________．
解：时符合条件，时，则．故．
知识点二、集合之间的关系
（Relations
of
Sets）
【知识梳理】
考察下列集合：
A={1,2}，B={1,2,3,4}，C={
x︱x2-3x+2=0}，D={
x︱x
是四边形}，E={
x︱x
是多边形}．
容易发现，集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，集合D中的任何一个元素都是集合E的元素，而集合B中的元素3和4不是集合A的元素，集合C中的元素与集合A的元素完全相同．
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A
是集合B的子集（subset），记作或，读作“A包含于（be
contained
in）B”或
“B包含(contain)A”．
我们规定，空集包含于任何一个集合，即空集是任何集合的子集．
对于两个集合A与B，如果有，且，我们集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”．如对于集合A=｛x︱x=2k+1，kZ｝与B=｛x︱x=2k－1，kZ｝，则有A=B．
对于两个集合A与B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么称集合A是集合B的
真子集（proper
subset），记作AB或BA
读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，如右图所示，
表示（AB）所用的图叫做文氏图（Venn
diagram）．
【例题精讲】
例1、写出集合{a，b，c}的所有子集和真子集．
解：集合的所有子集为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}，
除了{a，b，c}，其余七个子集均为集合{a，b，c}的真子集．
例2、设集合A={a，a2，ab}，B={1，a，b}，A=B，求实数a，b的值．
解：由于A=B，则
（1）若a2=b，ab=1，则a3=1，即a=b=1，与集合中元素的互异性矛盾；
（2）若a2=1，ab=b，则由集合中元素的互异性可得a=－1，b=0．
例3、已知，，求证：S=T．
解：（1）任意xS，则存在m,nZ，使得x=14m+36n=2(7m+18n)，
令7m+18n=k，由于m,nZ，所以k=7m+18nZ，则x=2k，kZ，即xT，因此ST；
（2）反之，任意xT，则存在kZ，使得x=2k，要使得x=2k=14m+36n，m,nZ，
则k=7m+18n=7×(－5k)+18×(2k)，可见当m=－5k，n=2k(kZ)时，x=14m+36n，m,nZ，即xS，
因此TS．所以，综合(1)和(2)知，S=T得证．
例4、已知集合A={
m
|
m=n2+1，nN
}，B={y|y=x2－2x+2，xN
}，研究A与B的关系，并给予证明．
解：AB．
例5、已知A={
x
|
}，
①若集合B={
x
|
}，满足AB，求a范围；
②若集合C={x
|
}，满足AC，求a的取值范围；
③若把②中条件“AC”改为“CA”，求a的取值范围．
解：①；②；③a>6．
【巩固练习】
1．已知集合，，其中，且，
若，则实数__________．
解：若，，则
（舍）．
若，，则
（舍）或，故．
2．已知集合，，若，则由满足条件的实数组成的
集合__________．
解：
{1，2}，此时，，，故．
3．已知，且，则常数的取值范围是__________．
解：．
4．若非空集合满足{1，2，3，4，5}，且若，则，那么符合要求的集合有______个．
解：{1，5}，{3}，{2，4}都是符合要求，然后自由组合一下，所以答案为7．
5．集合，，且，则满足条件的值构成的集合为________．
解：，此时，故满足条件的值构成的集合为．
6．已知集合，，且，则__________，__________．
解：由于，，则．
7．集合，，且，则__________．
解：利用集合中的元素0的特殊性来分类讨论，（0，1），（0，），故，．
当堂检测
建议15min
1、用描述法表示下列集合：
（1）{1，4，7，10，13}；
（2）{－2，－4，－6，－8，－10}；
（3）
{
1，5，25，125，625
}；
（4）
{
0，±，±，±，±，……}．
2、用列举法表示下列集合：
（1）{x|
x是15的正约数}；
（2）{(x，y)
|
x{1，2}，y{1，2}}；
（3）；
（4）
{(x，y)
|
y=x2－1，|x|≤2，xZ}．
3、关于x的方程ax＋b=0，当a，b满足条件_______时，解集是有限集；当a，b满足条件_________时，
解集是无限集．
4、已知集合{2a，a2－2a}为数集，求a的取值范围．
5、已知集合中至多含有一个元素，求实数的取值范围．
6、设A={x
|
x2+(b+2)x+b+1=0，bR}，求A中所有元素之和．
7、设A={x
|
x=m2
–n2，m、n
Z}，问8、9、10与集合A有什么关系？并证明你的结论．
8、设集合,若
则与集合M、N的关系是(
)
A．
B．
C．
D．
9、已知集合，，若M=N，求m2008+n2009．
10、已知集合A={0，1}，B={x
|
x
A，xN﹡}
，C={x
|
x
A
}
则A、B、C之间有怎样的关系？
11、已知集合A={x
|－2k+6<
x
|－k
<
x
<
k}，若AB，求实数k的取值范围．
12、设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中有3个元素组成的子集数为T，则求的值．
答案：
1、（1）
{x|
x=3n+1，n4，nN}；
（2）
{x|
x=－2n，n5，nN﹡}；
（3）{x|
x=5n，n4，nN﹡}；（4）
．
2、（1）{1，3，5，15}；（2）{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}；
（3）{
(－1,－1)
}；（4）{(0,－1)，(1,0)，(－1,0)，(2,3)，(－2,3)
}．
3、
a0；a=0且b=0．
4、{
a
|
aR，且a0，a4}．
5、2．
6、b0时，仅有一个元素为－1；b=0时，两个元素之和为－b－2．
7、
8A，9
A，10
A．
8、C．
9、1．
10、BA，AC，BC．
11、．
12、．
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢
看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又
喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义五
集合的概念与集合间的基本关系（学生版）
学习目标
1、通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系
2、针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合
3、在具体情境中，了解全集与空集的含义
4、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
教学内容
进门测试
1、函数在2x3上有最大值5及最小值2，求a，b的值．
2、设a为实数，函数，求f(x)的最小值．
课堂导入
集合论简介
集合论是德国著名数学家康托尔(George
Cantor，1845－1918)于19世纪末创立的．
十七世纪数学中出现了一门新的分支——微积分．在之后的一至二百年中，这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础．十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．
集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦．在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．今天，我们可以说绝对的严格已经达到了．”
然而这种自得的情绪并没能持续多久．不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界，这就是1902年罗素得出的罗素悖论．罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.
现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.
这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中，这就是数学史上的第三次数学危机．
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去．1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统．原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现，这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论．与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论，公理化集合论是对朴素集合论的严格处理，它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机．
公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等，而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时一些著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．
德国伟大的数学家希尔伯特（David
Hilbert，1862－1943）称康托尔的集合论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．英国数学家和哲学家罗素（Bertrand
Russell，1872－1970）把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．前苏联著名的数学家科尔莫戈洛夫(Andrey
Nikolaevich
Kolmogorov，1903－1987)说，“康托尔的不朽功绩，在于他敢向无穷大冒险迈进．”还有如：它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一等等．
精讲精练
知识点一、集合及其表示法（Sets
and
Their
Expressions）
【知识梳理】
在现实生活和数学中，我们经常要把一些确定的对象作为一个整体来考察研究．例如：
（1）某校高一（1）班的全体学生；
（2）中国运动员在历届夏、冬季奥运会上取得的所有金牌；
（3）1~100之间的所有质数；
（4）不等式2x－3>0的解的全体；
（5）所有的平行四边形；
（6）平面上到两个定点的距离相等的点的全体．
我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合(set)，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素(element)．
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关．
我们把含有有限个元素的集合称为有限集(finite
set)，含有无限个元素的集合称为无限集(infinite
set)．
为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty
set)，记作．例如，方程x2+1=0的实数解组成的集合就是空集．
集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、……，元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、……．
如果a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于(belong
to)A”；
如果a不是集合A的元素，就记作aA，读作“a不属于(not
belong
to)A”．
数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：
全体自然数组成的集合，即自然数集(natural
numbers
set)，记作N；不包括零的自然数组成的集合，
即正整数集，记作N
；全体整数组成的集合，即整数集（set
of
integer），记作Z；全体有理数组成的集合，即有理数集（rational
numbers
set），记作Q；全体实数组成的集合，即实数集（set
of
real
numbers），记作R．
我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z+、Z－、Q+、Q－、R+、R－．
集合的表示方法通常有两种，即列举法和描述法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．如：{1，3，5，7，9}，{x2，3x－2，x+7y3，x2－4y2}．
在大括号内，先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中的元素的公共属性，即A={x
|
x满足性质P}，这种表示集合的方法称为描述法．如：不等式2x－3>0的解集可表示为
{x
|
x－3>2}，函数y=x+1图像上的点组成的集合可表示为{(x,
y)
|
y=x+1}．
【例题精讲】
例1、用适当的方法表示下列集合：
（1）30的所有正因数组成的集合A；
（2）被5除余3的自然数全体组成的集合B；
（3）
二次函数y=x2+2x－3图像上的所有点组成的集合C．
例2、A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，
例3、若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．
例4、设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，
，1，2，3，则求满足关系式的的个数．
例5、已知是由实数构成的集合，且满足1）；2）若，则．
如果，中至少含有多少个元素？说明理由．
【巩固练习】
1．用描述法表示下列集合：
（1）；
（2）．
2．用列举法表示下列集合：
（1）{是20的正约数}；
（2）．
3．设三元素的集合也可表示为，求的值．
4．已知全集，求集合．
5．给定三元集合，求实数的取值范围．
6．若集合中只有一个元素，求．
7．若集合，其中，且，若．求中元素之和．
8．若实数为常数，且，则__________．
知识点二、集合之间的关系
（Relations
of
Sets）
【知识梳理】
考察下列集合：
A={1,2}，B={1,2,3,4}，C={
x︱x2-3x+2=0}，D={
x︱x
是四边形}，E={
x︱x
是多边形}．
容易发现，集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，集合D中的任何一个元素都是集合E的元素，而集合B中的元素3和4不是集合A的元素，集合C中的元素与集合A的元素完全相同．
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A
是集合B的子集（subset），记作或，读作“A包含于（be
contained
in）B”或
“B包含(contain)A”．
我们规定，空集包含于任何一个集合，即空集是任何集合的子集．
对于两个集合A与B，如果有，且，我们集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”．如对于集合A=｛x︱x=2k+1，kZ｝与B=｛x︱x=2k－1，kZ｝，则有A=B．
对于两个集合A与B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么称集合A是集合B的
真子集（proper
subset），记作AB或BA
读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，如右图所示，
表示（AB）所用的图叫做文氏图（Venn
diagram）．
【例题精讲】
例1、写出集合{a，b，c}的所有子集和真子集．
例2、设集合A={a，a2，ab}，B={1，a，b}，A=B，求实数a，b的值．
例3、已知，，求证：S=T．
例4、已知集合A={
m
|
m=n2+1，nN
}，B={y|y=x2－2x+2，xN
}，研究A与B的关系，并给予证明．
例5、已知A={
x
|
}，
①若集合B={
x
|
}，满足AB，求a范围；
②若集合C={x
|
}，满足AC，求a的取值范围；
③若把②中条件“AC”改为“CA”，求a的取值范围．
【巩固练习】
1．已知集合，，其中，且，
若，则实数__________．
2．已知集合，，若，则由满足条件的实数组成的
集合__________．
3．已知，且，则常数的取值范围是__________．
4．若非空集合满足{1，2，3，4，5}，且若，则，那么符合要求的集合有_____个．
5．集合，，且，则满足条件的值构成的集合为________．
6．已知集合，，且，则__________，__________．
7．集合，，且，则__________．
当堂检测
1、用描述法表示下列集合：
（1）{1，4，7，10，13}；
（2）{－2，－4，－6，－8，－10}；
（3）
{
1，5，25，125，625
}；
（4）
{
0，±，±，±，±，……}．
2、用列举法表示下列集合：
（1）{x|
x是15的正约数}；
（2）{(x，y)
|
x{1，2}，y{1，2}}；
（3）；
（4）
{(x，y)
|
y=x2－1，|x|≤2，xZ}．
3、关于x的方程ax＋b=0，当a，b满足条件_______时，解集是有限集；当a，b满足条件_________时，
解集是无限集．
4、已知集合{2a，a2－2a}为数集，求a的取值范围．
5、已知集合中至多含有一个元素，求实数的取值范围．
6、设A={x
|
x2+(b+2)x+b+1=0，bR}，求A中所有元素之和．
7、设A={x
|
x=m2
–n2，m、n
Z}，问8、9、10与集合A有什么关系？并证明你的结论．
8、设集合,若
则与集合M、N的关系是(
)
A．
B．
C．
D．
9、已知集合，，若M=N，求m2008+n2009．
10、已知集合A={0，1}，B={x
|
x
A，xN﹡}
，C={x
|
x
A
}
则A、B、C之间有怎样的关系？
11、已知集合A={x
|－2k+6<
x
|－k
<
x
<
k}，若AB，求实数k的取值范围．
12、设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中有3个元素组成的子集数为T，则求的值．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对学霸笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢
看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又
喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？

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