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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义六
集合的基本运算（学生版）
学习目标
1、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集
2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集
3、能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用
教学内容
进门测试
1、已知集合中至多含有一个元素，求实数的取值范围．
2、设A={x
|
x=m2
–n2，m、n
Z}，问8、9、10与集合A有什么关系？并证明你的结论．
3、已知集合，，若M=N，求m2008+n2009．
4、已知集合A={0，1}，B={x
|
x
A，xN﹡}
，C={x
|
x
A
}
则A、B、C之间有怎样的关系？
5、已知集合A={x
|－2k+6<
x
|－k
<
x
<
k}，若AB，求实数k的取值范围．
课堂导入
悖论
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”．这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比．悖论是自相矛盾的命题．即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的．
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力．解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念．
悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）．
2．一种论断看起来
好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）．
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾．
事实上，悖论古已有之．一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”，见于《新约全书·提多书》，属于语义学悖论．
另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“数学悖论”或“集合论悖论”．在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”．与此同时，还发现了其他集合论悖论，其中最著名的当属“罗素悖论”．
1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合．然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员．无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论．
1919年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．
精讲精练
知识点一、集合之间的运算（Operation
of
Sets）
【知识梳理】
1、交集
考察集合A={
x
|
x是我校在校女生}，B={
x
|
x
我校高一学生}与C={
x
|
x是我校高一女生}之间的
关系，易知集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的．
一般地，由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合，叫做A与B的交集(intersection)．
记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B=｛x|xA且xB｝．
用文氏图可以直观地表示A∩B的一般情况．
由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：
（1）A∩B=
B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩=；
（4）A∩BA，A∩BB；（5）若A∩B=A，则有AB；反之若AB，则A∩B=A．
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集(union)．
记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B=｛x|xA或xB｝．
用文氏图可以直观地表示A∪B的一般情况．
由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：
（1）A∪B=
B∪A；（2）A∪A=A；（3）A∪=
A；
（4）AA∪B，BA∪B；（5）若A∪B=B，则有AB；反之若AB，则A∪B=B．
3、补集
在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集(universe)．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集(complementary
set)，记作，读作“A补”，即．
用文氏图可以直观地表示的一般情况．
由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：
（1）；（2）；（3）．
4、容斥原理及其应用
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．对于有限集合P，我们用n(P)表示P中的元素个数．
容斥原理（1）
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=
A类元素个数+B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数．即
．
容斥原理（2）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数=
A类元素个数+
B类元素个数+C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数．即
．
【例题精讲】
例1、设集合A={(x，y)|3x－y=7}，集合B={(x，y)|2x+y=3}，求A∩B．
例2、设A=｛x|－1例3、已知关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，
若A∩B=，求A∪B．
例4、
已知全集I={－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A={－3，a2，a+1}，
B={a－3，2a－1，a2+1}，其中a∈R，若A∩B={－3}，求CI（A∪B）．
例5、设U={x
|
x<10，xN
}，A∩B={3}，(CuA)∩B={4，6，8}，A∩(CuB)={1，5}，求Cu(A∪B)，A，B．
例6、对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢
看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又
喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？
【巩固练习】
1．分别用集合符号表示下图的阴影部分：
2．设集合，集合，求．
3．集合，，则__________．
4．设，，若，求实数的所有值．
5．设全集，集合，，若，
求的值．
6．已知，，，又为单元素集合，
求实数的取值范围．
7．{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，，，，，，则__________．
8．已知集合，，当时，实数的取值范围
是__________．
9．集合，，若，则__________．
10．集合，，则中的最小元素是__________．
11．对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢
看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐
又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？
知识点二、集合综合问题
【例题精讲】
例1、平面点集，求中元素的个数．
例2、定义集合，的一种运算：，若，，则中的所有元素之和为__________．
例3、集合，集合，
求集合与的关系．
例4、设全集，集合，
（1）若，求．
（2）若，求．
例5、对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的
“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，
（1）求证：．
（2）若，且，求实数的取值范围．
【巩固练习】
1．设集合，，
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
（3）若，，求实数的取值范围．
2．非空集合，且同时满足条件“若，则．
（1）写出所有含有2个元素的集合．
（2）只有3个元素的集合是否存在？若存在，写出集合，若不存在，请说明理由，
并适当改变题目的条件，使满足题意的集合可以只有3个元素．
（3）用表示集合中所有元素之和，求的最大值．
（4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）？
3．设集合{1，2，3，4，5，6}，，，…，都是的含两个元素的子集，且满足：
对任意的，，都有
（表示两个数，中的较小者），求的最大值．
当堂检测
1、分别用集合符号表示下图的阴影部分：
2、设A={x|
x＞－2},
B={x
|x＜3},
求A∩B,
A∪B．
3、已知A={2，－1，x2－x+1}，B={2y，－4，x+4}，C={－1，7}，
且A∩B=C，求A∪B．
4、若A、B、C为三个集合，，则一定有（
）
(A)　
　　　
(B)　　　
　
(C)　　　
　
(D)
5、已知集合A={x︱x
≤
2}，B
={x︱x
>
a}，在下列条件下分别求实数a的取值范围：
（1）
A∩B＝；（2）
A∪B＝R；（3）
1A∩B．
6、设，，，
求：（1）集合C；（2）C的所有子集中的各个元素和的总和．
7、全集I={
x
|
x为三角形}，A={
x
|
x为锐角三角形}，B={
x
|
x为钝角三角形}，C={
x
|
x为直角三角形}，D={
x
|
x为斜角三角形}，求．
8、设全集为U=Z，，，求．
9、已知全集I=，若，，求实数．
10、已知全集U=，A，B是U的子集，且同时满足，，，求A和B．
11、某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘公共汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：
（1）只乘轨道交通上班的人数．（2）不乘轨道交通上班的人数．（3）乘坐交通工具的人数．
（4）不乘交通工具而步行的人数．（5）只乘一种交通工具的人数．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
陈二请客，请了张三、李四、王五、赵六一起吃饭。看看时间过了，赵六还没来没来。陈二心里很焦急，便说：“怎么搞的，该来的还不来？”张三听到了，心想：“该来的没来，那我是不该来的啰？”于是悄悄地走了。陈二一看，越发着急了，便说：“怎么不该走的，反倒走了呢？”李四一听，又想：“走了的是不该走的，那我没走的倒是该走的了！”于是也走了，最后只剩下王五，看了这种尴尬的场面，就劝陈二说：“你说话前应该先考虑一下，否则说错了，就不容易收回来了。”陈二大叫冤枉，急忙解释说：“我并不是叫他们走哇！”王五听了大为光火，说：“不是叫他们走，那就是叫我走了。”说完，头也不回地离开了。
这个小故事其实还暗含一个数学原理，你知道是什么吗？请听下节课。2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义六
集合的基本运算（解析版）
学习目标
1、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集
2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集
3、能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用
教学内容
进门测试
建议5min
1、已知集合中至多含有一个元素，求实数的取值范围．
2、设A={x
|
x=m2
–n2，m、n
Z}，问8、9、10与集合A有什么关系？并证明你的结论．
3、已知集合，，若M=N，求m2008+n2009．
4、已知集合A={0，1}，B={x
|
x
A，xN﹡}
，C={x
|
x
A
}
则A、B、C之间有怎样的关系？
5、已知集合A={x
|－2k+6<
x
|－k
<
x
<
k}，若AB，求实数k的取值范围．
答案：
1、2；2、8A，9
A，10
A；3、1；4、BA，AC，BC；5、．
课堂导入
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悖论
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”．这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比．悖论是自相矛盾的命题．即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的．
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力．解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念．
悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）．
2．一种论断看起来
好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）．
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾．
事实上，悖论古已有之．一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”，见于《新约全书·提多书》，属于语义学悖论．
另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“数学悖论”或“集合论悖论”．在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”．与此同时，还发现了其他集合论悖论，其中最著名的当属“罗素悖论”．
1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合．然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员．无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论．
1919年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．
精讲精练
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知识点一、集合之间的运算（Operation
of
Sets）
【知识梳理】
1、交集
考察集合A={
x
|
x是我校在校女生}，B={
x
|
x
我校高一学生}与C={
x
|
x是我校高一女生}之间的
关系，易知集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的．
一般地，由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合，叫做A与B的交集(intersection)．
记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B=｛x|xA且xB｝．
用文氏图可以直观地表示A∩B的一般情况．
由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：
（1）A∩B=
B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩=；
（4）A∩BA，A∩BB；（5）若A∩B=A，则有AB；反之若AB，则A∩B=A．
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集(union)．
记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B=｛x|xA或xB｝．
用文氏图可以直观地表示A∪B的一般情况．
由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：
（1）A∪B=
B∪A；（2）A∪A=A；（3）A∪=
A；
（4）AA∪B，BA∪B；（5）若A∪B=B，则有AB；反之若AB，则A∪B=B．
3、补集
在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集(universe)．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集(complementary
set)，记作，读作“A补”，即．
用文氏图可以直观地表示的一般情况．
由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：
（1）；（2）；（3）．
4、容斥原理及其应用
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．对于有限集合P，我们用n(P)表示P中的元素个数．
容斥原理（1）
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=
A类元素个数+B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数．即
．
容斥原理（2）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数=
A类元素个数+
B类元素个数+C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数．即
．
【例题精讲】
例1、设集合A={(x，y)|3x－y=7}，集合B={(x，y)|2x+y=3}，求A∩B．
解：A∩B==={(2,－1)}．
例2、设A=｛x|－1解：A∩B=｛x|1例3、已知关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，
若A∩B=，求A∪B．
解：
∵A∩B=，∴－∈A且－∈B．∴3(－)2+p(－)－7=0且3(－)2－7(－)+q=0，
∴p=－20,q=－．由3x2－20x－7=0得A={－，7}，由3x2－7x－=0得B={－，}．
∴A∪B={－，，7}．
例4、
已知全集I={－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A={－3，a2，a+1}，
B={a－3，2a－1，a2+1}，其中a∈R，若A∩B={－3}，求CI（A∪B）．
解：由a－3=－3或2a－1=－3，可求得A={－3，0，1}，B={－4，－3，2}，
则A∪B={－4，－3，0，1，2}，CI（A∪B）={－2，－1，3，4}．
例5、设U={x
|
x<10，xN
}，A∩B={3}，(CuA)∩B={4，6，8}，A∩(CuB)={1，5}，求Cu(A∪B)，A，B．
解：
A∪B中的元素可分为三类：一类属于A不属于B；一类属于B不属于A；一类既属于A又属于B．
由(CuA)∩B={4,6,8}，即4,6,8属于B不属于A；由(CuB)∩A={1,5}，即1,5属于A不属于B；
由A∩B
={3}，即3既属于A又属于B；又U={x
|
x<10，xN
}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
若2属于A不属于B，则与(CuB)∩A={1,5}矛盾，若2属于B不属于A，则与(CuA)∩B={4,6,8}矛盾，
而2
A∩B，∴2既不属于A也不属于B，同理7，9既不属于A也不属于B．
综上，Cu（A∪B）={2，7，9}，A={1,3,5}，B={3,4,6,8}．
例6、对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢
看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又
喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？
解：设A＝｛x|
x为喜欢看球赛的人｝，B＝｛x|
x为喜欢看电影的人｝，C＝｛x|
x为喜欢听音乐的人｝，
则A∩B＝｛x|
x为既喜欢看球赛的人又喜欢看电影的人｝，
B∩C＝｛x|
x为既喜欢听音乐又喜欢看电影的人｝，A∩B∩C＝｛x|
x为三种都喜欢的人｝，
A∪B∪C＝｛x|
x为看球赛和电影、听音乐至少喜欢一种｝．
则=58，=38，=52，=18，=16，=12，
=100，
由
得
＝148－（100＋18＋16－12）＝26，
所以，只喜欢听音乐的人共有n(C)－n(B∩C)－n(C∩A)＋n(A∩B∩C)＝52－16－26＋12＝22．
【巩固练习】
1．分别用集合符号表示下图的阴影部分：
解：（1）、（2）．
2．设集合，集合，求．
解：联立，可得：．
3．集合，，则__________．
解：，，则．
4．设，，若，求实数的所有值．
解：时，不符合题意．时，有或，进而得或．
5．设全集，集合，，若，
求的值．
解：由已知是的一个根，得，进而有，故
是的一个根，或4（舍），故，．
6．已知，，，又为单元素集合，
求实数的取值范围．
解：数形结合可知．
7．{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，，，，，，则__________．
解：{2，3，4，5，7}，{2，3，4，5，6，7，8}，{3，5，7}．
8．已知集合，，当时，实数的取值范围
是__________．
解：当时，，当时，，故．
9．集合，，若，则__________．
解：由已知及集合元素的互异性有（舍）或或（舍），故．
10．集合，，则中的最小元素是__________．
解：枚举可得：23．
11．对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢
看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐
又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？
解：由容斥原理可得有22人只喜欢听音乐．
知识点二、集合综合问题
【例题精讲】
例1、平面点集，求中元素的个数．
解：首先，
进而得，则中元素的个数为8．
例2、定义集合，的一种运算：，若，，则中的所有元素之和为__________．
解：，则中的所有元素之和为14．
例3、集合，集合，
求集合与的关系．
解：．
例4、设全集，集合，
（1）若，求．
（2）若，求．
解：（1）{（2，3）}．（2）{（2，3）}．
例5、对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的
“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，
（1）求证：．
（2）若，且，求实数的取值范围．
解：（1）若，则显然成立．
若，设，则，，即，从而．
（2）中元素是方程即的实根．由，知或即．
中元素是方程即的实根．
由，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为．
因此，要，即要方程①，要么没有实根，要么实根是方程②的根．
若①没有实根，则，由此解得；
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有．
由此解得，再代人②得，由此解得．故的取值范围是．
【巩固练习】
1．设集合，，
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
（3）若，，求实数的取值范围．
解：（1）由于{1，2}，，则，代入中的方程，
得或．
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，的值为或．
（2）对于集合，．由于，则，
①当，即时，满足条件；
②当，即时，，满足条件；
③当，即时，．
由韦达定理，矛盾；综上，的取值范围是．
（3），则，则；
①若，则适合；②若，则，此时且；将2代入的方程
得或，将1代入的方程得，则且且，
综上，的取值范围是或或或或．
2．非空集合，且同时满足条件“若，则．
（1）写出所有含有2个元素的集合．
（2）只有3个元素的集合是否存在？若存在，写出集合，若不存在，请说明理由，
并适当改变题目的条件，使满足题意的集合可以只有3个元素．
（3）用表示集合中所有元素之和，求的最大值．
（4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）？
解：（1）{1，30}，{2，15}，{3，10}，{5，6}．
（2）不存在．若中有3个元素，则有成立，这显然是不符题意的．如将30改成36
（合理情形均可），此时的一种情形为{1，6，36}符合条件．
（3）
{1，2，3，5，10，15，30}时，最大，此时．
（4）如：正整数为完全平方数的充分必要条件是的所有正因子个数为奇数．
3．设集合{1，2，3，4，5，6}，，，…，都是的含两个元素的子集，且满足：
对任意的，，都有
（表示两个数，中的较小者），求的最大值．
解：对每一个，的取值只有11种，故的最大值为11．
当堂检测
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1、分别用集合符号表示下图的阴影部分：
2、设A={x|
x＞－2},
B={x
|x＜3},
求A∩B,
A∪B．
3、已知A={2，－1，x2－x+1}，B={2y，－4，x+4}，C={－1，7}，
且A∩B=C，求A∪B．
4、若A、B、C为三个集合，，则一定有（
）
(A)　
　　　
(B)　　　
　
(C)　　　
　
(D)
5、已知集合A={x︱x
≤
2}，B
={x︱x
>
a}，在下列条件下分别求实数a的取值范围：
（1）
A∩B＝；（2）
A∪B＝R；（3）
1A∩B．
6、设，，，
求：（1）集合C；（2）C的所有子集中的各个元素和的总和．
7、全集I={
x
|
x为三角形}，A={
x
|
x为锐角三角形}，B={
x
|
x为钝角三角形}，C={
x
|
x为直角三角形}，D={
x
|
x为斜角三角形}，求．
8、设全集为U=Z，，，求．
9、已知全集I=，若，，求实数．
10、已知全集U=，A，B是U的子集，且同时满足，，，求A和B．
11、某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘公共汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：
（1）只乘轨道交通上班的人数．（2）不乘轨道交通上班的人数．（3）乘坐交通工具的人数．
（4）不乘交通工具而步行的人数．（5）只乘一种交通工具的人数．
答案：
1、
A∩B、
A∩CUB、
A∪B∩CU(A∩B)、C∩CUA∩CUB∪(A∩B∩C)．
2、A∩B={x|－23、{－4，－1，2，7}．
4、A
5、（1）；（2）；（3）．
6、（1）{1，4，9}；（2）56．
7、C．
8、．
9、
10、A={3，5，11，13}，B={7，11，13，19}
11、画韦恩图和容斥原理可得：（1）66．（2）36．（3）98．（4）22．（5）80．
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
陈二请客，请了张三、李四、王五、赵六一起吃饭。看看时间过了，赵六还没来没来。陈二心里很焦急，便说：“怎么搞的，该来的还不来？”张三听到了，心想：“该来的没来，那我是不该来的啰？”于是悄悄地走了。陈二一看，越发着急了，便说：“怎么不该走的，反倒走了呢？”李四一听，又想：“走了的是不该走的，那我没走的倒是该走的了！”于是也走了，最后只剩下王五，看了这种尴尬的场面，就劝陈二说：“你说话前应该先考虑一下，否则说错了，就不容易收回来了。”陈二大叫冤枉，急忙解释说：“我并不是叫他们走哇！”王五听了大为光火，说：“不是叫他们走，那就是叫我走了。”说完，头也不回地离开了。
这个小故事其实还暗含一个数学原理，你知道是什么吗？请听下节课。

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