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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义八
不等式的性质与证明（解析版）
学习目标
1、梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2、掌握比较法、分析法、综合法证明不等式
教学内容
进门测试
建议5min
1、若非空集合，则“或“”是“”的__________条件．
2、“且”是“”的__________条件．
3、“三个数、、不全为零”的充要条件是（
）．
A．、、都不为零
B．、、中至多有一个为零
C．、、中只有一个为零
D．、、中至少有一个不为零
4、设．命题“”是命题“”
的__________条件．
5、写出下列命题的否定：
（1）；
（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）；
（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
答案：
1、必要非充分；
2、既不充分又不必要条件；
3、D；4、充分不必要条件；
5、（1）；（2）存在一个能被5整除的整数，末尾数字不是0；
（3）；（4）所有四边形对角线都不垂直．
课堂导入
建议10min
数学史上最著名的家族——伯努利家族
这是一个盛产科学家的家族，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏——伯努利。伯努利家族在力学、数学、天文学、生理学等领域里做出了根本性的贡献，在整个世界科学界起着承前启后，开辟科学新时代的作用。
伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli
family，原籍比利时安特卫普，1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。巴塞尔自从13世纪中叶就是瑞士的文化与学术中心，那里有欧洲最古老的著名的巴塞尔大学和良好的文化教育传统。
在一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族仅仅从17世纪到18世纪就产生了8名优秀数学家。他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。
精讲精练
建议70min
知识点一、不等式的性质
（Basic
Properties
of
Inequalities）
【知识梳理】
1、两个实数a与b之间的大小关系
2、不等式的性质
（1）(对称性或反身性)；
（2）(传递性)；
（3）(可加性),此法则又称为移项法则；
(同向可相加)
（4）(可乘性)
.
(正数同向可相乘)
（5）(乘方法则)
（6）(开方法则)
（7）(倒数法则)
（8）(次方法则)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，且n≥2)．
【例题精讲】
例1、设x、y、z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z－2的大小、
解：
(5x2+y2+z2)－(2xy+4x+2z－2)=(x－y)2+(2x－1)2+(z－1)2≥0
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z－2
(当且仅当x=y=且z=1时等号成立)、
例2、
已知a＞b，c＜d，求证a－c＞b－d．
证明：由a＞b知a－b＞0，由c＜d知d－c＞0．
∵(a－c)－(b－d)=(a－b)＋(d－c)＞0，∴a－c＞b－d．
例3、设，求的取值范围．
解：因为，，
所以
+
又，所以
【巩固练习】
1．判断下列命题是否成立，并说明理由．
（1）如果，，那么．
（2）如果，，那么．
（3）如果，，那么．
解：（1）不成立，（2）不成立，（3）不成立．
2．对于实数，，中，判断下列命题的真假：
①若，则．
②若，则．
③若，则．
④若，则．
⑤若，则．
⑥若，则．
⑦若，则．
⑧若，，则，．
解：②③⑥⑦⑧是真命题．
3．设，且，则与的大小关系是__________．
解：分解因式或逐差法可得：．
4．已知，，，求的取值范围．
解：，，可得：．
由于，，则：．
知识点二、不等式的证明
【知识梳理】
证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识．
不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式．
不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法．
1、比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式：
①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．
变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式，这种比较法是普遍适用的，是无条件的．理论依椐是实数大小关系:
②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断．
做商法是依据当b＞0，且时，则a＞b，反之则亦然应用范围：常用于指（对）数式的比较，这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定．
2、分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.分析法也称逆推法．
用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长．因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题．
3、综合法
综合法是“由因导果”，即从以知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式,逐步推导出要证明的不等式．
在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，
【例题精讲】
例1、已知a＞0，
b＞0，且a≠b，求证
证明：（）（）=
由题设可知
>0,，所以
例2：若则
证明：（）（）=（）()=()()＝A
若：，则，则A＞0
若：，则，则A＞0
若：,
则A＝0
原不等式成立
例3：设a,b,c,d为正数，证明
证明：易知上式是轮换的，不妨设，上式即
=，原不等式成立
例4、求证：
证明：要证，即证
即，即
即,即
即,即1516
由此逆推即得
例
5、已知
，求证：
证明：要证明不等式，只须证（2）
（2）式左边即（3）
（2）式右边即（4）
=
比较（3）和（4）可知要证（2）式成立，只须证明
（5）
（6）
（5），（6）两式显然成立，故不等式（1）成立
例6、设且，试证：
证法1：用分析法
要证，只证
即
即
即
，
成立
证法2：用综合法
【巩固练习】
1．（1）若，求证：．
（2）若，，求证：．
（3）若，求证：．
（4）若，，求证：．
解：（1）原不等式．（2）原不等式．
（3）原不等式．（4）原不等式．
2．求证：．
解：提示：两边平方．
3．已知，，分别为一个三角形的三边之长，求证：．
解：．
4．已知，，，求证：．
解：原不等式．
当堂检测
建议15min
1．比较下列两个数的大小：
（1）与．
（2）与．
（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明．
解：（1）．（2）．（3），．
证明过程如下：．
2．若，为不全相等的正数
，则．
解：原不等式．
3．已知，，且，求证：．
解：原不等式．
4．设，，证明不等式：，
解：提示：两边六次方．
5．已知，，，求证：．
解：提示：先证，累加可证明．
6．已知，，求证：．
解：原不等式．
7．已知，，，求证：．
解：原不等式．
8．已知，，，且，求证：．
解：提示：先证，分析法可证明，证明如下：
．
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，我们前几次课学习力解一元二次不等式，
请尝试解下列不等式：
（1）；
（2）
(x－1)
(x－2)
(x－3)＜0.2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义八
不等式的性质与证明（学生版）
学习目标
1、梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2、掌握比较法、分析法、综合法证明不等式
教学内容
进门测试
1、若非空集合，则“或“”是“”的__________条件．
2、“且”是“”的__________条件．
3、“三个数、、不全为零”的充要条件是（
）．
A．、、都不为零
B．、、中至多有一个为零
C．、、中只有一个为零
D．、、中至少有一个不为零
4、设．命题“”是命题“”
的__________条件．
5、写出下列命题的否定：
（1）；
（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）；
（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
课堂导入
数学史上最著名的家族——伯努利家族
这是一个盛产科学家的家族，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏——伯努利。伯努利家族在力学、数学、天文学、生理学等领域里做出了根本性的贡献，在整个世界科学界起着承前启后，开辟科学新时代的作用。
伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli
family，原籍比利时安特卫普，1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。巴塞尔自从13世纪中叶就是瑞士的文化与学术中心，那里有欧洲最古老的著名的巴塞尔大学和良好的文化教育传统。
在一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族仅仅从17世纪到18世纪就产生了8名优秀数学家。他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。
精讲精练
知识点一、不等式的性质
（Basic
Properties
of
Inequalities）
【知识梳理】
1、两个实数a与b之间的大小关系
2、不等式的性质
（1）(对称性或反身性)；
（2）(传递性)；
（3）(可加性),此法则又称为移项法则；
(同向可相加)
（4）(可乘性)
.
(正数同向可相乘)
（5）(乘方法则)
（6）(开方法则)
（7）(倒数法则)
（8）(次方法则)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，且n≥2)．
【例题精讲】
例1、设x、y、z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z－2的大小、
例2、已知a＞b，c＜d，求证a－c＞b－d．
例3、设，求的取值范围．
【巩固练习】
1．判断下列命题是否成立，并说明理由．
（1）如果，，那么．
（2）如果，，那么．
（3）如果，，那么．
2．对于实数，，中，判断下列命题的真假：
①若，则．
②若，则．
③若，则．
④若，则．
⑤若，则．
⑥若，则．
⑦若，则．
⑧若，，则，．
3．设，且，则与的大小关系是__________．
4．已知，，，求的取值范围．
知识点二、不等式的证明
【知识梳理】
证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识．
不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式．
不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法．
1、比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式：
①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．
变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式，这种比较法是普遍适用的，是无条件的．理论依椐是实数大小关系:
②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断．
做商法是依据当b＞0，且时，则a＞b，反之则亦然应用范围：常用于指（对）数式的比较，这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定．
2、分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.分析法也称逆推法．
用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长．因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题．
3、综合法
综合法是“由因导果”，即从以知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式,逐步推导出要证明的不等式．
在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，
【例题精讲】
例1、已知a＞0，
b＞0，且a≠b，求证
例2：若则
例3：设a,b,c,d为正数，证明
例4、求证：
例
5、已知
，求证：
例6、设且，试证：
【巩固练习】
1．（1）若，求证：．
（2）若，，求证：．
（3）若，求证：．
（4）若，，求证：．
2．求证：．
3．已知，，分别为一个三角形的三边之长，求证：．
4．已知，，，求证：．
当堂检测
1．比较下列两个数的大小：
（1）与．
（2）与．
（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明．
2．若，为不全相等的正数
，则．
3．已知，，且，求证：．
4．设，，证明不等式：，
5．已知，，，求证：．
6．已知，，求证：．
7．已知，，，求证：．
8．已知，，，且，求证：．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，我们前几次课学习力解一元二次不等式，
请尝试解下列不等式：
（1）；
（2）
(x－1)
(x－2)
(x－3)＜0.

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