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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义九
其他不等式的解法（学生版）
学习目标
掌握分式不等式、高次不等式、无理不等式、绝对值不等式的解法
教学内容
进门测试
1、设，求的取值范围．
2、（1）若，求证：．
（2）若，，求证：．
（3）若，求证：．
（4）若，，求证：．
精讲精练
知识点一、分式不等式
【知识梳理】
像这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式
解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为：
分式不等式要正确运用以下同解原理．
【例题精讲】
例1、解不等式
例2、解不等式
例3、
解关于x的不等式
例4、k为何值时，下式恒成立：
【巩固练习】
1．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
2．已知关于的不等式的解集为，
求关于的不等式的解集．
3．若，、、为常数，求关于的不等式的解集．
知识点二、高次不等式
【知识梳理】
象这样，只含有一个未知数，并且未知数次数高于两次的不等式称为高次不等式．
研究的解．此不等式的左端是关于x的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程得的四个解分别为1，-1，
2，3．然后将
x的取值分成5段，使得四个因式x-1，x+1，x-2，x-3的积为负的范围就是所求的解集.
列表：
范围
各因式符号
x<-1
-112x>3
因
式x+1-++++x-1--+++x-2---++x-3----+积
(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)+-+-+
借助于数轴并根据积的符号法则表示为下图.
+
+
+
-1
-
1
2
-
3
x
由图可知：原不等式的解集为（2，3）∪（-1，1）.
此方法为“数轴标根法”
也可以叫“串线法”．高次不等式常常用“数轴标根法”来解．其步骤是：
①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积（未知数系数一定为正数）
②把各因式的根标在数轴上
③用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透）
④看图象写出解集．
【例题精讲】
例1、解不等式
(x－1)
(x－2)
(x－3)＜0
例2、解不等式
例3、解不等式
例4、解不等式：≤0.
【巩固练习】
1．解不等式．
2．解不等式．
知识点三、无理不等式
【知识梳理】
象这样，只含有一个未知数，并且根号中含未知数的不等式，称为无理不等式．
解无理不等式
，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：
【例题精讲】
例1、解不等式
例2、解不等式
例3、解不等式
例4、解不等式
【巩固练习】
1．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．解不等式．
3．解不等式．
知识点四、绝对值不等式
【知识梳理】
1、含有绝对值不等式有以下两种基本形式：
（1）
（
）
（2）
（）
2、解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法：
（1）定义法；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；
（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；
（4）图象法或数形结合法
【例题精讲】
例1、解不等式|x2－5x+5|＜1.
例2?
解关于的不等式
例3?
解不等式
．
解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．　?
例4?
解不等式
例5、某段城铁线路上依次有A
B
C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整
从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差
（I）分别写出列车在B
C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围
【巩固练习】
1．解不等式．
2．已知，，且，求实数的取值范围．
3．求不等式的解集．
4．求不等式的解集．
5．（1）对任意实数，恒成立，求的取值范围．
（2）对任意实数，恒成立，求的取值范围．
当堂检测
1、解不等式
2、若不等式的解集为{x|－33、若m>n>0，求关于x的不等式的解集．
4、解不等式
5、解不等式
6、解不等式．
7、满足的的集合为；满足的的集合为．
（1）若，求的取值范围．
（2）若，求的取值范围．
（3）若为仅含一个元素的集合，求的值．
8、解不等式.
9、不等式.
10、求不等式的解集
11、不等式的解集是
12、对于任意，不等式恒成立，求m的取值范围．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义九
其他不等式的解法（解析版）
学习目标
掌握分式不等式、高次不等式、无理不等式、绝对值不等式的解法
教学内容
进门测试
建议5min
1、设，求的取值范围．
2、（1）若，求证：．
（2）若，，求证：．
（3）若，求证：．
（4）若，，求证：．
答案：
解：因为，，
所以
+
又，所以
解：（1）原不等式．
（2）原不等式．
（3）原不等式．
（4）原不等式．
精讲精练
建议70min
知识点一、分式不等式
【知识梳理】
像这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式
解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为：
分式不等式要正确运用以下同解原理．
【例题精讲】
例1、解不等式
解：原不等式等价于
或
∴原不等式的解为：
例2、解不等式
解：移项，通分得，∴．
转化为，∴
则所求不等式的解集为
例3、
解关于x的不等式
解:
原不等式等价于
由于恒成立，∴
当a>0时，；当a=0时，；当a<0时，
例4、k为何值时，下式恒成立：
解：原不等式可化为：，
而，∴原不等式等价于，
由得1【巩固练习】
1．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
2．已知关于的不等式的解集为，
求关于的不等式的解集．
解：．
3．若，、、为常数，求关于的不等式的解集．
解：
可得：．
知识点二、高次不等式
【知识梳理】
象这样，只含有一个未知数，并且未知数次数高于两次的不等式称为高次不等式．
研究的解．此不等式的左端是关于x的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程得的四个解分别为1，-1，
2，3．然后将
x的取值分成5段，使得四个因式x-1，x+1，x-2，x-3的积为负的范围就是所求的解集.
列表：
范围
各因式符号
x<-1
-112x>3
因
式x+1-++++x-1--+++x-2---++x-3----+积
(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)+-+-+
借助于数轴并根据积的符号法则表示为下图.
+
+
+
-1
-
1
2
-
3
x
由图可知：原不等式的解集为（2，3）∪（-1，1）.
此方法为“数轴标根法”
也可以叫“串线法”．高次不等式常常用“数轴标根法”来解．其步骤是：
①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积（未知数系数一定为正数）
②把各因式的根标在数轴上
③用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透）
④看图象写出解集．
【例题精讲】
例1、解不等式（x－1）(x－2)(x－3)＜0
解：令(x－1)（x－2）(x－3)=0
可得零点x=1或2或3，将数轴分成四部分，借助于数轴可得：
所求不等式解集为{x|x＜1或2＜x＜3
例2、解不等式
解：原不等式化为
,∴原不等式的解为
例3、解不等式
解：∵恒成立,∴原不等式等价于
即-1例4、解不等式：≤0.
解：原不等式等价于≤0或x=-1.
标根：
+
+
+
-1
0
-
2
3
-
5
x
解集为[0，2]∪（3，5）∪{-1}.
【巩固练习】
1．解不等式．
解：．
2．解不等式．
解：．
知识点三、无理不等式
【知识梳理】
象这样，只含有一个未知数，并且根号中含未知数的不等式，称为无理不等式．
解无理不等式
，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：
【例题精讲】
例1、解不等式
解：∵根式有意义
∴必须有：
又有
∵
原不等式可化为，两边平方得：
解之：
∴
例2、解不等式
解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
Ⅰ：
Ⅱ：
解Ⅰ：
解Ⅱ：
∴原不等式的解集为
例3、解不等式
解：原不等式等价于
例4、解不等式
解
：要使不等式有意义必须：
原不等式可变形为
因为两边均为非负
∴
即
∵x+1≥0
∴不等式的解为2x+1≥0
即
【巩固练习】
1．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1）．（2）．（3）．（4）．
2．解不等式．
解：移项平方再平方可得：．
3．解不等式．
解：分类讨论，然后两边平方可得：．
知识点四、绝对值不等式
【知识梳理】
1、含有绝对值不等式有以下两种基本形式：
（1）
（
）
（2）
（）
2、解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法：
（1）定义法；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；
（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；
（4）图象法或数形结合法
【例题精讲】
例1、解不等式|x2－5x+5|＜1.
解法一：利用不等式|x|＜a
(a＞0)的解集是﹛x|－a＜x＜a＝和整体的思想|f(x)|<1-1因此，这个不等式可化为
(
①
②
)
，
解不等式①得解集
﹛x|1＜x＜4﹜解不等式②得解集
﹛x|x＜2或x＞3﹜
∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{x|1解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：
利用“数轴标根法”
∴原不等式的解集是{x|1例2?解关于的不等式
解：若
，即
，则
恒不成立，此时原不等式无解；
　　
若
，即
，则
，所以
　　综上，当
时，原不等式的解集为
；当
时，原不等式解集为
．
例3?
解不等式．
解法一?　由代数式
，
知，－2，1把实数集分为三个部分：
，
，
．
　当
时，原不等式变为
，即；
　　当
时，原不等式变为
，即
；
　　当
时，原不等式变为
，即
．
　　综上，知原不等式的解集为
．
解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．　?
不等式
的几何意义是表示数轴上与
及b（1）两点距离之和小于4的点．而a，b两点距离为3，因此线段ab上每一点到a，b的距离之和都等于3．如下图，要找到与a，b的距离
之和为4的点，问题就迎刃而解了．
解法二?
如上图，要找到与a，b距离之和为4的点，只需由点b向右移动个单位，这时距离之和
增加1个单位，即移到点．或由点a向左移动
个单位，即移到点
．
可以看出，数轴上点
向左的点或者
向右的点到a，b两点的距离之和均小于4．
所以，原不等式的解集为．
例4?
解不等式
解法一
原不等式等价于
（ⅰ）
或
（ⅱ）
　解（ⅰ），得
，或
．
　解（ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为
．
解法二?
原不等式等价于
　（ⅰ）　
，或（ⅱ）
．
　　解（ⅰ），得?
，或?
．　　解（ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为
．
比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：
若
，则
等价于
，或
．
例5、某段城铁线路上依次有A
B
C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整
从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差
（I）分别写出列车在B
C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围
解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是
和
（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
（
）
当时，（
）式变形为解得
当时，（
）式变形为解得
当时，（
）式变形为,
解得
综上所述，的取值范围是[39，]
【巩固练习】
1．解不等式．
解：一切实数．
2．已知，，且，求实数的取值范围．
解：，．
3．求不等式的解集．
解：分类讨论或由几何性质可得：．
4．求不等式的解集．
解：分类讨论或由几何性质可得：．
5．（1）对任意实数，恒成立，求的取值范围．
（2）对任意实数，恒成立，求的取值范围．
解：（1）由几何意义可知，，则．
（2）由几何意义可知，，．
当堂检测
建议15min
1、解不等式
2、若不等式的解集为{x|－33、若m>n>0，求关于x的不等式的解集．
4、解不等式
5、解不等式
6、解不等式．
7、满足的的集合为；满足的的集合为．
（1）若，求的取值范围．
（2）若，求的取值范围．
（3）若为仅含一个元素的集合，求的值．
8、解不等式.
9、不等式.
10、求不等式的解集
11、不等式的解集是
12、对于任意，不等式恒成立，求m的取值范围．
答案：
1、，
2、，
3、
4、，
5、
6、．
7、，．
（1）．（2）．（3）．
8、，
9、，10、
11、，12、
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

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