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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义一
方程的进阶——韦达定理（解析版）
学习目标
1、掌握一元二次方程根的判别式与韦达定理
2、掌握一元二次方程与二次函数图像之间的关系
教学内容
进门测试建议5min
1、已知，求的值．
2、设，求的值．
3、化简：．
4、计算：．
5、分解因式．
解：1、18；2、2702；3、；4、；5、．
课堂导入建议10min
韦达
弗朗索瓦·韦达（Fran?ois
Viète,1540~1603），法国杰出数学家。年轻时当过律师，后来致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”），在欧洲被尊称为“代数学之父”。在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权。
精讲精练
建议70min
知识点一、根与系数的关系——韦达定理
【知识梳理】
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，
则有；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝，x1·x2＝．也被称为韦达定理．
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，
一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x轴两交点间的距离)，
为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根，
则，，
．
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根，则(其中Δ=b2-4ac)．
【例题精讲】
例1.
已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出的值．设方程的另一个根为，则，．由，得．所以，方程的另一个根为．的值为-7．
例2.
若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x-3=0的两根．
(1)
求|x1-x2|的值；
(2)
求的值；
(3)
求＋的值．
【解析】分析：分别变形为可以利用x1＋x2和x1x2来表示的形式．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x-3=0的两根，，．
(1)∵|x1-x2|2=＋-2x1x2=(x1＋x2)2-4x1x2，．
(2)．
(3)＋=(x1＋x2)(-x1x2＋)=(x1＋x2)[(x1＋x2)2-3x1x2]．
例3.
已知、是方程x2＋2x-5=0的两个实数根，则2＋＋2的值为_______．
【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题．
解：由于、是方程x2＋2x-5=0的实数根，∴2＋2-5=0，=-5，∴2＋2=5
∴2＋＋2=2＋2＋
=5-5=0
评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)
恰当组合；(2)
根据根的定义降次；(3)
构造对称式．
【巩固练习】
1.
和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，
则实数的值范围是
．
【答案】
2.
关于x的方程的两根为x1，x2满足|
x1－x2|＝2，求实数m的值．
【答案】3
3.
已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为
．
【答案】0
知识点二、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况
【例题精讲】
例1.
已知关于x的方程x2＋2(m-2)x＋m2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积
大21，求m的值．
【解析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2=-2(m-2)，x1·x2=m2＋4．
∵＋-x1·x2=21，∴(x1＋x2)2-3x1·x2=21，即[-2(m-2)]2-3(m2＋4)=21，
化简，得m2-16m-17=0，解得m=-1，或m=17．
当m=-1时，方程为x2-6x＋5=0，Δ>0，满足题意；
当m=17时，方程为x2＋30x＋293=0，Δ=302-4×1×293<0，不合题意，舍去．
综上，m=
-1．
评析：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例2.已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？
若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
【解析】利用判别式和根与系数关系共同解决本题．
解：由Δ=-32m＋16≥0得．x1＋x2=-m＋1，．
∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论：
(1)若x1>0，x2>0，则，解得m<1且m≠0．且m≠0．
(2)若x1<0，x2<0，则，解得m>1，与相矛盾．
综上所述：当且m≠0时，方程的两根同号．
例3.
一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围．
【答案】
【巩固练习】
1.
已知关于的一元二次方程有两个负数根，求实数的取值范围．
【答案】m>7
2.
若关于的方程的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数的取值范围．
【答案】
知识点三、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等
【例题精讲】
例1.
设a,b是相异的两实数，满足的值．
【答案】
例2.
，求的值．
【答案】【解析】由题可知、是方程的两根，由韦达定理可得
【巩固练习】
1.
如果、都是质数，且，，求的值
【答案】或2【解析】可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，
可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．
2.
设实数a,b分别满足且的值．
【答案】-5
3.
△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是
．
【答案】【解析】提示：根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到．
当堂检测建议15min
1．设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，
则、的值分别等于
．
【答案】-1，-3
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程
的两根，那么AB边上的中线长是
．
【答案】
3．方程恰有两个正整数根、，则的值是
．
【答案】
4．两个质数、恰好是整系数方程x2-99x+m=0的两个根，则的值是
．
【答案】
5．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是
．
【答案】
6．已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是
．
【答案】6
7．已知、是方程的两个根，则的值为
．
【答案】5
8．已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为
．
【解析】解：设x1，x2是方程的两个根，则①x1+x2=-p，②x1x2=q，∵②-①得：p+q=28，
∴x1x2-x1-x2=28，∴x1x2-x1-x2+1=28+1，∴x1(x2-1)-(x2-1)=29，即(x1-1)(x2-1)=29，
∵两根均为正整数，∴x1-1=1，x2-1=29或x1-1=29，x2-1=1，
∴方程的两个根是：x1=2，x2=30．或x1=30，x2=2．故答案为：x1=30，x2=2．
9．已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程有实数根；
（2）
若此方程的两个实数根、满足：，求的值．
【答案】(1)；(2)
0．
建议15min
温故知新
建议5min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，今天我们学习了韦达定理，大家尝试一下借助韦达定理解下面这道题：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？
若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义一
方程的进阶——韦达定理（学生版）
学习目标
1、掌握一元二次方程根的判别式与韦达定理
2、掌握一元二次方程与二次函数图像之间的关系
教学内容
进门测试
1、已知，求的值．
2、设，求的值．
3、化简：．
4、计算：．
5、分解因式．
课堂导入
韦达
弗朗索瓦·韦达（Fran?ois
Viète,1540~1603），法国杰出数学家。年轻时当过律师，后来致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”），在欧洲被尊称为“代数学之父”。在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权。
精讲精练
知识点一、根与系数的关系——韦达定理
【知识梳理】
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，
则有；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝，x1·x2＝．也被称为韦达定理．
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，
一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x轴两交点间的距离)，
为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根，
则，，
．
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根，则(其中Δ=b2-4ac)．
【例题精讲】
例1.
已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
例2.
若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x-3=0的两根．
(1)
求|x1-x2|的值；
(2)
求的值；
(3)
求＋的值．
例3.
已知、是方程x2＋2x-5=0的两个实数根，则2＋＋2的值为_______．
【巩固练习】
1.
和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，
则实数的值范围是
．
2.
关于x的方程的两根为x1，x2满足|
x1－x2|＝2，求实数m的值．
3.
已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为
．
知识点二、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等
【例题精讲】
例1.
设a,b是相异的两实数，满足的值．
例2.
，求的值．
【巩固练习】
1.
如果、都是质数，且，，求的值
2.
设实数a,b分别满足且的值．
3.
△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是
．
当堂检测
1．设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，
则、的值分别等于
．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程
的两根，那么AB边上的中线长是
．
3．方程恰有两个正整数根、，则的值是
．
4．两个质数、恰好是整系数方程x2-99x+m=0的两个根，则的值是
．
5．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是
．
6．已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是
．
7．已知、是方程的两个根，则的值为
．
8．已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为
．
9．已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根、满足：，求的值．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，今天我们学习了韦达定理，大家尝试一下借助韦达定理解下面这道题：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？
若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．

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