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2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义十
基本不等式（解析版）
学习目标
理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的
求最大值或最小值的问题
教学内容
进门测试
建议5min
1、解不等式
2、解不等式
3、解不等式．
4、解不等式.
5、对于任意，不等式恒成立，求m的取值范围．
答案：1、，
2、，
3、．
4、，
5、
课堂导入
建议10min
柯西不等式的证明
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauch-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步
　
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解．可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用．
柯西（Cauchy）不等式
等号当且仅当或时成立（k为常数，）
现将它的证明介绍如下：
证明：构造二次函数
=
恒成立
即
当且仅当
即时等号成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛。
精讲精练
建议70min
【知识梳理】
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长a,b，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有．
定理1（基本不等式1）：
一般的，如果
证明：因为
当
所以，，即
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b
，可得，
通常我们把上式写作：
在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.
归纳：
1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，
等号当且仅当a＝b时成立.
2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，
等号当且仅当a＝b时成立.
定理2（基本不等式2）：
如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵
∵
∴上式≥0
从而
指出：这里
∵就不能保证
推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
由此推出：
定理3（基本不等式3）
≥
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念．
如果
则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数．
定理3的语言表述为：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【例题精讲】
例1
已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
证明：∵x，y都是正数
∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0
x2＋y2≥2＞0
x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
说明：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
例2、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？
（2）段长为36
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）
m．
由，可得，
．等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，
其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9
m时菜园面积最大为81
m2
解法二：设矩形菜园的长为x
m.,宽为y
m
,则2(x+y)=36,
x+y=18,矩形菜园的面积为xy
m．
由，可得，当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立．
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m
例3、求证
证明（1）∵都是正数
∴，
（2）∵都是正数
(
a
d
l
)
例4、一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，
与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．
（Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
解：（Ⅰ）由题可设安全负荷为正常数），则翻转90?后，安全负荷．
因为，所以，当时，安全负荷变大；当时，安全负荷变小．
（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，则，即．
∵
枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大
∴
当且仅当，即取，时，u最大，
即安全负荷最大．
【巩固练习】
1．已知，，都是正数，求证：．
解：；；，三个不等式的相乘，即可得证．
2．设，，，且，求的最小值．
解：由不等式：可知：
，
．
，当且仅当时等号成立．
3．（1）若，求的最小值．
（2）若，求的最大值．
解：（1）12．（2）．
4．（1）若，求的取值范围．
（2）若，求的取值范围．
（3）若，求的最大值．
（4）若，求的最小值．
（5）若，，且，求的最小值．
（6）若，，且，求的最小值．
（7）求和的最小值．
（8）若，，且，求的取值范围．
解：（1）或．（2）或．
（3）．（4）．（5）．（6）．
（7）和．（8）．
5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解：元，当池底为的正方形时取等号．
当堂检测
建议15min
1、某房屋开发公司用万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高．已知建筑层楼房时，每平方米建筑费用为元，公司打算造一幢高于层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？
解：层．
2、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）试规定的值，并解释其实际意义．
（2）试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质．
（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
解：（1）表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．
（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：，．
在上单调递减，且．
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为，
则．
于是，当时，；当时，；当时，；
当时，清洗两次后残留的农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；
当时，一次清洗残留的农药量较少．
3、设，，．
（1）证明：介于，之间．
（2），中哪一个更接近于．
（3）根据以上事实，设计一种求近似值的方案，并说明理由．
解：（1），则介于与之间．
（2），比更接近于．
（3）依次令，则．
而．故，，，…，依次接近于，且．
4、设常数，，试探求不等式对任意成立的充要条件．
解：（由于）
，又由
（当时等式成立），得到，故所求的充要条件为．
5、已知集合（其中为正常数）．
（1）设，求的取值范围．
（2）求证：当时，不等式对任意恒成立．
（3）求使不等式对任意恒成立的的范围．
解：（1），当且仅当时等号成立，故的取值范围．
（2）．
由，又，，则在上是增函数，
所以，
即当时不等式成立．
（3）记，则，
即求使对恒成立的的范围．
由（2）知，要使对任意恒成立，必有，
因此，则函数在上递减，在上递增，要使函数在上恒有，必有，即，得．
6、已知，，，且满足，求的最小值．
解：因为
，
所以
．当时等号成立．故的最小值为．
温故知新
建议15min
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义十
基本不等式（学生版）
学习目标
理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的
求最大值或最小值的问题
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1、解不等式
2、解不等式
3、解不等式．
4、解不等式.
5、对于任意，不等式恒成立，求m的取值范围．
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柯西不等式的证明
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauch-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步
　
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解．可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用．
柯西（Cauchy）不等式
等号当且仅当或时成立（k为常数，）
现将它的证明介绍如下：
证明：构造二次函数
=
恒成立
即
当且仅当
即时等号成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛。
精讲精练
【知识梳理】
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长a,b，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有．
定理1（基本不等式1）：
一般的，如果
证明：因为
当
所以，，即
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b
，可得，
通常我们把上式写作：
在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.
归纳：
1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，
等号当且仅当a＝b时成立.
2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，
等号当且仅当a＝b时成立.
定理2（基本不等式2）：
如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵
∵
∴上式≥0
从而
指出：这里
∵就不能保证
推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
由此推出：
定理3（基本不等式3）
≥
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念．
如果
则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数．
定理3的语言表述为：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【例题精讲】
例1
已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
例2、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？
（2）段长为36
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
菜园的面积最大，最大面积是多少?
例3、求证
(
a
d
l
)例4、一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，
与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．
（Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
【巩固练习】
1．已知，，都是正数，求证：．
2．设，，，且，求的最小值．
3．（1）若，求的最小值．
（2）若，求的最大值．
4．（1）若，求的取值范围．
（2）若，求的取值范围．
（3）若，求的最大值．
（4）若，求的最小值．
（5）若，，且，求的最小值．
（6）若，，且，求的最小值．
（7）求和的最小值．
（8）若，，且，求的取值范围．
5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
当堂检测
1、某房屋开发公司用万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高．已知建筑层楼房时，每平方米建筑费用为元，公司打算造一幢高于层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？
2、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）试规定的值，并解释其实际意义．
（2）试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质．
（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
3、设，，．
（1）证明：介于，之间．
（2），中哪一个更接近于．
（3）根据以上事实，设计一种求近似值的方案，并说明理由．
4、设常数，，试探求不等式对任意成立的充要条件．
5、已知集合（其中为正常数）．
（1）设，求的取值范围．
（2）求证：当时，不等式对任意恒成立．
（3）求使不等式对任意恒成立的的范围．
6、已知，，，且满足，求的最小值．
温故知新
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

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