资源简介

§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(重点)2．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率．(难点、重点)
1．通过直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养．
1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？
2．已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？
3．如何刻画直线的方向？
1．直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．
规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0．
范围：倾斜角α的取值范围为．
2．直线的斜率
(1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)．
(2)直线的斜率表示直线的倾斜程度．
3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
(1)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan
α，图象如图所示．
当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．
(2)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tan
α(其中x1≠x2)．
若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝．
任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？
[提示]　直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴；当倾斜角不是时，直线的斜率存在且唯一．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任一直线都有方向向量，且不唯一．
(　　)
(2)若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率k＝．
(　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan
α．
(　　)
(4)当
x1≠x2时，过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
B　[由题意可知，直线l的斜率k＝tan
60°＝．]
3．经过点(0，2)和点(3，0)的直线的斜率是________．
－　[斜率k＝＝－．]
4．如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又直线l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
[解]　设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，
所以k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0．
由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；
由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；
由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°．
类型1　直线的倾斜角
【例1】　求图中各直线的倾斜角．
(1)　　　　　　(2)　　　　　　(3)
[解]　(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，
∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°．
(1)　　　　　　(2)　　　　　　(3)
(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．
(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°．
求直线的倾斜角的两点注意
?1?直线倾斜角的取值范围是.
?2?当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为.
[跟进训练]
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α．如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α
＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
D　[根据题意，画出图形，通过图形可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D．]
类型2　直线的斜率
【例2】　(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；
(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率；
(3)已知直线l的一个方向向量是，求该直线的斜率．
(4)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率．
[解]　(1)直线的斜率分别为k1＝tan
60°＝，k2＝tan
135°＝－1．
(2)直线AB的斜率kAB＝＝．
(3)直线l的斜率k＝＝．
(4)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝．
求直线斜率的三种方法
?1?已知直线的倾斜角α?α≠90°?时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan
α求得；
?2?已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2时，直线斜率不存在；
?3?已知直线的方向向量v＝(m，n)时，可利用k＝来求，但要注意，当m＝0时，直线的斜率不存在.
[跟进训练]
2．经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于，则m的值是(　　)
A．4　　B．3　　C．1或3　　D．1或4
B　[由＝，解得m＝3．]
类型3　直线的倾斜角、斜率的应用
　三点共线问题
【例3】　如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值．
[解]　kAB＝＝，kAC＝＝，
∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kAC，即＝，
∴m＝－6．
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.
[跟进训练]
3．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
[证明]　∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2．
∴kAB＝kAC．
∵直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，
∴直线AB与直线AC为同一直线．
故A，B，C三点共线．
　数形结合法求倾斜角或斜率范围
【例4】　直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．
[解]　如图所示．
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，
∴45°≤α≤120°．
直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”.
[跟进训练]
4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
[解]　如图所示．
当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
又kAB＝＝，kAC＝＝，
所以直线AD的斜率的变化范围是．
1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．
2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立．
3．斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用．
1．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　)
A．45°　　　B．135°　　　C．45°或135°　　D．－45°
B　[作出直线l，如图所示，由图易知，应选B．
]
2．下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是(　　)
①　　　②　　　③　　　　④
A．①　　B．①②　　C．①③　　D．②④
A　[由倾斜角的定义可得．]
3．已知过两点A(m2＋2，m2－3)，
B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为________．
－2　[∵
＝tan
45°＝1，
∴m2＋3m＋2＝0，
解得
m＝－1或－2．
但当m＝－1时，A、B重合，舍去．
∴m＝－2．]
4．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
(3，0)或(0，－3)　[设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)．
由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3．
故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)．]
5．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°且α≠90°，求直线l的斜率的取值范围．
[解]　设直线l的斜率为k．
当45°≤α＜90°时，k＝tan
α∈[1，＋∞)；
当90°＜α≤135°时，k＝tan
α∈(－∞，－1]．
所以斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
PAGE1.3　直线的方程
第1课时　直线方程的点斜式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握直线方程的点斜式和斜截式．(重点)2．了解直线在y轴上截距的概念．(易混点)3．了解斜截式与一次函数的关系．(难点)
1．通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习，培养数学抽象与直观想象素养．2．借助求直线的点斜式与斜截式方程，培养数学运算素养．
1．如果一个方程称为直线l的方程，那么它需要满足什么条件？
2．若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？
1．直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．
2．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
适用范围
斜率存在
3．直线l在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距．
(1)斜截式方程应用的前提是什么？
(2)纵截距一定是距离吗？
[提示]　(1)直线的斜率存在．
(2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝2x－3在y轴上截距为－3．
(　　)
(2)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3)．
(　　)
(3)直线的点斜式方程也可写成＝k．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．已知直线过点(1，2)，斜率为－2，则该直线的点斜式方程为(　　)
A．y－1＝2(x－2)　　
B．y－2＝2(x－1)
C．y－1＝－2(x－2)
D．y－2＝－2(x－1)
D　[由点斜式方程，得y－2＝－2(x－1)．]
3．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－3，则直线l的斜截式方程为________．
y＝2x－3　[由斜截式方程，得y＝2x－3．]
4．根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2．
[解]　(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5．
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan
150°＝－．
由斜截式可得方程为y＝－x－2．
类型1　直线方程的点斜式
【例1】　根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；
(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．
[解]　(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1．如图(1)所示．
(2)k＝tan
45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x．如图(2)所示．
(1)　　　　　　　(2)
(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3．如图(3)所示．
(4)k＝＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4．如图(4)所示．
(3)　　　　　　　(4)
求直线方程的点斜式的步骤
[跟进训练]
1．写出下列直线的点斜式方程．
(1)过点(－1，2)，倾斜角为135°；
(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7．
[解]　(1)y－2＝－(x＋1)．
(2)y＝－1．
(3)y＝(x＋7)．
类型2　直线方程的斜截式
【例2】　求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过点P(0，1)，斜率为2；
(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
[解]　(1)y＝2x＋1．
(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)，
故k＝＝，∴直线l的方程为y＝x＋1．
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan
60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3；
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3．
直线方程的斜截式求解策略
?1?直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.
?2?直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件.
?3?利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.
[跟进训练]
2．(1)直线y＝ax－的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
B　[由题意知，斜率与在y轴上的截距异号，故选B．]
(2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1，1)，求m的值．
[解]　由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m．
∵直线l过点(1，1)，
将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，
∴m＝－1．
类型3　直线过定点问题
【例3】　求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1恒过定点．
[证明]　法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)．
法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0．
令
解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现了代数方法处理等式恒成立问题的基本思想.
[跟进训练]
3．已知直线l：y＝ax＋，求证：不论a为何值，直线l总经过第二象限．
[证明]　由已知得，直线l的点斜式方程为y－＝a．
故直线l的斜率为a，且过定点，又点在第二象限，
因此结论成立．
直线方程的点斜式和斜截式的关系与使用条件
1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2　　
B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3
D．y－2＝x＋3
A　[∵直线l的斜率k＝tan
45°＝1，∴直线l的方程为y＋3＝x－2．]
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0
D．k＜0，b＜0
B　[∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0．
]
3．已知直线y＝kx＋1恒过点(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点．]
4．已知直线l的倾斜角为45°，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为________．
y＝x＋3　[因为直线l的倾斜角为45°，故其斜率为1，由斜截式方程，得y＝x＋3．]
5．根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线方程的斜截式．
[解]　(1)易知所求直线的斜率k＝－1，在y轴上的截距b＝－2，
由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2．
(2)所求直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，
根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式为y＝－x＋4．
PAGE第2课时　直线方程的两点式　直线方程的一般式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点)2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系．(难点)
1．通过直线方程形式之间的相互转化，培养逻辑推理素养．2．借助求直线方程，提升数学运算素养与直观想象．
1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？
2．若直线l过A(a，0)，B(0，b)，(ab≠0)，如何求l的直线方程？
1．直线方程的两点式与截距式
两点式
截距式
条件
P1(x1，y1)和P2(x2，y2)
其中x1≠x2，y1≠y2
在x轴上截距a，在y轴上截距b其中ab≠0
图形
方程
＝
＋＝1
适用范围
不表示垂直于坐标轴的直线
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
1．直线的方程一定能用两点式表示吗？
[提示]　当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示．
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系
①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
(2)直线方程的一般式的定义
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线方程的一般式，简称一般式．
2．在直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，为什么规定A，B不同时为0?
[提示]　当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的不是直线．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．
(　　)
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
(　　)
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．
(　　)
(4)直线的一般式方程可以转化为斜截式方程．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30°　　　B．60°　　　C．150°　　　D．120°
C　[直线斜率k＝－，所以直线的倾斜角为150°，故选C．]
3．直线l过点(－1，2)和点(2，5)，则直线l的方程为________．
x－y＋3＝0　[由直线的两点式方程可得：＝，整理得x－y＋3＝0．]
4．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
[解]　(1)当直线的斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线的斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0．
综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0．
类型1　直线方程的两点式和截距式
　直线方程的两点式
【例1】　已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．
[解]　　A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2．
由直线方程的两点式可得，AC的方程为＝，即x－y－3＝0．
同理可由直线方程的两点式得，直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0．
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0．
?1?当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.
?2?一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标.
[跟进训练]
1．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
－2　[由直线方程的两点式，得＝，即＝．
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2．
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2．]
　直线方程的截距式
【例2】　求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[解]　法一：当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0．
法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线方程的点斜式为y－2＝k(x－5)，
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－．
根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1．
当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0．
求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：
?1?根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b?a≠0，b≠0?的直线方程常设为＋＝1.
?2?根据已知条件，寻找关于参数的方程?组?，解方程?组?，得参数的值.
[跟进训练]
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　)
A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．无数条
B　[设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2，3)代入，得k＝，
∴直线l的方程为3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，
把P(2，3)代入，得a＝5，
∴直线l的方程为x＋y＝5．
综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．]
类型2　直线方程的一般式
【例3】　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________．
(1)－　(2)－2　[(1)令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3．
当m＝3时，m2－2m－3＝0，不合题意，舍去．
∴m＝－．
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠，
由直线l化为斜截式方程，得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．]
直线方程的几种形式的转化
[跟进训练]
3．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解]　(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0．
(2)由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0．
(3)由截距式方程，得＋＝1，即2x－y－3＝0．
(4)由两点式方程，得＝，即x＋y－1＝0．
类型3　直线方程的综合应用
【例4】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
[解]　(1)证明：法一：将直线方程变形为y＝ax＋，
当a>0时，直线一定经过第一象限；
当a＝0时，y＝，直线显然经过第一象限；
当a<0时，>0，因此直线经过第一象限．
综上可知，不论a为何值时，直线5ax－5y－a＋3＝0一定经过第一象限．
法二：将直线方程变形为y－＝a，它表示经过点A，斜率为a的直线．
∵点A在第一象限，
∴直线l必经过第一象限．
(2)如图，直线OA的斜率k＝＝3．
∵直线l不经过第二象限，
∴直线l的斜率k≥3，
∴a≥3，即a的取值范围为{a|a≥3}．
含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标.
[跟进训练]
4．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－a＋2＝0．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[解]　(1)直线l的方程(a＋1)x＋y－a＋2＝0，
可化为y＝(－a－1)x＋a－2．
当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0；
当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，
∴直线方程为x＋y＋2＝0．
故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．
(2)直线l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使直线l不经过第二象限，
则解得a≤－1．
故所求实数a的取值范围为(－∞，－1]．
1．截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：
(1)移项，By＝－Ax－C；
(2)当B≠0时，得y＝－x－．
3．在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线．
1．在x轴、y轴上截距分别是2，－3的直线的方程为(　　)
A．3x＋2y＋6＝0　　
B．3x＋2y＋1＝0
C．3x－2y－6＝0
D．3x－2y＋1＝0
C　[由题意可得，直线的截距式方程为＋＝1，即3x－2y－6＝0．]
2．直线＋＝1，化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4
B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0
D．4x＋3y＝12
C　[直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0．]
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件是________．
A≠0且B≠0　[由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0．]
4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0．证明：l经过定点．
[证明]　直线方程变形为(x＋2)k－(y－1)＝0，
当x＝－2，y＝1时方程对任意实数k恒成立，
故直线过定点(－2，1)．
PAGE1.4　两条直线的平行与垂直
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握两条直线平行与垂直的条件．(重点)2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点)3．能利用两条直线平行或垂直进行实际应用．(难点)
1．通过两条直线平行或垂直的应用，培养数学运算与直观想象素养．2．通过判断两直线的平行与垂直，培养逻辑推理素养．
1．直线y＝x＋1与y＝x－1的斜率有什么关系？在y轴上的截距有什么关系？它们有什么位置关系？
2．直线y＝－x与y＝x的斜率有什么关系？它们有什么位置关系？
3．直线x＝a和x＝b，有什么位置关系？
4．直线x＝a和y＝b，有什么位置关系？
1．两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2．则对应关系如下：
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
1．(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
[提示]　(1)若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．
(2)一定有l1∥l2．
因为k1＝k2，所以tan
α1＝tan
α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2．
2．两条直线垂直
类型
斜率存在
其中一条斜率不存在
前提条件
|α2－α1|＝90°
α1＝0°，α2＝90°
对应关系
l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1斜率为0，l2斜率不存在
图示
2．(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？
(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是－1吗？
[提示]　(1)设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°．
(2)不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．
(　　)
(2)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．
(　　)
(3)如果两条直线的斜率之积等于－1，那么这两条直线一定垂直．
(　　)
(4)如果两条直线垂直，那么这两条直线的斜率之积一定等于－1．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定
C　[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1．]
3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
0　[∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，
∴m＝0．]
4．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；
(2)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．
[解]　kAB＝．
(1)由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或－3．
(2)令＝＝－2，解得m＝或－1．
类型1　两直线平行、垂直的判定
【例1】　(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．
(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的(　　)
A．充分必要条件　
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[思路点拨]　
(1)利用k1·k2＝－1解题．(2)先求出两直线平行的充要条件，再判断．
(1)－1　(2)C　[(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1．
(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－＝－且－≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．]
判断两条不重合直线是否平行的步骤
[跟进训练]
1．已知直线l1经过点A(2，a)，B(a－1，3)，直线l2经过点C(1，2)，D(－3，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
[解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若a＝3，则k1不存在，k2＝－，则l1与l2既不平行，也不垂直．
因此a≠3，k1＝＝－1，k2＝＝－．
(1)∵l1∥l2，∴k1＝k2．∴－1＝－．∴a＝4．
(2)∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1．
∴(－1)＝－1．∴a＝－4．
类型2　利用两直线平行、垂直求直线方程
【例2】　已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[思路点拨]　利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．
[解]　法一：∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，
∴kl＝－．
(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，
∵kl＝k，∴k＝－．
∴l1的方程为y－2＝－(x－2)，即3x＋4y－14＝0．
(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，
∵kl·k＝－1，∴(－)·k＝－1，∴k＝．
∴l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0．
法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，
∵点(2，2)在直线上，
∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14．
∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0．
(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，
∵点(2，2)在直线上，
∴4×2－3×2＋λ＝0，
∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0．
1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解，或利用待定系数法求解．
2．直线方程的常用设法
①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)；
②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；
③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；
④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0．
[跟进训练]
2．本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程．
[解]　(1)设x－m＝0，则m＝2，∴所求直线方程为x－2＝0；
(2)易知l：x＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k＝0，
所以，所求直线方程为y＝2，即y－2＝0．
类型3　两条直线平行与垂直的综合应用
　求直线方程中参数的值
【例3】　已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0．
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
[解]　(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝．∴若这两条直线垂直，则k＝．
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5．经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5．
1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
[跟进训练]
3．若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2．
[解]　将直线l1化成斜截式方程y＝－x＋，
当a＝0时，l2的方程为x＝－1，
l1的方程为y＝，此时l1⊥l2；
当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－．
若即a＝2时，l1∥l2；
若－＝－1，即＝－1，矛盾，
故l1与l2在a≠0时不垂直．
综上，当a＝2时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2．
　求点的坐标
【例4】　已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
(1)
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．
(2)
设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝．
由AD∥BC?kAD＝kBC，即＝－3；　①
由AB⊥BC?kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1．　②
解①②，得故A．
综上所述，A点坐标为(1，－1)或．
此类题目应用数形结合法求解较为方便、简单.
[跟进训练]
4．已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标．
[解]　设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC．
所以解得
所以第四个顶点D的坐标为(2，3)．
1．两直线平行或垂直的判定方法
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行或重合
积为－1
垂直
2．与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．
3．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2；已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行　　　　
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
D　[设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1．]
2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
A　[∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝，排除C、D．又直线过点(1，0)，排除B，故选A．]
3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2　　　B．－3　　　C．2或－3　　　D．－2或－3
C　[直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．]
4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________．
－　[∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k2＝＝－．]
5．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
[解]　由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－．
所以kAB＝kCD，由图可知，AB与CD不重合，
所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
PAGE1.5　两条直线的交点坐标
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2．理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点)
1．通过求两条相交直线的交点坐标，提升数学运算素养．2．通过方程组的解和两直线交点坐标的对应关系的学习，培养逻辑推理和直观想象素养．
1．已知l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？
2．若方程组
有唯一解，则P(x0，y0)是直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点吗？其逆命题成立吗？
1．两条直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组
的解是
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解
交点个数
直线的位置关系
无解
0个
平行
有唯一解
1个
相交
有无数组解
无数个
重合
方程组
有唯一一组解的充要条件是什么？
[提示]　A1B2－A2B1≠0．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．
(　　)
(2)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解．
(　　)
(3)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋2y＋7＝0　　
B．3x＋2y－7＝0
C．－3x＋2y－7＝0
D．－3x＋2y＋7＝0
B　[由题知，与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0，故选B．]
3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
a≠2　[由题意得6a－12≠0，即a≠2．]
4．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
[解]　∵l2不过原点，
∴可设直线l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，
将原点(0，0)代入上式解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0．
类型1　两直线的交点问题
【例1】　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．
[解]　(1)解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标是．
(2)
①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2．
(3)①×2得6x＋8y－10＝0，
因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合．
方程组解的个数与两直线的位置关系.
一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想.
[跟进训练]
1．(1)已知两条直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是(　　)
A．－4　　　B．3　　　C．3或－4　　　D．±4
(2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
(1)C　(2)　[(1)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点为，又该点在直线y＝－x上，所以＝－，解得k＝3或－4．
(2)直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点为，又该点位于第四象限，则，解得－类型2　由交点求直线方程
【例2】　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
[思路点拨]　思路一求出两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解；思路二利用过两直线的交点的直线系方程求解．
[解]　法一：由方程组，得两直线交点坐标为，
∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝3，
∴根据点斜式有y－＝3．
即所求直线方程为15x－5y＋2＝0．
法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0．
∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝．
从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0．
1．本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键．
2．经过两直线交点的直线系方程
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2．
[跟进训练]
2．将本例中的条件改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．”
[解]　法一：解方程组，得
即交点P(－5，2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－，
∴所求直线的斜率是．
故所求直线的方程是y－2＝(x＋5)，
即3x－2y＋19＝0．
法二：设所求直线方程是3x－2y＋m＝0．
解方程组，得交点P(－5，2)，把点P(－5，2)坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19．故所求直线方程为3x－2y＋19＝0．
法三：设所求直线的方程为(2x＋y＋8)＋λ(x＋y＋3)＝0，即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0(
)，∵所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直，∴－＝，解得λ＝－，把λ＝－代入(
)式得所求直线方程为3x－2y＋19＝0．
类型3　直线过定点问题
[探究问题]
1．不论k取什么值，直线y＝kx＋2恒过定点，试求出此定点．
[提示]　由直线的方程可知当x＝0时，y＝2，此时与k的取值无关．故直线恒过点(0，2)．
2．不论m取什么值，直线y－2＝m(x＋3)恒过定点．求出此定点．
[提示]　由直线方程可知当x＝－3时，y＝2，与m的取值无关，故直线恒过定点(－3，2)．
【例3】　求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
[思路点拨]　
法一：→
→
法二：→→
法三：→→
[证明]　法一：令k＝1，得到直线l1：x＝1，
令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0，
由，得l1与l2交点M(1，－1)，
把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，
∴无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1)．
法二：由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝(x－1)(k≠1)，
因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)；
当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1)．
综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．
法三：方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为k(x－y－2)＋(x＋y)＝0，
由，
可得点．
显然，使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，
∴无论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．
1．法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直线系．
2．处理动直线过定点问题的常用的方法：
(1)将直线方程化为点斜式；
(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；
(3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则由此方程组求得定点坐标．
[跟进训练]
3．求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
[证明]　法一：取m＝1，直线为y＝－4；
再取m＝，直线为x＝9．
两直线的交点为P(9，－4)．
将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5．
故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．
法二：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数m都成立，
则必有解得
∴m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4)．
类型4　对称问题
【例4】　△ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4，2)，B(3，1)，则点C的坐标为________．
(2，4)　[把A，B两点的坐标分别代入y＝2x知，点A，B都不在直线y＝2x上，
∴直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线．
设点A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为A′(a，b)，
则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，
则解得即A′(4，－2)．
∵直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线，
∴A′在直线BC上，
∴直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0．
由解得
∴点C的坐标为(2，4)．]
有关对称问题的两种主要类型
?1?中心对称：
①点P?x，y?关于O?a，b?的对称点P′?x′，y′?满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
?2?轴对称：
①点A?a，b?关于直线Ax＋By＋C＝0?B≠0?的对称点A′?m，n?，,则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
[跟进训练]
4．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)
A．3x－y＋5＝0
B．2x－y＋3＝0
C．2x－y＋5＝0
D．x＋2y－5＝0
C　[A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为2x－y＋5＝0．故选C．]
1．解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过求解定点．
2．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
1．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是(　　)
A．y＝－x＋5　　
B．3x＋2y＝0
C．
＋＝1
D．
＋＝1
C　[kl＝－，又C所对应直线的斜率k＝－，∴kl≠k，从而两直线相交．]
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3，2)
B．(2，3)
C．(－2，－3)
D．(－3，－2)
B　[解方程组得
故两条直线的交点坐标为(2，3)．]
3．已知直线l：y＝3x＋3，则直线l关于点A(3，2)对称的直线方程为(　　)
A．3x－y－17＝0
B．3x＋y－17＝0
C．3x－y＋17＝0
D．3x＋y＋17＝0
A　[设直线l关于点A(3，2)对称的直线为l′，则l∥l′，可设l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)．
取直线l上一点E(0，3)，
该点关于点A的对称点为E′(6，1)，
则E′在直线l′上，所以1＝18＋b，即b＝－17．
所以直线l′的方程为3x－y－17＝0．]
4．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________．
2x＋y－4＝0　[∵直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0，4)．
又直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y－4＝－2(x－0)，即2x＋y－4＝0．]
5．直线l经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)，求直线l的方程．
[解]　由方程组，
得两直线的交点为(－1，2)，
其直线斜率为k＝＝－，
直线方程为y＋1＝－(x－1)，即直线l的方程为3x＋2y－1＝0．
PAGE1.6　平面直角坐标系中的距离公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握两点间距离公式并会应用．(重点)2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3．初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)
通过两点间距离、点到直线距离以及两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
1．如何用向量的方法求平面上两点间的距离？
2．如何用向量的方法求平面上点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d?
1．两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
②当P1P2∥x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|．
③当P1P2∥y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|．
1．如何推导平面上的两点间的距离公式？
[提示]　因为两点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以＝，＝，即|P1P2|＝．
2．点到直线的距离公式
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
2．在使用点到直线距离公式时，对直线方程有什么要求？
[提示]　要求直线的方程应化为一般式．
3．两条平行直线间的距离公式
(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A、B不全为0，且C1≠C2)．
3．在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？
[提示]　两条平行直线的方程都是一般式，且x，
y对应的系数应分别相等．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点P(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝y0－b．
(　　)
(2)点P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|x0－a|．
(　　)
(3)直线x＋y＝m与直线2x＋2y＝n的距离为．
(　　)
(4)＋
≥．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．已知A(3，6)，B(2，4)，则A，B两点间的距离为(　　)
A．5　　　　B．　　　　C．3　　　　D．
B　[由平面内两点间的距离公式可知，|AB|＝＝．]
3．直线l1：3x＋4y－7＝0和直线l2：3x＋4y－2＝0的距离为________．
1　[d＝＝1．]
4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，求m的值．
[解]　由＝2，得m＝－6或m＝2，
又∵m<0，∴m＝－6．
类型1　两点间的距离公式
【例1】　已知△ABC三顶点坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解]　法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
∴kAC·kAB＝－1，
∴AC⊥AB．
又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|．
∴△ABC是等腰直角三角形．
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理．
[跟进训练]
1．已知A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点C，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，并求|CA|的值．
[解]　设所求的点为C(x，0)，于是有
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
由|AC|＝|BC|得，x＝1，
所以，所求点为C(1，0)，且|CA|＝＝2．
类型2　点到直线(或平行直线间)的距离公式
【例2】　
若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．
[思路点拨]　
由点到直线的距离公式列出等式求a．
－2或4或6　[由题意，得＝，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6．
检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6．]
1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式．
2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．
[跟进训练]
2．若直线m被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)
①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°
①⑤　[如图，由两平行线间距离可得d＝＝，
故m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故选①⑤．]
类型3　解析法证明几何问题
【例3】　已知四边形ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．
[思路点拨]　建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简即可．
[证明]　分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，
则D(0，b)，又A(0，0)．
则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2．
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．
1．解析法证明几何问题的步骤：
(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；
(2)进行有关的代数运算；
(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．
[跟进训练]
3．已知AO是△ABC边BC的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
[证明]　以O点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系(如图)，设B(－a，0)，C(a，0)，A(x，y)，
由两点间距离公式得，|AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2，
|AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2，
|AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成|P1P2|＝．
2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路
几何问题代数问题
　　↑　　　
　↓
几何结论―→代数结论
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．
D　[d＝＝．]
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　)
A．9　　B．11或－9　　C．－11　　D．9或－11
B　[两平行线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11．]
3．已知直线l1与l2的夹角平分线为y＝x，若l1的方程为ax＋by＋c＝0，那么l2的方程是________．
bx＋ay＋c＝0　[在直线l2上任取一点，则它关于直线y＝x的对称点为，易知它在直线l2上，所以ay＋bx＋c＝0，即bx＋ay＋c＝0．]
4．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为________．
3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0　[设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝＝1，∴c＝3或c＝－7，
即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0．]
5．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4，3)，C(3，－2)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
[解]　(1)由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0．
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝＝，
故S△ABC＝××＝3．
PAGE§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点)2．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点)3．掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点)
1．通过圆的标准方程定义的学习，培养数学抽象素养．2．通过求圆的标准方程及标准方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在平面几何中，圆是如何定义的？
2．集合所表示的几何图形是什么？
3．如何用方程表示：以坐标原点为圆心，半径为1的圆？
1．圆的标准方程
圆心为，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2．
确定圆的几何要素是什么？
[提示]　确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小．
2．圆x2＋y2＝r2的简单几何性质
(1)范围
≤r，≤r．
(2)对称性
圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点．
3．点与圆的位置关系
圆的标准方程为C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，设所给点为点P，＝d，则
判断方法
几何法
代数法
d(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?点P在圆C内
d＝r?点P在圆C上
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点P在圆C上
d>r?点P在圆C外
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?点P在圆C外
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．
(　　)
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．
(　　)
(3)圆(x－1)2＋y2＝1的范围是0≤x≤2且－1≤y≤1．
(　　)
(4)若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝13的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　　
B．(－2，3)
C．(－2，－3)　　
D．(2，－3)
D　[由(x－2)2＋(y＋3)2＝13知圆心坐标为(2，－3)．]
3．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是___．
(7，＋∞)　[∵(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，∴9＋()2＞16，∴a＞7．]
4．一圆过坐标原点O和点P(1，3)，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的标准方程．
[解]　∵圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2．
∵点O(0，0)和P(1，3)在圆上，
∴
得
∴圆的标准方程是＋＝．
类型1　求圆的标准方程
【例1】　求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．
[解]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知
解此方程组，得
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x．
则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由
得
即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
确定圆的标准方程的方法：
一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；
二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.
[跟进训练]
1．求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；
[解]　　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8．
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
类型2　点与圆的位置关系
【例2】　判断点P(2，0)与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置关系．
[思路点拨]　解答本题可以利用点P(2，0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小．
[解]　法一：∵P(2，0)与圆心(2，－1)的距离d＝＝1，圆的半径r＝，
∴d＜r，
∴点P在圆的内部．
法二：∵点P(2，0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．
判断点P?x0，y0?与圆?x－a?2＋?y－b?2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
①当?x0－a?2＋?y0－b?2＜r2时，点在圆内；
②当?x0－a?2＋?y0－b?2＝r2时，点在圆上；
③当?x0－a?2＋?y0－b?2＞r2时，点在圆外.
[跟进训练]
2．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是(　　)
A．M在C外　
B．M在C上
C．M在C内
D．不确定与a的取值有关
(2)若点P(－2，4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________．
(1)A　(2)(0，5)　[(1)因为圆心C(1，0)，|MC|＝＝≥＞1，故选A．
(2)由于点P(－2，4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5．又方程表示圆，所以有m＞0．
因此实数m的取值范围是0＜m＜5．]
类型3　与圆有关的最值问题
[探究问题]
1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？
[提示]　先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．
2．若点P(x，
y)是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一点，如何求点P到直线x－y＝0的距离的最大值和最小值？
[提示]　可先求出圆心(2，－2)到直线x－y＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．
【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值．
[思路点拨]　首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．
[解]　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．
因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，
所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝．
因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和．
1．本例条件不变，试求的取值范围．
[解]　设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x，
y)与点(0，
0)连线的斜率，
由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤．
即的取值范围是．
2．本例条件不变，试求x＋y的最值．
[解]　令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．
当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1．
3．本例条件不变，试求的最值．
[解]　表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到直线x＋2y－6＝0的距离，
又圆心C(－1，0)到直线x＋2y－6＝0的距离d＝＝，
所以，其最大值为＋，最小值为－．
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
?1?形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
?2?形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
?3?形如
?x－a?2＋?y－b?2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
?4?形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题.
1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r．另外依据题意运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题．
1．圆心(－1，1)，半径为的圆的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2　
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝
A　[根据圆的标准方程易知A正确．]
2．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1，2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－3)2＝1
B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋y2＝1　　
D．(x＋2)2＋y2＝1
B　[设圆心(0，b)，则x2＋(y－b)2＝1．又圆过点(－1，2)，代入得b＝2，
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．]
3．圆心为(1，1)且过点(4，5)的圆的标准方程是________．
(x－1)2＋(y－1)2＝25　[半径r＝＝5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝25．]
4．已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．
[解]　法一：直线AB的斜率为k＝＝－，
可知AB垂直平分线m的斜率为2．
AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，y＝＝2，
因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．
又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，
联立方程得
所以圆心坐标为C(2，4)．又半径r＝|CA|＝，
则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10．
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，
即
解得
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10．
PAGE2.2　圆的一般方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解圆的一般式方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点)
1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养．2．通过圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在什么条件下，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆？
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，圆心与半径分别是什么？
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
(2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径
圆C的圆心为，半径长为．
(3)圆的方程在代数结构上的特征
对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，
①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0；
②不含xy这样的项，即C＝0．
已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0，则点M(x0，y0)与圆C的位置关系如何？为什么？
[提示]　点M在圆C内，理由如下：
由x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0得，＋<，
所以<，即点M(x0，y0)到圆心C的距离小于圆的半径，
所以，点M在圆C内．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆．
(　　)
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0．
(　　)
(3)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4FA＞0．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　　　
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
D　[由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13．故圆心坐标为(2，－3)．]
3．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________．
点P在圆C外　[将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外．]
4．已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，D，判断点A，B，C，D是否共圆．
[解]　设过点A、B、C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
即过点A、B、C的圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0．
又D的坐标满足圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0的方程，
所以点A、B、C、D共圆．
类型1　圆的一般方程的概念
【例1】　(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．R　　　　　　
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(1)B　(2)(－2，－4)　5　[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．
(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5．
当a＝2时，方程不表示圆．]
当且仅当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，其圆心为点，半径为.
[跟进训练]
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0．
[解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径长的圆．
类型2　求圆的一般方程
【例2】　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5．
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．
待定系数法求圆的方程的解题策
?1?如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
?2?如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
[跟进训练]
2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为．
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，
∴·＝－1，即E－3D－36＝0．①
∵(－2，－4)，(8，6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0，②
8D＋6E＋F＋100＝0．③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0．
类型3　与圆有关的轨迹方程问题
[探究问题]
已知动点M到点A(4，0)的距离等于点M到点B(1，0)的距离的2倍．
1．求点M的轨迹方程？
[提示]　设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝14．
2．点M的轨迹是什么？
[提示]　点M的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆．
3．求△MAB的面积的最大值．
[提示]　因为△MAB的面积为×＝×3≤×2＝3，所以△MAB的面积的最大值为3．
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
求轨迹方程的一般步骤：
?1?建立适当坐标系，设出动点M
的坐标?x，y?；
?2?列出点M
满足条件的集合；
?3?用坐标表示上述条件，列出方程；
?4?将上述方程化简；
?5?证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
[跟进训练]
3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
[解]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴
　
①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9．　
②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36．
∵点C不能在x轴上，∴y≠0．
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．
3．能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)
A．＜m＜1　　　
B．m＞1
C．m＜
D．m＜或m＞1
D　[方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1．]
2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线y＝2x对称，那么(　　)
A．D＝2E　　B．E＝2D　　C．E＋2D＝0　　D．D＝E
B　[若圆关于直线y＝2x对称，则圆心在直线y＝2x上，即－＝2?E＝2D．]
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　)
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
A　[圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，∴圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上．]
4．求经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的方程．
[解]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
因为圆心在x轴上，所以－＝0，即E＝0．
又圆过点A(1，)和B(2，－2)，
所以即解得
故所求圆的方程为x2＋y2－6x＝0．
PAGE2.3　直线与圆的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点)2．会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点)3．会求圆的弦长及切线方程等问题．(重点)
1．通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象素养．2．通过求圆的弦长及切线方程等问题，提升数学运算素养．
1．直线与圆有哪几种位置关系？
2．在平面几何中，直线与圆的位置关系是如何判定的？
3．如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系？
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
判断方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示]　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点．
(　　)
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．
(　　)
(3)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
3．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
x2＋y2＝2　[设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)，由＝a，得a＝．∴x2＋y2＝2．]
4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
[解]　将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，所以，圆心的坐标是(0，－2)，半径长r＝5．
因为直线被圆截得的弦长为4，
所以，弦心距为＝，
设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．
由弦心距为，得＝，解得k＝－或k＝2，
所以，所求直线有两条，它们的方程分别为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．
类型1　直线与圆位置关系的判断
【例1】　已知直线l的方程mx－y－m－1＝0，圆C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线l与圆C：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点．
[解]　法一：将直线代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－法二：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心为C(2，1)，半径r＝2．
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝．
当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－判断直线与圆的位置关系常见的方法：
?1?几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断.
?2?代数法：联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断.
上述方法中，最常用的是几何法.
[跟进训练]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是(　　)
A．相交　
B．相离
C．相交或相切
D．相切
A　[法一：直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而点(－1，0)在圆x2＋y2＝2内，故直线与圆相交，故选A．
法二：因为圆心到直线的距离d＝<＝r，所以直线与圆相交，故选A．
法三：由直线方程与圆的方程消去x得，y2－2ky－1＝0，
所以Δ＝4k2＋4＝8k2＋4>0，
所以直线与圆相交，故选A．]
2．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为________．
x2＋y2－x－y－＝0　[由已知可设所求的圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1，2)代入可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0．]
类型2　直线与圆相切问题
【例2】　(1)过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程是________．
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D．3
(1)x＝2或y＝3　(2)C　[(1)易知点P(2，3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3．
(2)由题意得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝．]
过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种：
?1?几何法：设切线方程为y－y0＝k?x－x0?，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.
?2?代数法：设切线方程为y－y0＝k?x－x0?，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出.
提醒：设直线的方程时，要检验直线x＝x0是否是圆的切线.
[跟进训练]
3．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　)
A．－3或7　　B．－2或8　　C．0或10　　D．1或11
A　[直线y＝2x＋λ沿x轴向左平移1个单位后，所的直线方程为y＝2(x＋1)＋λ，化简得2x－y＋(λ＋2)＝0，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，根据圆心到直线距离等于半径，解得λ＝－3或λ＝7．]
4．求过点M(3，1)，并且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程．
[解]　∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0．
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝．
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0．
∴与圆C相切的直线方程为x＝3或3x－4y－5＝0．
类型3　弦长问题
[探究问题]
已知直线l：y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝r2相交于A，B两点，思考下列问题：
1．若弦AB的长记为l，弦心距为d，试写出l，d，r之间的关系式．
[提示]　l＝2．
2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．试求x1＋x2与x1x2并求弦AB的长．
[提示]　由y＝kx＋b与x2＋y2＝r2消去y得，x2＋2kbx＋b2－r2＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝，
又|AB|＝＝
＝|x1－x2|＝．
所以，|AB|＝．
【例3】　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
[思路点拨]　本题可以利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解；也可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．
[解]　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r＝．
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，弦长l＝2＝，所以截得的弦长为．
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝．
1．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解．
[解]　由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为．
所以圆心到直线的距离d＝＝＝．
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在．
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0．
2．本例若改为“求过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？
[解]　由例题知圆心C(0，1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5．
因为12＋(2－1)2<5，故点M(1，2)在圆内．
则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM＝1，
所以所求直线的斜率为－1，又过点M(1，2)，
所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．
3．本例若改为“已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，求a的值”，又如何求解？
[解]　因为圆的半径是r＝2，圆心坐标是C(3，－)，∠MPN＝，且P在圆C上，
所以∠MCN＝，
则|MN|＝2．又点C到直线l的距离d＝＝，＋d2＝r2，
所以()2＋＝4，
解得a＝4或8．
求弦长的两种方法
?1?由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法.
?2?联立直线与圆的方程，消元得到关于x?或y?的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标?或纵坐标?之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不用.
1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交且过圆心　
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
D　[圆心为(1，－1)，r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，
所以0所以直线与圆相交但不过圆心．]
2．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　)
A．±1　　　B．±　　　C．±　　　D．±
C　[设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0．
又l与圆相切，∴＝1．∴k＝±．]
3．设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相交或相切
C　[圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．]
4．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞)　[圆x2＋(y－1)2＝2的圆心为(0，1)，半径为r＝，圆心(0，1)到直线x＋y－a＝0的距离d＝，依题意，>，解得a<－1或a>3．]
5．求直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长．
[解]　圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25．故圆心为(3，4)，半径r＝5．
又直线方程为2x－y＋3＝0，
所以圆心到直线的距离为d＝＝，
所以弦长为2＝2×＝2＝4．
PAGE2.4　圆与圆的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点)2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系．(重点、难点)
通过圆与圆的位置关系的学习，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养．
1．平面上，两圆有哪几种位置关系？
2．能否用两圆的方程组成的方程组解的个数准确判定两圆的位置关系？
圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝r1－r2
0＜d＜|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
将两个相交圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性？
[提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组有两组实数解，则两圆相交．
(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和且大于两圆的半径之差，则两圆相交．
(　　)
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切　　　B．相交　　　C．外切　　　D．相离
B　[两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________．
1　[将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1．]
4．求以C(4，－3)为圆心且与圆O：x2＋y2＝1相切的圆C的方程．
[解]　设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．
类型1　圆与圆的位置关系的判断
【例1】　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[思路点拨]　利用两圆的半径分别为r1、r2，与两圆的圆心距为d之间的关系求解．
[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5．
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交．
当|＋1|＜5，即34＜k＜50时，两圆外离．
判断两圆的位置关系的两种方法
?1?几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值|r1－r2|，半径之和r1＋r2进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
?2?代数法：将两圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.
[跟进训练]
1．若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有(　　)
A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．4条
C　[如图，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆则两圆外切．由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．]
类型2　两圆相切问题
【例2】　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________．
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________．
[思路点拨]　??
(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169　(2)2或－5　[(1)设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169．
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，
m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5．]
处理两圆相切问题的两个步骤：
?1?定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
?2?转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值?内切时?或两圆半径之和?外切时?.
[跟进训练]
2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解]　已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心为C(1，0)，半径为1．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得
解得
或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．
类型3　两圆相交的问题
【例3】　求过圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0交点的直线方程．
[解]　设两圆的交点坐标分别为A，B，
则A，B的坐标是方程组
的解，
两式相减得x＋y－1＝0．
因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，
所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0．
1．本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？
[解]　由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，
对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，由条件知r2－d2＝1－＝，
所以公共弦长为2×＝．
2．本例条件不变，求经过两圆的交点且圆心在直线x－2y－4＝0上的圆的方程．
[解]　∵圆C2的圆心(1，1)不在直线x－2y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2－1＋λ(x2＋y2－2x－2y＋1)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－2y－4＝0，求得λ＝－．
故所求圆的方程为x2＋y2＋8x＋8y－9＝0．
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　)
A．　
　　B．　　
　C．
　　
　D．5
B　[由题意知，2r＝
＝，r＝．]
2．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)
A．外离　　B．相切　　C．相交　　D．内含
C　[法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，
所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，
则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，
所以两圆相交．
法二：(代数法)联立方程
解得
即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，
所以两圆相交．]
3．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为
(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
A　[由题易知，圆心在直线2x－y－1＝0上，将点(a，1)代入上式可得a＝1，即圆心为(1，1)，半径r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5．]
4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0　[设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0．]
5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
[解]　(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8．
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0．
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或20．
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20．
PAGE

展开更多......

收起↑