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2021年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．8的相反数是（　　）
A．﹣8
B．8
C．﹣
D．±8
2．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　）
A．98.99×106
B．9.899×107
C．9899×104
D．0.09899×108
3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列运算结果为a6的是（　　）
A．a2?a3
B．a12÷a2
C．（a3）2
D．（a3）2
5．下列计算正确的是（　　）
A．＝±4
B．（﹣2）0＝1
C．+＝
D．＝3
6．为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82
B．中位数是84
C．方差是84
D．平均数是85
7．如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）
A．7.5米
B．8米
C．9米
D．10米
9．下列命题是真命题的是（　　）
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B．正六边形的每一个内角为120°
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．对角线相等的四边形是矩形
10．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．下列说法正确的是（　　）
A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是
D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人
12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是
　
　．
14．计算：＝　
　．
15．因式分解：3a2﹣9ab＝　
　．
16．底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为
　
　.（结果保留π）
17．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树
　
　棵．
18．如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O—A—D—O，点Q的运动路线为O—C—B—O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A—D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为
　
　厘米．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）
19．计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
20．如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．
21．“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．
（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是
　
　度；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．
22．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
23．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到下表中数据．
双层部分长度x（cm）
2
8
14
20
单层部分长度y（cm）
148
136
124
112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．
24．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．
25．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
26．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）……都是“雁点”．
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021年衡阳市初中学业水平考试试卷解析
数学
选择题(本大题共12小题,每小是3分,满分36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的
12.【解答】解:如图1,
∵PM∥CN
∴∠PMN=∠MNC
∴折叠,∴∠MNC=∠PMM
∴∠PMN=∠PNM
∴PM=PN
∴MC=MP
∴PM=CN
MP∥CN
∴四边形CNPM为平行四边形
∴CN=NP
∴平行四边形CNPM为菱形
故①正确
当点P与A重合时,如图2所示
设BN=x,则AN=MC=8-x
在
RIAABN中,AB2+BN2=AN
即42+x2=(8-x
解得x=3
∴CN=5,AC=√AB2+BC=45
∴CQ=AC=25
又∵四边形CNPM为菱形,
AC⊥MN,且MN=2QN
∴ON=√CN2-CO2=
∴MN=2QN=25
故②错误
当MN过点D时,如图3所示:
此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S=元S形cMm=元×4×4=4,
当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S
5×4=5
∴4≤S≤5,故③正确
故答案为:①③
C
B
C
图1
图2
图3
填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.)
13
14
15
15
17
18
≥3
3(a-3b)
12丌
500
2√3+
17.【解答】
解:设原计划每天植树x棵,则实际每天植树(1+25%)x
60006000
1.25x
400
经检验,x=400是原方程的解
∴实际每天植树400×1.25=50棵
故答案为:500
18.【解答】
由图可知,AC=2√3,BD=2(厘米),
∵四边形ABCD为菱形
AC=√3,OB=BD=1(厘米)
2
∴∠ACB=30°
P在AD上时,Q在BC上,PQ距离最短时,PQ连线过O点且垂直于CD
此时,P、Q两点运动路程之和S=2(OC+CQ)
C=0C:csCB=5x5=3(厘米)
∴S=2|√5+=2+3(厘米
故答案为(25+3
三,解谷题(本大题共8小题,19-20每题6分,21-24题每题8分,25题10分,26题12分,满分66
分.解谷题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.解:原式
(x+2y)+x+4y2+x2-
=x2+4x+4y2+2x2-4y2-4xy
=3x
20.证明:点AB,C,DE在一条直线上
AC∥DF,BC∥EF
∠A=∠FOE,∠ABC=∠DEF
在△ABC与△DEP中
∠CAB=∠FDE
AB=
DE
∠ABC=∠DEF
△ABC≌△DEF(ASA)
21.【解答】解:(1)3600×(1-55%-20%-7%)=64.8°
故答案为648
(2)500×20%×0.2=20(万元)
(3)用列表法如图
男
男2
女1
女2
男1
舅1舅2
男1女1
男1女2
男2
男1男2
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1
所以,恰好选到一男一女的概率是=二
22.【解答】解:(1)四边形AFHE是正方形,理由如下:
根据旋转:∠AEB=∠AFD=90°,∠EAF=∠DAB=90°
∴四边形AFHE是矩形,
又∵∴AE=AF
∴矩形AFHE是正方形

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