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第六章　平面向量
第一讲　平面向量的概念及线性运算、
平面向量基本定理及坐标运算
考点自测
1.[改编题]给出下列命题:
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
②两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;
③若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同;
④两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;
⑤若向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;
⑥λa=0(λ为实数),则λ必为0.
其中叙述正确的命题的序号是
(　　)
A.①②
B.③④
C.②④
D.⑤⑥
2.[2015新课标全国Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则
(　　)
A.=
-
B.
C.
D.
3.[2020百校联考]已知A(
-
1,2),B(2,
-
1),若点C满足=0,则点C的坐标为
(　　)
A.(,)
B.(
-
3,3)
C.(3,
-
3)
D.(
-
4,5)
4.[2019全国卷Ⅱ]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a
-
b|=
(　　)
A.
B.2
C.5
D.50
5.[浙江高考]记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则
(　　)
A.min{|a+b|,|a
-
b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a
-
b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a
-
b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a
-
b|2}≥|a|2+|b|2
6.[2018全国卷Ⅲ]已知向量a=(1,2),b=(2,
-
2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　.?
7.[2015新课标全国Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　.?
8.[2015北京高考]在△ABC中,点M,N满足=2,.若=x+y,则x=　　　;y=　　　.?
知识回顾
考法1
平面向量的线性运算
命题角度1　平面向量的线性运算
1[2018全国卷Ⅰ]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
【解题思路】
把已知向量和所求向量转化到三角形中→根据向量的运算法则求解
【解析】解法一　作出示意图如图6
-
1
-
1所示,
×()+()=.
解法二　××()=.
【答案】A
命题角度2　平面向量线性运算中的参数问题
2
[2019辽宁丹东质量测试]在△ABC中,=2,=0,若=x+y,则
A.y=3x
B.x=3y
C.y=
-
3x
D.x=
-
3y
因为=2,所以D是BC的中点.
(判断点D的位置)
因为=0,所以E是AD的中点.
所以×()=.
因此x=,y=
-
,所以x=
-
3y.
【答案】D
【解后反思】　
求解该题时易出现的问题是不能根据“=2”确定点D的位置,从而导致错解,实质上该条件可化为(),即中线的向量表示,从而得到D是BC的中点.
变式练习
1.如图6
-
1
-
2,在直角梯形ABCD中,,=2,且=r+s,则2r+3s=
(　　)
图6-1-2
A.1
B.2
C.3
D.4
考法2
共线向量定理、平面向量基本定理的应用
命题角度1　共线向量定理的应用
3设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若=2a
-
b,=3a+b,=a
-
3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
【解析】(1)∵
=(3a+b)
-
(2a
-
b)=a+2b,
=(a
-
3b)
-
(3a+b)=
-
2a
-
4b=
-
2,
∴与共线,且有公共端点B.∴A,B,C三点共线.
(2)∵
8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b).
∴(8
-
λk)a+(k
-
2λ)b=0.
∵
a与b不共线,
∴?8=2λ2?λ=±2.∴k=2λ=±4.
∴实数k的值为4或
-
4.
4在△ABC中,=2,=3,连接BF
,CE,且BF
∩CE=M,=x+y,则x
-
y=　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
-
B.
C.
-
D.
【解题思路】画出图形后,会发现B,M,F
三点共线,C,M,E三点共线.因此,本题可运用三点共线的向量表示中系数的关系进行求解.
【解析】因为=2,所以,
所以=x+yx+y.
由B,M,F
三点共线得x+y=1　①.
(三点共线,可得线性表示中的系数和为1)
因为=3,所以,所以=x+y=xy.
由C,M,E三点共线得x+y=1　②.
(三点共线,可得线性表示中的系数和为1)
联立①②,解得所以x
-
y==
-
.
【答案】C
【解后反思】
求解本题的关键在于两次根据“三点共线”得向量线性表示中的系数之和为1,前提是x+y,=xy,两个等式中的三个向量的起点相同,终点共线.若等式变为tx+y,则有x+y=t,其实质是等号右边两个向量的系数和等于等号左边向量的系数.要注意“解方程组思想”在解题中的灵活应用.
命题角度2　平面向量基本定理的应用
5如图6
-
1
-
3,在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ=　　　　　　　　　　　　　　　　
图6-1-3
A.
B.
-
C.2
D.
-
2
【解题思路】首先根据向量共线建立与的线性关系,然后根据三角形中线的向量表示,用,表示,最后结合已知得出对应关系,从而求得结果.该题还可根据“D是边BC上任意一点”找特殊点进行求解.
【解析】解法一　(直接法)因为点D在边BC上,
所以存在t∈R,使得=t=t()(0≤t≤1).
(共线向量定理)
因为M是线段AD的中点,
所以()=(
-
+t
-
t)=
-
(t+1)t.
(三角形中线的向量表示)
又=λ+μ,所以λ=
-
(t+1),μ=t,
(同一基底下向量分解的唯一性)
所以λ+μ=
-
.
解法二　(特殊点法)由题意知,D为边BC上任意一点,不妨令点D与点B重合,
则M就是线段AB的中点.
(找特殊点)
显然此时=
-
+0.
又=λ+μ,且与不共线,所以λ=
-
,μ=0,
(同一基底下向量分解的唯一性)
故λ+μ=
-
.
【答案】B
【解后反思】
本题中的解法二基于一个前提:D为边BC上任意一点.故可根据图形选取一些特殊点来验证选项,当然也可让点D与点C重合,则M为AC的中点,此时()=[+()]==
-
,根据已知得λ=
-
1,μ=,故λ+μ=
-
.此外,本题对△ABC没有特殊的条件限制,所以也可以找特殊三角形——直角三角形,并利用坐标法求解.
变式练习
2.(1)[2019河南新乡三模]设向量e1,e2是平面内的一组基底,若向量a=
-
3e1
-
e2与b=e1
-
λe2共线,则λ=
(　　)
A.
B.
-
C.
-
3
D.3
(2)如图6
-
1
-
4,在△ABC中,点P在BC上,且满足=2,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N.若=m,=n(m>0,n>0),则m+2n的最小值为
(　　)
图6-1-4
A.3
B.4
C.
D.
考法3
平面向量的坐标运算及应用
命题角度1　平面向量的坐标运算
6给定平面内三个向量a=(3,2),b=(
-
1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(2)若(a+kc)∥(2b
-
a),求实数k的值;
(3)若d满足(d
-
c)∥(a+b),且|d
-
c|=,求d的坐标.
【解题思路】(1)直接利用向量的坐标运算得到关于m,n的方程组;(2)根据向量平行的坐标表示,得到关于k的方程;(3)根据给出的两个条件,利用坐标运算可得到关于向量d的坐标的方程组.解以上方程(组)即可.
【解析】(1)由题意得(3,2)=m(
-
1,2)+n(4,1),
所以解得
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b
-
a=(
-
5,2),
由题意得2×(3+4k)
-
(
-
5)×(2+k)=0,解得k=
-
.
(3)设d=(x,y),则d
-
c=(x
-
4,y
-
1),
又a+b=(2,4),|d
-
c|=,
所以解得或
所以d的坐标为(3,
-
1)或(5,3).
命题角度2　坐标法在向量中的应用
7[2017全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.2
C.
D.2
【解题思路】根据已知画出图形,通过建立平面直角坐标系,运用坐标法求解.
【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图6-
1
-
5所示的平面直角坐标系,
图6-1-5
则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2).可得直线BD的方程为2x+y
-
2=0,点C到直线BD的距离d=,
所以圆C的方程为(x
-
1)2+(y
-
2)2=.
因为点P在圆C上,
所以可设P(1+cos
θ,2+sin
θ).
易知=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ),
所以所以λ+μ=2+cos
θ+sin
θ=2+sin(θ+φ)≤3,其中φ满足tan
φ=2.所以λ+μ的最大值为3.
【答案】A
【解后反思】　
本题先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出λ+μ的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了用坐标法解决问题的优势.
变式练习
3.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图6
-
1
-
6所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值为　　　　.?
图6-1-6
第一讲　《平面向量的概念及线性运算、
平面向量基本定理及坐标运算》测评
基础篇
1.[2020惠州市一调]正方形ABCD中，点E，F
分别是DC，BC的中点，那么
=
(　　)
A.
B.
C.
D.
2.[2019洛阳市第二次联考]在△ABC中，点D在线段BC上，且
=2，点O在线段CD上(与点C，D不重合).若
=x+(1-x)，则x的取值范围是
(　　)
A.(0，1)
B.(，1)
C.(0，)
D.(，)
3.[2019辽宁丹东模拟]设平面向量a，b不共线，若
=a+5b，
=-2a+8b，
=3(a-b)，则
(　　)
A.A，B，D三点共线
B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线
D.A，C，D三点共线
4.[2019江西红色七校联考]已知平面向量a
=(-1，2)，b
=(2，m)，且a∥b，则3a+2b
=
(　　)
A.(
-
1，2)
B.(1，2)
C.(1，
-
2)
D.(
-
1，
-
2)
5.[2019广东省广州市高三测试]若向量a
=(cos
θ，sin
θ)，b
=(1，-1)，则|2a-b|的取值范围是
(　　)
A.[2，2+]
B.[0，]
C.[0，2]
D.[1，3]
6.[2020唐山市摸底考试]已知|a|
=5，b
=(2，1)，且a∥b，则向量a的坐标是　　　　　.?
7.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知向量a
=(1，-1)，与a方向相同的单位向量为　　　　.?
8.[2019安徽示范高中高三测试]如图6-1-1，在平行四边形ABCD中，E，F
分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF
，交于点G.若
=λ+μ(λ，μ∈R)，则
=　　　　.?
图6-1-1
提升篇
9.[多选题]设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是
(　　)
A.若，则点M是边BC的中点
B.若=2，则点M在边BC的延长线上
C.若=
-
，则点M是△ABC的重心
D.若=x+y，且x+y=，则△MBC的面积是△ABC面积的
10.已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中·
=0，存在实数λ，μ满足+λ+μ
=0，则实数λ，μ的关系为
(　　)
A.λ2+μ2
=1
B.
=1
C.λμ
=1
D.λ+μ
=1
11.在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则
=
(　　)
A.
B.
C.
D.
12.[2020四省八校二检]已知a
=(1，x)，b
=(y，1)，x>0，y>0.若a∥b，则的最大值为
(　　)
A.
B.1
C.
D.2
13.[2020百校联考]如图6-1-2所示的平面直角坐标系中，网格中小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足c
=xa+yb，且(ka-b)·c
=0，则
=　　　　.?
图6-1-2
14.[2019江淮十校联考]已知在△ABC中，||
=||，
=(1，2)，若边AB的中点D的坐标为(3，1)，点C的坐标为(t，2)，则t
=　　　　.?
15.[2019河南模拟]在△ABC中，∠A
=，O为平面内一点，且||
=||
=||，M为劣弧BC上一动点，且
=p+q，则
p+q的取值范围为　　　　.?
参考答案与解析
考点自测
1.C　对于①，当a=0时，不正确；
对于②，根据平行向量和相等向量的定义可知正确；
对于③，当a+b=0时，a+b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同，故③不正确；
对于④，由相等向量的定义可知，④正确；
对于⑤，若向量与向量是共线向量，由共线向量的定义可知，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故⑤不正确；
对于⑥，当a=0时，不论λ为何值，λa=0，故⑥不正确.故选C.
2.A　由题意得=
-
，故选A.
3.D　设C(x，y)，由=0得，即(x+1，y
-
2)=(
-
3，3)，所以解得所以点C的坐标为(
-
4，5)，故选D.
4.A　依题意得a
-
b=(
-
1，1)，|a
-
b|=，因此选A.
5.D　对于min{|a+b|，|a
-
b|}与min{|a|，|b|}的比较，相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A，B均错.而|a+b|，|a
-
b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a+b|2，|a
-
b|2}≥|a|2+|b|2，故选D.
6.　由题意得2a+b=(4，2)，因为c=(1，λ)，且c∥(2a+b)，所以1×2=4λ，即λ=.
7.　由于λa+b与a+2b平行，所以存在唯一实数μ，使得λa+b=μ(a+2b)，即(λ
-
μ)a+(1
-
2μ)b=0.
因为向量a，b不平行，所以λ
-
μ=0，1
-
2μ=0，解得λ=μ=.
8.　
-
　由题中条件得()==x+y，所以x=，y=
-
.
变式练习
1.C　解法一　根据图形，由题意可得()=()=()=.
因为=r+s，所以r=，s=，所以2r+3s=1+2=3.
解法二　因为=2，所以=2()，
整理，得()=，以下同解法一.
解法三　如图D
6
-
1
-
1，延长AD，BC交于点P，
图D
6
-
1
-
1
则由得DC∥AB，且AB=4DC.
又=2，所以E为PB的中点，且.
所以()=()=.
以下同解法一.
解法四　如图D
6
-
1
-
2，建立平面直角坐标系xAy，
图D
6
-
1
-
2
依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m>0，h>0.
由=r+s，得(4m，2h)=r(4m，0)+s(3m，3h)，
所以解得
所以2r+3s=1+2=3.
【解后反思】　解法一侧重利用向量加法运算及其几何意义进行分析；解法二的切入点是根据向量等式=2，将向量用向量，线性表示；解法三巧作辅助线，利用向量等式表示的几何意义进行分析；解法四通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算进行求解.
2.(1)B　解法一　因为a与b共线，所以存在唯一实数μ，使得a=μb，即
-
3e1
-
e2=μ(e1
-
λe2).故μ=
-
3，
-
λμ=
-
1，解得λ=
-
.故选B.
解法二　因为向量e1，e2是平面内的一组基底，故由a与b共线可得，，解得λ=
-
.故选B.
【解后反思】　本题中的解法二实质就是类比两向量共线的坐标条件——对应坐标成比例.显然，a与b在e1，e2这组基底下的坐标可以分别表示为(
-
3，
-
1)，(1，
-
λ)，故两个向量共线的条件为.
(2)A　解法一　连接AP，因为=2，所以，
则
=()
=
=.
因为M，P，N三点共线，所以=1，所以m=.
由m>0，n>0，得3n
-
2>0，
所以m+2n=+2n
=
=
=(3n
-
2+)+
≥×2+
=3，
当且仅当3n
-
2=，即n=1时等号成立.
当n=1时，m==1.
所以m+2n的最小值为3.故选A.
解法二　由解法一可得=1，
所以m+2n=(m+2n)()
=
=().
因为m>0，n>0，所以由基本不等式可得()≥×2=3，
当且仅当，即m=n时等号成立.
又=1，所以m=n=1.
所以m+2n的最小值为3.故选A.
3.2　以O为坐标原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图D
6
-
1
-
3所示，
图D
6
-
1
-
3
则A(1，0)，B(
-
，).
设∠AOC=α，α∈[0，]，则C(cos
α，sin
α).
由=x+y，得
所以x=cos
α+sin
α，y=sin
α，
所以x+y=cos
α+sin
α=2sin(α+).
又α∈[0，]，所以当α=时，x+y取得最大值2.
基础篇
1.C　解法一　因为点E是DC的中点，所以.因为点F是BC的中点，所以=
-
.所以，故选C.
解法二　如图D
6
-
1
-
4，连接BD，
图D
6
-
1
-
4
因为点E，F分别是DC，BC的中点，所以()=，故选C.
2.C　解法一　=x+(1
-
x)=x()+，即=x()，∴=x，∴=x.∵=2，∴=3，则0解法二　设=λ，λ∈(，1)，则+λ=(1
-
λ)+λ=x+(1
-
x)，则x=1
-
λ，又λ∈(，1)，∴x∈(0，)，故选C.
3.A　∵=a+5b，=
-
2a+8b，=3(a
-
b)，=(a+5b)+(
-
2a+8b)+3(a
-
b)=2(a+5b)=2，∴与共线，即A，B，D三点共线，故选A.
4.C　因为a∥b，所以
-
1×m=2×2，所以m=
-
4，所以3a+2b=3(
-
1，2)+2(2，
-
4)=(
-
3，6)+(4，
-
8)=(1，
-
2).故选C.
5.A　向量a=(cos
θ，sin
θ)，b=(1，
-
1)，则|2a
-
b|=，而
-
4≤4sin(θ
-
)≤4，所以2
-
≤|2a
-
b|≤2+，即|2a
-
b|的取值范围是[2
-
，2+]，故选A.
6.(2，)或(
-
2，
-
)　因为b=(2，1)，所以|b|=，又|a|=5，a∥b，所以a=b或a=
-
b，所以a的坐标为(2，)或(
-
2，
-
).
7.(，
-
)　与a=(1，
-
1)方向相同的单位向量为(，
-
)，即(，
-
).
8.　由题图可设=x(0提升篇
9.ACD　对于A，由=+，可得-=-，即=，则点M是边BC的中点，A正确；对于B，由=2-，可得-=-，即=，则点M在边CB的延长线上，B错误；对于C，由=--，可得++=0，由重心的性质可知C正确；对于D，由=x+y，且x+y=，可得2=2x+2y，2x+2y=1，设=2，则=2x+2y，2x+2y=1，可知B，C，D三点共线，△MBC的边BC上的高是△ABC的边BC上的高的，所以△MBC的面积是△ABC的面积的，D正确，故选ACD.
10.A　解法一　取特殊点，取C为优弧AB的中点，此时由平面向量基本定理易得λ=μ=，只有选项A符合.故选A.
解法二　依题意得||=||=||=1，
-
=λ+μ，两边同时平方，得1=λ2+μ2.故选A.
11.B　由已知，得点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD=S△ABC，S△ACD=S△ABC，S△BCD=(1
-
)S△ABC=S△ABC，所以.故选B.
12.A　解法一　因为a∥b，所以xy=1，又x>0，y>0，所以y=，所以≤(当且仅当x=，即x=1时取等号)，所以的最大值为，故选A.
解法二　因为a∥b，所以xy=1，又x>0，y>0，所以≤(当且仅当x=y=1时取等号)，所以的最大值为，故选A.
13.　结合图形得a=(1，2)，b=(3，1)，c=(4，4)，由c=xa+yb得解得所以x+y=，由(ka
-
b)·c=0得ka·c
-
b·c=0，即12k
-
16=0，所以k=，所以.
14.1　依题意，得||=||，故△ABC是以AB为底边的等腰三角形，故⊥，所以·=(3
-
t，
-
1)·(1，2)=3
-
t
-
2=0，解得t=1.
15.[1，2]　解法一　因为||=||=||，所以O为△ABC外接圆的圆心，且∠BOC=.以O为坐标原点，建立如图D
6
-
1
-
5所示的平面直角坐标系，
图D6
-
1
-
5
不妨设圆的半径为1，则B(1，0)，C(
-
，)，设M(cos
θ，sin
θ)(0≤θ≤)，则=(1，0)，=(
-
，)，由=p+q，得解得所以p+q=cos
θ+sin
θ=2sin(θ+)，由0≤θ≤，知≤θ+≤，所以当θ+，即θ=时，p+q取得最大值，最大值为2；当θ+或θ+，即θ=0或θ=时，p+q取得最小值，最小值为1.故p+q的取值范围是[1，2].
解法二　因为||=||=||，所以O为△ABC外接圆的圆心，且∠BOC=.不妨设圆的半径为1，则||=||=||=1，=p+q，两边同时平方，得=p2+q2+2pq||·||cos∠BOC，即1=p2+q2+2pq×(
-
)，则1=p2+q2
-
pq=(p+q)2
-
3pq.又由条件知p≥0，q≥0，所以0≤pq≤()2=(p+q)2，所以所以1≤(p+q)2≤4，所以1≤p+q≤2.
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精品试卷·第
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