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§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点)2．掌握椭圆的标准方程及推导过程．(难点)3．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点)
1．通过椭圆、焦点、焦距等概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助求椭圆的标准方程，培养数学运算素养．
将绳子的两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动．
1．当两定点间的距离等于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
2．当两定点间的距离小于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
1．椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]　当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a、b、c的关系
c2＝a2－b2
2．椭圆＋＝1的焦点是在x轴上，还是在y轴上？
[提示]　椭圆＋＝1的焦点在y轴上．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．
(　　)
(2)椭圆＋y2＝1的焦距为2．
(　　)
(3)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2．
(　　)
(4)当m>0，n>0且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
B　[由题意得，椭圆标准方程为x2＋＝1，又焦点在y轴上，所以－1＝12，解得k＝2．]
3．若a＝5，c＝3，则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________．
＋＝1　[∵b2＝a2－c2＝16，∴焦点在y轴上的椭圆标准方程为＋＝1．]
4．求方程4x2＋9y2＝1的焦点坐标．
[解]　方程4x2＋9y2＝1可化为＋＝1，∴a2＝，b2＝，
∴c2＝a2－b2＝－＝，
∴c＝，
∴焦点坐标为，．
类型1　椭圆定义及应用
【例1】　(1)椭圆＋＝1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为(　　)
A．8　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．
(2)已知B、C，且△ABC的周长等于24，则顶点A的轨迹方程为________．
(3)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，则△ABF2的周长为________．
(1)B　(2)＋＝1(y≠0)
(3)4a　[(1)设F′为椭圆的另一焦点，则|AF|＋|AF′|＝2a＝10，∴|AF′|＝8，∵O，B分别为FF′，AF的中点．∴|OB|＝|AF′|＝4．
(2)由已知得，|AB|＋|AC|＝14，由椭圆的定义可知，顶点A的轨迹是椭圆，
又2c＝10，2a＝14，即c＝5，a＝7，
所以b2＝a2－c2＝24．
当点A在直线BC上，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
(3)∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．]
由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：
?1?实现两个焦半径之间的相互转化；
,?2?将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题.
[跟进训练]
1．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，
如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
由于动圆与已知圆相内切，设切点为C．
所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，
所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，
所以|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆．
所以a＝3，c＝2，b＝＝，
所以所求圆心M的轨迹方程为＋＝1．
类型2　求椭圆的标准方程
[探究问题]
1．同一椭圆在不同坐标系下的方程相同吗？
[提示]　不同．
2．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b＞0?
[提示]　令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐，在今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义．
3．椭圆＋＝1和＋＝1(a＞b＞0)有何异同点？
[提示]　因为椭圆标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状、大小，所以椭圆＋＝1和＋＝1(a＞b＞0)的形状、大小相同，但这两个椭圆的位置不同，焦点坐标也不同．
【例2】　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－，)；
(2)经过点P1(，1)，P2(－，－)．
[思路点拨]　(1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－，)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)的形式，再进一步确定A，B．
[解]　(1)依题意知椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得c＝4，所以a2－b2＝16．①
因为点(－，)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1．②
由①②得a2＝20，b2＝4．
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由已知得
，
解得A＝，B＝．
∴所求的椭圆的标准方程为＋＝1．
1．求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，其一般步骤是：
①定位：确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式．
②定量：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组，求出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．
2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的正常数．
[跟进训练]
2．(1)求焦点在y轴上，且经过点(0，2)和(1，0)的椭圆的标准方程．
(2)两个焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)且过，求椭圆的方程．
[解]　(1)椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．又椭圆过点(0，2)和(1，0)，
∴解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由椭圆的定义知，
2a＝＋＝＋＝2，
∴a＝，又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
所以所求标准方程为＋＝1．
类型3　椭圆标准方程的简单应用
【例3】　(1)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
(2)已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0，焦距为4，则k的值为________．
(1)　(2)1或5　[(1)∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程应为＋＝1(a＞b＞0)，∴|m|－1＞5－2m＞0，解得2＜m＜，∴m的取值范围为2＜m＜．
(2)将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1．
∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2．
当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；
当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5．
综上，k＝1或5．]
1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项，y2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上．
2．对于方程＋＝1(m＞0，n＞0)，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆．
[跟进训练]
3．将本例(1)中的方程改为：“＋＝1”，其他不变，则实数m的取值范围为________．
　[∵焦点在y轴上，∴m－1＞5－2m＞0，∴2＜m＜．]
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论．
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　B．直线　　　C．圆　　　D．线段
D　[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段．]
2．已知椭圆＋＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为(　　)
A．4　　B．6　　C．30　　D．
B　[由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6．]
3．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．－9＜m＜25
B．8＜m＜25
C．16＜m＜25
D．m＞8
B　[依题意有解得8＜m＜25，即实数m的取值范围是8＜m＜25．]
4．已知椭圆的焦点在x轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
＋y2＝1　[由已知得，2a＝8，2c＝2，∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
(2)两焦点分别为(－1，0)，(1，0)，且经过点．
[解]　(1)9x2＋5y2＝45可化为＋＝1，故焦点为F1(0，2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．
故所求椭圆方程为＋＝1．
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意知c＝1，2a＝＋，
∴a＝，b＝＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1．
PAGE1.2　椭圆的简单几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点)2．掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点)3．在用代数法研究椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点)
通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算与直观想象素养．
求曲线方程与用曲线方程研究曲线的性质是解析几何的两个基本问题．上一节课我们学习了椭圆方程，椭圆有哪些几何性质呢，如何用椭圆方程研究椭圆的几何性质呢？
已知曲线C的方程为f(x，y)＝0．
1．若f(－x，y)＝0与f(x，y)＝0是同解方程，则曲线C关于什么对称？
2．在椭圆＋＝1(a>b>0)中，x，y的取值范围是什么？
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)
A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c，0)、F2(c，0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝(0＜e＜1)
(1)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？
(2)椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示]　(1)在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
(2)最大距离：a＋c；最小距离：a－c．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a．
(　　)
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越扁．
(　　)
(3)椭圆＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等，但焦点不同．
(　　)
(4)若F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上的动点，则△MF1F2面积的最大值是bc．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知点(x0，y0)在椭圆＋＝1上，则下列点中不一定在椭圆上的点是(　　)
A．(－x0，y0)
B．(x0，－y0)
C．(－x0，－y0)
D．(y0，x0)
D　[由椭圆的对称性可知，选项A，B，C中的点一定在椭圆上．]
3．椭圆＋＝1的离心率为________．
　[a2＝16，b2＝4，∴c2＝12，∴e＝＝＝．]
4．求焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程．
[解]　由题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则2a＝8，2b＝6，即a＝4，b＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1．
类型1　椭圆的几何性质
[探究问题]
1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，到中心O和焦点F1(－c，0)的距离最近和最远的点分别在什么位置？
[提示]　椭圆上，到中心O的距离最近的点是短轴端点B1和B2；到中心O的距离最远的点是长轴端点A1和A2．
点(a，0)，(－a，0)与焦点F1(－c，0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F1的最远距离和最近距离．
2．利用椭圆方程如何判断点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系？
[提示]　点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋＜1；
点P在椭圆外部?＋＞1．
3．椭圆的离心率是如何刻画椭圆的扁平程度的？
[提示]　e的大小决定了椭圆的扁圆程度．
因为a2＝b2＋c2，所以＝，
因此，当e越趋近于1时，越接近于0，椭圆越扁；
当e越趋近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆．
【例1】　(1)椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的(　　)
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
(2)已知椭圆的标准方程为＋＝1，O为坐标原点，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范围为(　　)
A．[6，10]　　B．[6，8]　　C．[8，10]　　D．[16，20]
(3)(一题两空)椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长为________，短轴长为________．
(1)D　(2)C　(3)6　4　[(1)椭圆＋＝1中c＝25－9＝16，椭圆＋＝1中c＝25－k－(9－k)＝16，
∴两椭圆焦距相等．
(2)设P(x0，y0)，则|OP|＝．
由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，
又∵P在椭圆上，∴＋＝1，
∴y＝64－x，∴|OP|＝
∵0≤x≤100，∴64≤x＋64≤100，∴8≤|OP|≤10．(3)把已知方程化为椭圆的标准方程为：＋＝1，∴a＝3，b＝2，
∴长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．]
用标准方程研究几何性质的步骤
?1?将椭圆方程化为标准形式.
?2?确定焦点位置.?焦点位置不确定的要分类讨论?
?3?求出a，b，c.
?4?写出椭圆的几何性质.
[跟进训练]
1．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则实数k的值为(　　)
A．3　　B．3或　　C．　　D．或
B　[(1)当焦点在x轴上时，由椭圆方程＋＝1，可知a2＝5，b2＝k>0，则c2＝a2－b2＝5－k，而e2＝＝＝．解之得k＝3．
(2)当焦点在y轴上时，由椭圆方程＋＝1，可知a2＝k>5，b2＝5，则c2＝a2－b2＝k－5，而e2＝＝＝．解之得k＝，
综上，符合条件的实数k值为3或，因此选B．]
类型2　由椭圆的简单性质求方程
【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝；
(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)；
(3)过点(3，0)，离心率e＝．
[思路点拨]　(1)由a＝2，e＝＝，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．
[解]　(1)由a＝2，e＝，可得a2＝4，且＝，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3．已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为＋＝1．
(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34．因此所求的标准方程为＋＝1．
(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
已知椭圆的简单性质求标准方程：
?1?先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论.
?2?然后依据关系式e＝，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程.
[跟进训练]
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦距为8，离心率为0.8；
(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0)．
[解]　(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意得c＝4，e＝，∴a＝5，b＝3．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，同理可求得方程为＋＝1．
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
(2)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点(3，0)，∴a＝3，又2a＝3×2b，∴b＝1．
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点(3，0)，∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．
∵椭圆的标准方程为＋＝1．
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1．
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[思路点拨]　根据已知条件得出a、c的关系即可．
[解]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，
因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，
令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，
所以|F1F2|＝＝x＝2c，
由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，
∴e＝＝＝．
求椭圆的离心率通常有两种方法：
?1?若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2、b2，再求出a、c的值，利用公式e＝直接求解；
?2?若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c之间的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.
[跟进训练]
3．将本例中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？
[解]　如图，连接BF2．因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，
所以F2B⊥BF1，
又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
所以|BF1|＝c，|BF2|＝c．
根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以＝－1．
所以椭圆的离心率为－1．
1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．
3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．
4．椭圆的对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当使用对称性能简化求解过程．
1．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[∵a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m．∵e2＝＝＝．∴m＝．]
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
C．a＝2b
D．3a＝4b
B　[因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2．
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．故选B．]
3．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
(－，)　[∵点A在椭圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P是椭圆上的任一点，则·的最大值为________．
6　[由椭圆＋＝1，可得点F(－1，0)，点O(0，0)，
设P(x，y)，x∈[－2，2]，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值为6．]
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
[解]　由题意知
解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以，所求椭圆的方程为＋x2＝1．
PAGE§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)3．会求双曲线的标准方程．(易混点)
1．通过双曲线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象，直观想象素养．2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到F1、F2上，F1到F2的长为2a(a>0)，把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，如图所示．
1．笔尖在运动过程中，满足的条件是什么？
2．笔尖M到两个定点F1、F2距离之差的绝对值与这两定点间的距离有什么关系？
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
1．双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]　当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]　动点的轨迹是双曲线的一支．
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2
3．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？
[提示]　　a，b的值及焦点所在的位置．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到点F1(1，0)，F2(－1，0)距离之差的绝对值等于2的点的集合是双曲线．
(　　)
(2)平面内到点F1(0，2)，F2(0，－2)距离之差等于3的点的集合是双曲线．
(　　)
(3)双曲线的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝c2－b2．
(　　)
(4)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知动点P(x，y)在双曲线－＝1上，则(　　)
A．－＝4
B．－＝4
C．＝4
D．＝4
D　[利用双曲线定义求解．]
3．双曲线－＝1的焦点坐标为________．
(2，0)，(－2，0)　[c2＝a2＋b2＝20，∴c＝2，∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．]
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知焦点F1(0，－6)，F2(0，6)，双曲线上的一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于8；
(2)c＝，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上．
[解]　(1)∵双曲线的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵2a＝8，2c＝12，∴a＝4，c＝6，∴b2＝62－42＝20．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2．
由题意知－＝1，∴－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．∴b2＝1．
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
类型1　双曲线的定义及应用
　双曲线中，焦点三角形的面积问题
【例1】　已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以S＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16．
　利用双曲线定义求点的轨迹方程
【例2】　已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
[思路点拨]　
考查点F的几何性质，利用双曲线的定义求解．
[解]　设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|．
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2，即|FA|－|FB|＝2．
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．
1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，
其基本步骤为
①寻求动点M
与定点F1，F2
之间的关系；
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)；
③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M
的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c；
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
1．在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin
A＋sin
C＝2sin
B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
从而有|AC|－|BC|＝|AB|＝2<|AB|．
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
类型2　求双曲线的标准方程
【例3】　(1)已知双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
[思路点拨]　用待定系数法求解．
[解]　(1)设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，
则
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一：设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意易求得c＝2．又双曲线过点(3，2)，
∴－＝1．又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8．
故所求双曲线方程为－＝1．
法二：设双曲线方程为－＝1(－4将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1．
待定系数法求双曲线方程的步骤
[跟进训练]
2．根据条件求双曲线的标准方程．
(1)a＝，经过点A(－2，5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，)．
[解]　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知－＝1，解得b2＝1．
∴双曲线的标准方程为－x2＝1．
(2)椭圆＋＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝20．
又∵双曲线过点(3，)，
∴－＝1．
∴a2＝20－2，b2＝2．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
类型3　曲线类型的判定
【例4】　已知曲线C：＋＝1(t≠0，t≠±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[思路点拨]　方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．
[解]　(1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；
当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，
∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
当|t|<1时，双曲线C的方程为－＝1，
∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
方程Ax2＋By2＝1?A，B≠0?表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线.即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的.
[跟进训练]
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足(　　)
A．m≠1且m≠－3　
B．m
＞1
C．m＜－或m＞
D．－3＜m＜1
C　[因为方程－＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立，所以m2－3＞0，解得m＜－或m＞，故选C．]
1．对双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的应用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：确定a2，b2的数值．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．
1．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．3　　
　B．4　　
　C．3　　
　D．4
D　[由标准方程得a2＝10，b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝12，c＝2，所以焦距2c＝4．]
2．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是(　　)
A．17　　B．7　　C．7或17　　D．2或22
D　[由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10．解得|PF2|＝2或|PF2|＝22．]
3．已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________．
[答案]　
4．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
－＝1　[设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1．]
5．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，求eq
\f(S,S)的值．
[解]　如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a．
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝π，
所以S＝|AF1|·|AF2|·sin
∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2．
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以S＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，
所以eq
\f(S,S)＝＝．
PAGE2.2　双曲线的简单几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)
1．通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象与数学运算素养．2．借助双曲线几何性质及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理素养．
在学习椭圆时，我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质，那么是否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢？
已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)．
双曲线C有怎样的对称性？为什么？
双曲线的性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
顶点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
对称性
对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
渐近线
±＝0或y＝±
x
±＝0或y＝±x
离心率
e＝(e＞1)
(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示]　　(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，它的开口越小．
(　　)
(2)双曲线的离心率的取值范围是．
(　　)
(3)双曲线－＝1的虚轴长为4．
(　　)
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
　(4)√
2．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
C　[由渐近线方程可知＝，所以a＝b＝×3＝2．]
3．双曲线x2－y2＝3的离心率为________．
　[x2－y2＝3可化为－＝1，∴a＝b＝，c2＝a2＋b2＝6，∴e＝＝＝．]
4．求双曲线－＝1的焦点坐标，实轴长、虚轴长、离心率．
[解]　∵a2＝16，b2＝9，∴c2＝16＋9＝25，
∴焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，实轴长2a＝8，虚轴长2b＝6，离心率e＝＝．
类型1　双曲线的简单性质
【例1】　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[思路点拨]　　先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．
[解]　
双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝．
又曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．
1．由双曲线方程探究其简单几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值的关键．
2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．
[跟进训练]
1．(一题多空)双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．
(－1，0)，(1，0)　　y＝±2x　[将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，
∴a＝1，b＝2，c＝，
∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±2x．]
类型2　利用双曲线的性质求双曲线方程
【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)实轴长为16，离心率为；
(2)双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
[思路点拨]　由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值．
[解]　　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，
解得c＝10，a＝8，b＝6，
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
(2)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝1．
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．
2．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ．
[跟进训练]
2．求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程．
[解]　设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝．
－＝1，解得
∴所求的双曲线方程为－＝1．
类型3　双曲线的离心率
【例3】　已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．
[思路点拨]　确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．
[解]　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，
由于在双曲线中c>b，
故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，
所以＝tan
30°，c＝b，
所以a＝b，离心率e＝＝＝．
求双曲线离心率的两种方法
?1?直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.
?2?方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解.
[跟进训练]
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(　　)
A．　　
　B．　　
　C．　　
　D．
A　[由题意得，＝，则e＝＝＝．]
1．由已知双曲线的方程求双曲线的几何性质时，注意首先应将方程化为标准形式，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．
2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．
3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．
1．双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．4
B　[双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为2a＝4．]
2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
D　[方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为－＝1(m＞0)，则a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，所以＝，则m2＋9＝25．
∵m＞0，∴m＝4．]
3．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
B　[因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．]
4．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
(－，0)，(，0)　[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．]
5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程．
[解]　渐近线方程为y＝±x，设双曲线方程为x2－3y2＝λ．将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y2－＝1．
PAGE§3　抛物线
3.1　抛物线及其标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3．理解p的几何意义，并能求简单的抛物线的标准方程．(难点)
1．通过抛物线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
(1)曲线上点D到直线EF的距离是什么？
(2)曲线上点D到定点C的距离是什么？
(3)曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
1．抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么动点的轨迹是什么？
[提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
2．抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？
[提示]　焦点到准线的距离．
3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
[提示]　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的集合(轨迹)一定是抛物线．
(　　)
(2)抛物线x2＝－2y的焦点到准线的距离是1．
(　　)
(3)抛物线y＝－2x2的准线方程是y＝．　(　　)
(4)若P是抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点，则＝．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0，2)　　　B．(0，1)　　　C．(2，0)　　　D．(1，0)
D　[∵y2＝4x，∴焦点F(1，0)．]
3．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
　[y2＝2px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝．]
4．求顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程．
[解]　当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程是y2＝kx，代入点P(－2，3)，解得k＝－，
当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程是x2＝my，代入点P(－2，3)，解得m＝，
所以抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝y．
类型1　抛物线的定义
【例1】　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．
[思路点拨]　如图，过A、B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线，所以|MN|＝．
C　[由抛物线的定义知|AD|＋|BC|＝|AF|＋|BF|＝3，所以|MN|＝，又由于准线l的方程为x＝－，所以线段AB中点到y轴的距离为－＝，故选C．]
1．解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离．
2．与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般是利用定义对两个距离进行相互转化．
[跟进训练]
1．(1)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．8　　　　D．16
(2)动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
(1)B　(2)C　[(1)如图，由kAF＝－知∠AFM＝60°．
又AP∥MF，所以∠PAF＝60°．又|PA|＝|PF|，
所以△APF为等边三角形．
故|PF|＝|AF|＝2|MF|＝2p＝8．
(2)由已知得，＝，即动点M到坐标原点的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，根据抛物线的定义知，动点M的轨迹是抛物线．]
类型2　求抛物线的标准方程
　求抛物线的焦点坐标或准线方程
【例2】　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝40x；(2)4x2＝y；(3)6y2＋11x＝0．
[解]　(1)焦点坐标为(10，0)，准线方程为x＝－10．
(2)由4x2＝y得x2＝y．
∵2p＝，∴p＝．
∴焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－．
(3)由6y2＋11x＝0，得y2＝－x，
故焦点坐标为(－，0)，准线方程为x＝．
　求抛物线的标准方程
【例3】　求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3，2)；
(2)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3．
[思路点拨]　确定p的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．
[解]　(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝2p2y(p2＞0)，∵过点(－3，2)，
∴4＝－2p1×(－3)或9＝2p2×2．
∴p1＝或p2＝．
故所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y．
(2)由题意知，抛物线标准方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)且p＝3，
∴抛物线标准方程为x2＝6y或x2＝－6y．
1．根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，这样才能准确写出抛物线的准线方程．
2．求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
[跟进训练]
2．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
±4　[由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y．将(m，－2)代入上式，得m2＝16．∴m＝±4．]
类型3　抛物线的实际应用
【例4】　一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a
m，求使卡车通过的a的最小整数值．
[思路点拨]　解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用抛物线的方程解决问题．
[解]　以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示．
设隧道所在抛物线方程为x2＝my，
则2＝m·，∴m＝－a．即抛物线方程为x2＝－ay．
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－．
欲使卡车通过隧道，应有y－＞3，即－＞3．
∵a＞0，∴a＞12.21．∴a应取13．
1．解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
[跟进训练]
3．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
[解]　如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25．即抛物线方程为x2＝－25y．
∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6．
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－．
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－．
2．设M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，焦点为F，则根据抛物线的定义，抛物线的焦半径|MF|＝x0＋．
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离与到准线的距离相互转化．
4．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能利用图形分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关性质，注意数形结合思想的应用．
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　)
A．　　　B．－　　　C．8　　　D．－8
B　[由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－．]
2．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝－12y
B．x2＝12y
C．y2＝－12x
D．y2＝12x
A　[＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y．]
3．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是(　　)
A．抛物线　　B．双曲线　　C．直线　　D．以上都不对
A　[作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ADD1A1，作FE⊥A1D1于E，则PE⊥A1D1．
由勾股定理得PF2＝PE2－EF2＝(PM2＋1)－1＝PM2，
∴PF＝PM．
由抛物线定义知，点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．]
4．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________．
2　[由已知得p＝2，∴该抛物线的焦点到准线的距离为2．]
5．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点(－3，－1)．
[解]　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y．
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y．
PAGE3.2　抛物线的简单几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)．
1．如何判断抛物线C的对称性？
2．类比椭圆、双曲线范围的求法，在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的方程中，求x，y的范围．
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e＝1
2．过焦点的弦
若直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则
(1)抛物线的焦半径|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋；
(2)过焦点的弦|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)当直线AB垂直于抛物线的对称轴时，弦AB叫作抛物线的通径，它的长为2p，通径是过焦点最短的弦．
直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．
(　　)
(2)抛物线只有一个焦点．
(　　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．
(　　)
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为2p．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y
B．y2＝±6x
C．x2＝±12y
D．x2＝±6y
[答案]　C
3．抛物线x2＝2py(p>0)的对称轴为________．
[答案]　y轴
4．求抛物线y2＝8x上到其焦点距离为5的点的坐标．
[解]　设P(x，y)，由|PF|＝x＋2＝5，得x＝3，
把x＝3代入y2＝8x得，y＝±2，
所以，到其焦点距离为5的点的坐标为或．
类型1　抛物线几何性质的应用
【例1】　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长．
[思路点拨]　正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果
能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出等边三角形的边长．
[解]　设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y＝2px1，y＝2px2．
由|OA|＝|OB|，得x＋y＝x＋y，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1．
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．
∵x1>0，x2>0，2p>0，
∴x1－x2＝0，即x1＝x2．
由此可知|y1|＝|y2|，即点A、B关于x轴对称，
∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，
∴＝tan
30°＝．
∵x1＝，∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p．
∴这个正三角形的边长为4p．
抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点在其对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为.
[跟进训练]
1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，
设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．]
类型2　与中点弦、焦点弦有关的问题
【例2】　(1)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．
(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝9．则该抛物线的方程为________．
[思路点拨]　(1)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；法二：设直线AB的方程，建立方程求解．
(2)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．
(1)4x－y－15＝0　(2)y2＝8x　[(1)法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，
∴k＝4．
∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0．
法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1．
联立
消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1由根与系数的关系得y1＋y2＝．又y1＋y2＝2，∴k＝4．
∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0．
(2)设直线AB的方程为y＝2，
联立化简得4x2－5px＋p2＝0，
∴x1＋x2＝，∵|AB|＝9＝x1＋x2＋p，∴＋p＝9，∴p＝4，∴抛物线的方程为y2＝8x．]
直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|．
(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．
(3)“中点弦”问题解题策略两种方法
[跟进训练]
2．(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
(2)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
(1)y2＝4x　[设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则
②－①整理得＝，
又＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4．
因此抛物线C的方程为y2＝4x．]
(2)[解]　因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，
若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1，
此时|AB|＝4，不合题意，
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)，
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝．
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
所以＝6，解得k＝±1．
所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0．
类型3　抛物线中的最值问题
【例3】　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．
[思路点拨]　利用抛物线的定义可将|PF|转化为P到准线的距离来考虑．
[解]　由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±．
∵＞2，∴点A在抛物线内部．
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2．
∴此时点P坐标为(2，2)．
1．本题若设P(x，y)，利用两点间的距离公式建模求解，难以得到答案，而由抛物线的定义将|PF|转化为点P到准线的距离，则当P，A，Q三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，从而使问题迎刃而解．
2．解决这类题，就是用抛物线的定义与平面几何的知识把折线段变为直线段，即知最小值．
[跟进训练]
3．(1)已知M为抛物线y2＝4x上的一个动点，求M到点A(0，2)的距离与M到该抛物线准线的距离之和的最小值；
(2)在抛物线y＝－x2上求一点，使它到直线4x＋3y－8＝0的距离最小．
[解]　(1)M到准线的距离等于M到焦点的距离|MF|，显然当A，M，F三点共线时，|MA|＋|MF|最小，最小值为|AF|，又A(0，2)，F(1，0)，
∴|AF|＝．故所求最小值为．
(2)设抛物线y＝－x2上一点为P(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝，
当m＝时，d取得最小值为，此时P为所求的点．
1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．
2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线y2＝2px(p>0)上任一点A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋．
3．抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用．
4．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A．(6，＋∞)
B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
D　[∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6．又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．]
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
B　[抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1．]
3．已知圆(x－2)2＋y2＝42与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．
4　[由题意，抛物线的准线方程为x＝－，
则圆心(2，0)到准线的距离d＝2＋＝4，解得p＝4．]
4．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．
2　[设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2．故满足条件的点的个数为2．]
5．给定抛物线y2＝2x，设A(a，0)，a≥0，P是抛物线上一点，试求|PA|的最小值．
[解]　设P(x，y)，则y2＝2x．
∴|PA|＝＝＝．
∵a≥0，x≥0，
∴当0≤a<1时，a－1<0，此时，当x＝0时，|PA|取最小值a；
当a≥1时，a－1≥0，此时，当x＝a－1时，|PA|取最小值．
PAGE§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点)2．掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法．(难点)
1．通过学习直线与圆锥曲线的三种位置关系，培养学生的直观想象、数学运算素养．2．借助求解直线与圆锥曲线有关问题，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理素养．
1．设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，则点M(x0，y0)是曲线C1、C2的一个交点的充要条件是什么？
2．如何求曲线C1、C2的交点？
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(x)得到一个关于变量x(y)的一元方程．
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0．
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，
Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0?直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线有两个交点时，以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|．
若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线一定相切吗？
[提示]　不一定相切．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线，
则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝x与抛物线y2＝2x的交点是点(0，0)与(2，2)．
(　　)
(2)直线y＝k与抛物线y2＝2x一定相交．
(　　)
(3)当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线不可能相切．
(　　)
(4)直线与圆锥曲线公共点最多两个．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(　　)
A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．4条
B　[由于点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以满足条件的直线有2条，一条为切线，一条与x轴平行．]
3．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________．
　[联立方程组得，消去y得x2－(x＋4)2＝1，则x＝－，代入y＝x＋4得y＝．
故直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为．]
4．求直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点的坐标．
[解]　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P(x0，y0)，
由得3x2＋4x－2＝0，则x1＋x2＝－，
∴x0＝(x1＋x2)＝－，∴y0＝x0＋1＝，
故弦的中点坐标为．
类型1　直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】　在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点p．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的相应取值范围．
[思路点拨]　在第(1)问中，可用直接法求点M的轨迹方程．在第(2)问中，需注意考虑k＝0及k≠0的情况，当k≠0时，还需讨论方程的判别式Δ．
[解]　(1)设点M，依题意得＝＋1，即＝＋1，化简整理得y2＝2．
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1
：y2＝4x，C2
：y＝0(x＜0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．①
①当k＝0时，此时y＝1．把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝．
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点．
②当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，
由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－．③
当x0≤0时，Δ<0，由②③解得k＜－1，或k＞．
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1
没有公共点，与C2
有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
当x0>0时，Δ＝0由②③知，k不存在
综合①，②知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．
2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
[跟进训练]
1．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为(　　)
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．不确定
C　[由题意，得>2，即m2＋n2<4，
∴＋≤<1，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1内，
∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1相交，
∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个公共点．]
类型2　弦长问题
【例2】　过点P(－1，1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|．
[思路点拨]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)，再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程求得A，B的坐标，根据两点间的距离公式求|AB|．
[解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0．①
显然x1≠x2，故由①得kAB＝＝－．
因为点P是AB的中点，所以有x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2．②
把②代入①得kAB＝，故AB的直线方程是y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0．
由消去y得3x2＋6x＋1＝0．
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
∴|AB|＝＝·＝
·＝．
1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0．
2．直线y＝kx＋b与曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)．
[跟进训练]
2．已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，若|AB|<，试求直线l斜率的变化范围．
[解]　设直线AB的方程为y＝kx＋3或x＝0，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB的方程为x＝0时，
|AB|＝4>，与题意不符．
当AB的方程为y＝kx＋3时，
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y，得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
所以Δ＝(6k)2－20(4＋k2)>0，即k2>5，①
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
因为|AB|＝
<，
所以·
<，
解得－由①②知5∴类型3　圆锥曲线的综合问题
【例3】　设直线l：y＝k(x＋1)与椭圆x2＋3y2＝a2(a>0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
(1)证明：a2>；(2)若＝2，求△OAB的面积最大值．
[思路点拨]
[解]　(1)证明：依题意，当k＝0时，a2>0，显然成立；
当k≠0时，y＝k(x＋1)可化为x＝y－1．
将x＝y－1代入x2＋3y2＝a2，消去x，得y2－y＋1－a2＝0．
①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝－4(1－a2)>0，
化简整理得a2>．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知C(－1，0)．
由①，得y1＋y2＝．
②
因为＝(－1－x1，－y1)，＝(x2＋1，y2)，
由＝2，得y1＝－2y2．
③
由②③联立，解得y2＝．
△OAB的面积S＝|OC|·|y1－y2|＝|y2|＝＝≤，
当且仅当＝3|k|，即k2＝时，上式等号成立，此时，△AOB的面积的最大值为．
1．利用代数法(方程的思想)解决最值及范围问题时，常用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
2．向量的工具性，如本例中“＝2”变相给出了A、B两点坐标间的关系，为根与系数的关系进一步运算奠定了基础．
3．求最值时，常利用函数思想或均值不等式求解．
[跟进训练]
3．已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
[解]　(1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知得a＝，c＝2，∴b＝1．
故所求双曲线方程为－y2＝1．
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由直线l与双曲线交于不同的两点得
故k2≠且k2＜1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
由·＞2得x1x2＋y1y2＞2．
又∵y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＋＋2＝＋2．
∴＋＋2＞2．∴＞0．
又∵k2≠且k2＜1，
∴＜k2＜1．
∴k的取值范围为{k|－1＜k＜－或＜k＜1}．
1．直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．
2．涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB|＝
|x1－x2|＝
·|y1－y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．
3．解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用根与系数的关系及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
1．若直线y＝2(x－1)与椭圆＋＝1交于A、B两点，则|AB|＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
C　[由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0．解得x1＝0，x2＝，分别代入y＝2(x－1)，得y1＝－2，y2＝．∴|AB|＝＝．]
2．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[由题意知a＝3，b＝，c＝2．设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，
因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，
所以|PF2|＝＝．又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
所以|PF1|＝2a－|PF2|＝，
所以＝×＝，故选B．]
3．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)
A．(－3，0)　　B．(0，－3)　　C．(3，0)　　D．(0，3)
A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝．又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6．设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点为(－3，0)．]
4．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
2　[根据题意设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，
长轴长为2＝2．]
5．求过椭圆＋＝1内一点M(1，1)的弦AB的中点的轨迹方程．
[解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为P(x，y)，
则
由①－②得·＝，而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y．
∴·＝．
整理，得轨迹方程为x2＋4y2－x－4y＝0．
PAGE第2章
圆锥曲线
类型1　圆锥曲线的定义
【例1】　(1)已知点A(1，0)和圆B：(x＋1)2＋y2＝16．P是圆上任一点，则线段AP的垂直平分线l与线段PB的交点M的轨迹方程是________．
(2)若F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________．
[思路点拨]　(1)根据定义法来求解．(2)解决焦点三角形的问题一般是利用圆锥曲线的定义，并结合解三角形的知识求解．
(1)＋＝1　(2)3　[(1)如图所示，连接MA．
∵M为线段AP的垂直平分线l上的一点，
∴|MP|＝|MA|．
于是|MB|＋|MA|＝|MB|＋|MP|＝|BP|＝4．又|BA|＝2，
∴点M的轨迹是以B、A为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知a＝2，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3．
故点M的轨迹方程为＋＝1．
(2)由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，所以a＝4，c＝5．
由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，则M在右支上，
根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8，
又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2，
而|F1F2|＝2c＝10，
则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，
则F1N⊥MF2，且|F1N|＝＝3，
从而S＝×2×3＝3．]
1．圆锥曲线的定义、标准方程、及简单的几何性质是本章的基础．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．圆锥曲线定义的应用技巧
(1)在求动点的轨迹方程时，若所求动点的轨迹符合圆锥曲线的定义，则可由定义法求其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题，常用圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．
(3)在抛物线中，常利用定义，以实现“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化．
[跟进训练]
1．(1)一动圆过定点A(2，0)，且与定圆(x＋2)2＋y2＝4相切，则动圆圆心的轨迹方程是________．
(2)若点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
(1)x2－＝1　(2)8－　[(1)设动圆的圆心为P(x，y)，定圆的圆心为B(－2，0)，则||PA|－|PB||＝2．
∴由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹方程为x2－＝1．
(2)设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)min＝8－．]
类型2　圆锥曲线的方程
【例2】　已知动点P在曲线2x2－y＝0上，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．y＝2x2
B．y＝8x2
C．y＝8x2－1
D．y＝4x2－
D　[设AP中点为(x，y)，则P(2x，2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1，即y＝4x2－．]
求动点的轨迹方程的主要方法
?1?直接法：建立平面直角坐标系，把动点满足的几何条件转化为x，y间的关系，即得轨迹方程.
?2?定义法：当已知条件适合圆锥曲线的定义时，可直接写出方程.
?3?代入法：若动点P?x，y?依赖于已知曲线上另一个点Q?x′，y′?而运动时，可用x，y来表示x′，y′，再代入已知曲线方程，即可求出轨迹方程.
?4?待定系数法：若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程，再由条件确定方程中的参数，即“先定型，再定量”.
?5?参数法：当直接建立x，y间的关系较困难时，可通过选适当的参数，找出x，y间的间接关系，即参数方程，然后消去参数化为普通方程.
[跟进训练]
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．4
A　[将椭圆方程化为x2＋＝1．由题意得a2＝，b2＝1，∴＝2，故m＝．]
类型3　圆锥曲线的性质
【例3】　(1)直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是________．
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．则C的方程是________．
(1)(－∞，－1]∪[1，＋∞)　(2)＋y2＝1　[(1)双曲线x2－y2＝1的渐近线是y＝±x，结合图形得k≥1或k≤－1．
(2)由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1．]
圆锥曲线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等，要树立用性质解题的思想，它可以简化求解过程.
[跟进训练]
3．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　)
A．x＝±y
B．y＝±x
C．x＝±y
D．y＝±x
D　[由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(±，0)，双曲线焦点(±，0)，
∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，
∴m2＝8n2，即|m|＝2|n|．又双曲线渐近线为y＝±·x，
将|m|＝2|n|代入上式，得y＝±x．]
类型4　直线与圆锥曲线的位置关系
　“点差法”
【例4】　求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．
[思路点拨]　要求过点(1，－1)的弦所在的直线方程，只需求出斜率即可，用“点差法”求直线的斜率．
[解]　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由
得
kAB＝．⑤
由②－①得，(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，
∴＝．
将④⑤代入上式可得kAB＝－4．
∴弦所在直线的方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0．
1．将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系可用判别式来判断．
2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．
[跟进训练]
4．已知椭圆C：3x2＋4y2＝12，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m，椭圆上有不同的两点A，B关于这条直线对称．
[解]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
则
两式相减，得
3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴kAB＝＝－＝－＝－．
∴y0＝3x0．又M(x0，y0)在直线l上，
∴
解得
∵点M(－m，－3m)在椭圆内部，
∴3(－m)2＋4(－3m)2<12，即－∴m的取值范围为．
　定点与定值问题
【例5】　已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
[思路点拨]　
[解]　(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2．
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1．
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由
得x2＋4kx－4＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4．
直线OM的方程为y＝x．
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－，
同理得B的横坐标xB＝－．
设点D(0，n)，则＝，＝，
·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2．
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3．
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3)．
1．本题给出了定点所在的直线，因此可将其转化为定值问题来处理，若将问题改为“求证：以AB为直径的圆经过两个定点．”，如何证呢？一、可先猜后证；二、先求出圆系方程，再由圆系方程，确定定点．
2．常见定值问题的处理方法：
(1)先表示：确定一个(或两个)变量为核心变量，注意：通常这个核心变量要有一定的几何意义，比如直线的斜率、截距，曲线上点的坐标，将所求表达式用核心变量进行表示；
(2)后化简：对表达式进行化简，在化简的过程中，尽量做到整体代入，以便简化运算．
[跟进训练]
5．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，|AB|＝2．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点P(x0，y0)满足＝＋2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，求证：x＋2y为定值．
[解]　(1)由e2＝＝，得a2＝2b2，
因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝2，
所以由椭圆的对称性知，椭圆过点(c，1)，即＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kOM·kON＝·＝－，化简得x1x2＋2y1y2＝0．
因为M，N是椭圆上的点，
所以＋＝1，＋＝1，即有x＋2y＝4，x＋2y＝4，
由＝＋2，得，
所以x＋2y＝(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2
＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)
＝4＋4×4＋0
＝20．
即x＋2y为定值．
　最值与范围问题
【例6】　设点P到点(－1，0)、(1，0)距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
[解]　设点P的坐标为(x，y)，依题设得＝2，即y＝±2x，x≠0，
因此，点P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|＝2，
∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，
∴0<|m|<1，
因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，
故－＝1，
将y＝±2x代入－＝1，并解得x2＝，
因为1－m2>0，
所以1－5m2>0，解得0<|m|<，即m的取值范围为∪．
1．圆锥曲线中的最值与范围问题的解法总体上主要有两种方法：
一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的知识与方法等进行求解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
2．解决圆锥曲线中的取值范围问题的两种方法：
(1)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2)构建关于待求量的不等式，通过解不等式求其范围．常见构建不等式的方法是：
利用判别式构造不等关系；利用已知的不等关系构造不等式；利用圆锥曲线的范围构造不等式．
[跟进训练]
6．已知直线l与椭圆＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求的最大值．
[解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)当AB⊥x轴时，＝．
(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m．
由已知＝，得m2＝(k2＋1)．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝．
∴2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)
＝＝
＝3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4．
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．当k＝0时，＝，
综上所述max＝2．
【例】　已知F1，F2是椭圆E：＋＝1的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[法一：在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时，∠F1PF2达到最大值．所以若椭圆上存在PF1⊥PF2的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的角θ≥90°，
由椭圆对称性可知，∠OPF2＝≥45°，
所以tan∠OPF2＝＝≥1，即c≥b?c2≥b2?c2≥a2－c2，进而≥，即e2≥，解得e≥，又e∈，
所以e∈．
法二：由PF1⊥PF2，可得1·＝0，
设P，F1，F2，则有＝，＝，
则1·＝x2＋y2－c2＝0，即P点一定在以O为圆心，c为半径的圆上，
所以只需要该圆与椭圆有交点即可，
所以c≥b，同法一可解得e∈．
法三：开始同法二一样，得到P所在圆方程为x2＋y2＝c2，因为P在椭圆上，
所以联立圆和椭圆方程，代入消去x可得，b2＋a2y2＝a2b2，
整理得，c2y2＝b4?y2＝，
由y∈[－b，b]得，y2＝≤b2?c≥b，
同法一即可解得，e∈．]
(1)求离心率值
求椭圆和双曲线的离心率，主要寻找参数a，b，c中两个参数的关系，通常有两个方向：
①几何性质：如果题目中存在焦点三角形，那么可利用焦点三角形的几何性质求解．
②坐标运算：如果几何关系难以寻找，那么可考虑将点的坐标用a，b，c进行表示，再利用条件列出等式求解．
(2)求离心率的范围
求离心率的范围需要寻找不等关系，在寻找不等关系时，通常可从以下几个方面考虑：
①如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该圆锥曲线的范围作为突破口．
②如果问题出现“直线与圆锥曲线相交”，则可考虑Δ>0作为突破口．
③若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可．
[素养提升练]　如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为___________．
e＝2－5　[直线A1B2的方程为：＋＝1；
直线B1F的方程：＋＝1，联立方程可得：
解得T，
则M在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，
＋＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，
解得e＝2－5．]
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